Regra da Cadeia das Derivadas – Exercícios Resolvidos

A primeira coisa a fazer é escrever a fórmula da regra da cadeia para a nossa referência:

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{dx} (f(g(x)) ) \cdot \frac{d}{x}(g(x))$$

Assumindo que é um principiante, vamos identificar as funções envolvidas a partir da composição das funções:

Temos

$latex H(x) = (x+2)^2$

Se utilizarmos a substituição $latex u = g(x) = x+2$, podemos escrever

$latex f(g(x)) = f(u)$

$latex f(u) = u^2$

Aplicando a fórmula da regra da cadeia, temos:

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{x}(g(x))$$

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{du} (u^2) \cdot \frac{d}{x}(x+2)$$

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = (2u) \cdot (1)$$

Uma vez que $latex u = x+2$, vamos substituir de volta:

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = [2 \cdot (x+2)] \cdot (1)$$

Simplificando algebricamente, temos

$latex H'(x) = 2(x+2)$

E a resposta final é:

$latex H'(x) = 2x + 4$

Se utilizarmos a substituição $latex g(x) = u=x^3 – 3x^2 + 2x$, temos:

$latex f(g(x)) = f(u)$

$latex f(u) = u^5$

Aplicando a fórmula da regra da cadeia, temos:

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{dx} (f(g(x)) ) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$$

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$$

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{du} (u^5) \cdot \frac{d}{dx}(x^3 – 3x^2 + 2x)$$

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = (5u^4) \cdot (3x^2-6x+2)$$

Agora, podemos substituir $latex u=x^3 – 3x^2 + 2x$ de volta:

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = [5 \cdot (x^3 – 3x^2 + 2x)^4]\cdot (3x^2-6x+2)$$

Simplificando algebricamente, temos

$$H'(x) = (5x^3-15x^2+10x)^4 \cdot (3x^2-6x+2)$$

E a resposta final é:

$$H'(x) = (5x^3-15x^2+10x)^4 (3x^2-6x+2)$$

Se considerarmos $latex g(x)=u=3x^2-1$, podemos escrever como se segue:

$latex f(g(x)) = f(u)$

$latex f(u) = \ln{(u)}$

Depois, aplicamos a regra da cadeia:

$$ \frac{d}{dx} (F(x)) = \frac{d}{dx} (f(g(x)) ) \cdot \frac{d}{x}(g(x))$$

$$\frac{d}{dx} (F(x)) = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{x}(g(x))$$

$$\frac{d}{dx} (F(x)) = \frac{d}{du} (\ln(u)) \cdot \frac{d}{x}(3x^2-1)$$

$$\frac{d}{dx} (F(x)) = (\frac{1}{u}) \cdot (6x)$$

Substituindo $latex u=3x^2-1$ de volta, temos:

$$\frac{d}{dx} (F(x)) = (\frac{1}{3x^2-1}) \cdot (6x)$$

Simplificando, temos

$$F'(x) = \frac{6x}{3x^2-1}$$

E a resposta final é:

$$F'(x) = \frac{6x}{3x^2-1}$$

Começamos por considerar que a função interna é $latex g(x)=u=3x^2+1$. Então, a composição das funções pode ser escrita como:

$latex f(g(x)) = f(u)$

$latex f(u) = e^u$

Aplicando a fórmula da regra da cadeia, temos:

$$\frac{d}{dx} (G(x)) = \frac{d}{dx} (f(g(x))) \cdot \frac{d}{x}(g(x))$$

$$\frac{d}{dx} (G(x)) = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{x}(g(x))$$

$$\frac{d}{dx} (G(x)) = \frac{d}{du} (e^u) \cdot \frac{d}{x}(3x^2+1)$$

$$\frac{d}{dx} (G(x)) = (e^u) \cdot (6x)$$

Uma vez que $latex u = 3x^2+1$, substituímos na derivada:

$$\frac{d}{dx} (G(x)) = (e^{3x^2+1}) \cdot (6x)$$

$$G'(x) = 6x \cdot e^{3x^2+1}$$

E a resposta final é:

$$G'(x) = 6xe^{3x^2+1}$$

Se considerarmos a função interna como $latex g(x) = u=x^3-9$, então

$latex f(g(x)) = f(u)$

$latex f(u) = \cos(u)$

Aplicando a fórmula da regra da cadeia, temos:

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{dx} (f(g(x)) ) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$$

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$$

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{du} (\cos(u)) \cdot \frac{d}{dx}(x^3 – 9)$$

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = (-\sin(u)) \cdot (3x^2)$$

Uma vez que $latex u = g(x)$, substituímos $latex g(x)$ por $latex u$:

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = (-\sin(x^3-9)) \cdot (3x^2)$$

Simplificando, temos

$latex H'(x) = -3x^2 \cdot \sin{(x^3-9)}$

E a resposta final é:

$latex H'(x) = -3x^2 \sin{(x^3-9)}$

Vamos identificar as funções envolvidas a partir da composição das funções:

Temos

$$H(x) = \sqrt[3]{x^3 – 3x^2 + 2x}$$

Uma vez que esta é uma função radical, é sempre recomendável reescrevê-la de forma radical a exponencial para torná-la derivável. Reescrevendo, temos

$$ H(x) = (x^3 – 3x^2 + 2x)^{\frac{1}{3}}$$

Se $latex g(x) = u=x^3-3x^2+2x$, então

$latex f(g(x)) = f(u)$

$latex f(u) = u^{\frac{1}{3}}$

Usando a regra da cadeia com estas funções, temos:

$$ \frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{dx} (f(g(x)) ) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$$

$$ \frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$$

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{du} (u^{\frac{1}{3}} ) \cdot \frac{d}{dx}(x^3 – 3x^2 + 2x)$$

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = (\frac{1}{3} u^{-\frac{2}{3}}) \cdot (3x^2-6x+2)$$

Agora, podemos substituir $latex u=g(x)$ de volta:

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = [(\frac{1}{3} \cdot (x^3 – 3x^2 + 2x)^{-\frac{2}{3}})]\cdot (3x^2-6x+2)$$

Simplificando, temos

$$H'(x) = \frac{1}{3 \cdot (x^3 – 3x^2 + 2x)^{\frac{2}{3}}} \cdot (3x^2-6x+2)$$

$$H'(x) = \frac{3x^2-6x+2}{3 \cdot (x^3 – 3x^2 + 2x)^{\frac{2}{3}}}$$

E a resposta final é:

$$H'(x) = \frac{3x^2-6x+2}{3 \sqrt[3]{(x^3 – 3x^2 + 2x)^2}}$$
na forma radical

Considerando a $latex g(x) = u=\sec(x)$ como a função interior, podemos escrever

$latex f(g(x)) = f(u)$

$latex f(u) = u^5$

Usando a regra da cadeia, temos:

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{dx} (f(g(x)) ) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$$

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$$

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{du} (u^5 ) \cdot \frac{d}{dx}(\sec{(x)})$$

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = (5u^4) \cdot (\sec{(x)} \tan{(x)})$$

Agora, podemos substituir $latex u=\sec(x)$ de volta:

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = [5(\sec(x))^4] \cdot (\sec(x) \tan(x))$$

Simplificando, temos

$$H'(x) = 5 \cdot \sec{(x)} \cdot \sec^{4}{(x)} \cdot \tan(x)$$

$$H'(x) = 5 \cdot \tan(x) \cdot \sec^{5}{(x)}$$

E a resposta final é:

$latex H'(x) = 5 \tan{(x)} \sec^{5}{(x)}$

Se $latex g(x) = u=x^3+e^x$, então

$latex f(g(x)) = f(u)$

$latex f(u) = \log_{7}{u}$

Aplicando a fórmula da regra da cadeia, temos:

$$\frac{d}{dx} (F(x)) = \frac{d}{dx} (f(g(x))) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$$

$$\frac{d}{dx} (F(x)) = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$$

$$\frac{d}{dx} (F(x)) = \frac{d}{du} (\log_{7}{u} ) \cdot \frac{d}{dx}(x^3+e^x)$$

$$\frac{d}{dx} (F(x)) = \left(\frac{1}{u \ln(7)} \right) \cdot (3x^2+e^x)$$

Agora, vamos substituir $latex u=x^3+e^x$:

$$\frac{d}{dx} (F(x)) = \left(\frac{1}{(x^3+e^x) \ln(7)} \right) \cdot (3x^2+e^x)$$

Simplificando algebricamente, temos

$$\frac{d}{dx} (F(x)) = \left(\frac{1}{(x^3+e^x) \ln{(7)}} \right) \cdot (3x^2+e^x)$$

$$\frac{d}{dx} (F(x)) = \left(\frac{3x^2+e^x}{(x^3+e^x) \ln{(7)}} \right)$$

E a resposta final é:

$$F'(x) = \left(\frac{3x^2+e^x}{(x^3+e^x) \ln{(7)}} \right)$$

Considerando $latex g(x)=u=\frac{x-1}{x+2}$ como a função interior, temos:

$latex f(g(x)) = f(u)$

$latex f(u) = \cot^{-1}{(u)}$

Agora, podemos utilizar a regra da cadeia com as funções que definimos:

$$\frac{d}{dx} (F(x)) = \frac{d}{dx} (f(g(x))) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$$

$$ \frac{d}{dx} (F(x)) = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$$

$$\frac{d}{dx} (F(x)) = \frac{d}{du} (\cot^{-1}(u)) \cdot \frac{d}{dx} \left(\frac{x-1}{x+2} \right)$$

$$\frac{d}{dx} (F(x)) = \left(-\frac{1}{u^2+1} \right) \cdot \left(\frac{2}{(x+1)^2} \right)$$

Uma vez que $latex u = g(x)$, substituímos $latex g(x)$ por $latex u$:

$$\frac{d}{dx} (F(x)) = \left(-\frac{1}{ \left(\frac{x-1}{x+1} \right)^2+1} \right) \cdot \left(\frac{2}{(x+1)^2} \right)$$

Simplificando, temos

$$\frac{d}{dx} (F(x)) = -\frac{2}{\left(\left(\frac{x-1}{x+1} \right)^2+1\right) \cdot (x+1)^2}$$

$$\frac{d}{dx} (F(x)) = -\frac{1}{x^2+1}$$

E a resposta final é:

$$F'(x) = -\frac{1}{x^2+1}$$

Este é um caso mais complexo uma vez que a função $latex H(x)$ é uma composição de quatro funções.

Se $latex f(g(h(j(x)))) = u$, então

$latex f(g(h(j(x)))) = f(u)$
$latex f(u) = u^2$

Se $latex g(h(j(x))) = v$, então

$latex g(h(j(x))) = g(v)$
$latex g(v) = \tan{(v)}$

Se $latex h(j(x)) = w$, então

$latex h(j(x)) = h(w)$
$latex h(w) = e^w$

$latex w = j(x) = 3x$

Se $latex f(g(h(j(x)))) = f(u)$, então

$$\frac{d}{dx} [f(g(h(j(x))))] = \frac{d}{du} [f(u)]$$

Se $latex g(h(j(x))) = g(v)$, então

$$\frac{d}{dx} [g(h(j(x)))] = \frac{d}{dv} [g(v)]$$

Se $latex h(j(x)) = h(w)$, então

$$\frac{d}{dx} [h(j(x))] = \frac{d}{dw} [h(w)]$$

Ajustando a nossa fórmula de regra de cadeia para a derivação de composições de quatro funções, temos

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{dx} \left(f(g(h(j(x)))) \right)\cdot \frac{d}{dx} \left(g(h(j(x))) \right) \cdot \left(h(j(x)) \right) \cdot \frac{d}{dx}(j(x))$$

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{du} \left(f(u)) \right) \cdot \frac{d}{dv} \left(g(v)) \right) \cdot \frac{d}{dw} \left(h(w)) \right) \cdot \frac{d}{dx}(j(x))$$

Aplicando a nossa fórmula de regra em cadeia ajustada para a derivada da composição de quatro funções, temos

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = \frac{d}{du} (u^2) \cdot \frac{d}{dv} (\tan{(v)}) \cdot \frac{d}{dw} (e^w) \cdot \frac{d}{dx}(3x)$$

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = (2u) \cdot (\sec^{2}{(v)}) \cdot (e^w) \cdot (3)$$

Como $latex u = g(h(j(x)))$, $latex v = h(j(x))$ e $latex w = j(x)$, vamos substituir estas expressões:

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = (2(\tan{(e^{3x})})) \cdot (\sec^{2}{(e^{3x})}) \cdot (e^{3x}) \cdot (3)$$

Simplificando algebricamente, temos

$$\frac{d}{dx} (H(x)) = 2 \cdot 3 \cdot e^{3x} \cdot \tan{(e^{3x})} \cdot \sec^{2}{(e^{3x})}$$

$$H'(x) = 6 \cdot (e^{3x}) \cdot \tan{(e^{3x})} \cdot \sec^{2}{(e^{3x})}$$

E a resposta final é:

$$ H'(x) = 6 \cdot (e^{3x}) \tan{(e^{3x})} \sec^{2}{(e^{3x})}$$

Como pode ver pela nossa solução para este problema, derivando composições de quatro funções, compreenderá porque é que a regra da cadeia foi cunhada a partir do termo “cadeia”.