Os dodecaedros são um dos cinco sólidos Platônicos. Podemos calcular o volume dos dodecaedros usando uma fórmula padrão. Por outro lado, a área de superfície é encontrada adicionando as áreas de suas doze faces.
A seguir, aprenderemos como calcular o volume e a área de um dodecaedro. Aprenderemos como derivar as fórmulas e usá-las para resolver vários exercícios práticos.
Como calcular o volume de um dodecaedro
Um dodecaedro é uma figura tridimensional regular, então todas as suas faces têm a mesma forma e todos os seus lados têm o mesmo comprimento. Assim, podemos calcular seu volume usando a seguinte fórmula:
| $$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$ |
onde a é o comprimento de um dos lados do dodecaedro.
Também podemos simplificar essa fórmula obtendo uma aproximação da fração do lado direito da fórmula. Assim, podemos escrever:
$latex V\approx 7,663{{a}^3}$
Como calcular a área de um dodecaedro
Podemos calcular a área de um dodecaedro usando a seguinte fórmula:
| $$A_{s}=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}~{{a}^2}$$ |
onde a é o comprimento de um dos lados do dodecaedro.
Podemos simplificar essa fórmula aproximando a expressão do lado direito da fórmula. Assim, podemos escrever:
$latex A_{s}\approx 20,65{{a}^2}$
Derivação da fórmula para a área de um dodecaedro
Para encontrar uma fórmula para a área de um dodecaedro, podemos considerar os dodecaedros como figuras regulares que possuem 12 faces com a mesma forma e dimensões.
Como todas as 12 faces pentagonais do dodecaedro são iguais, temos que encontrar a área de uma das faces e multiplicar o resultado por 12 para obter a área da superfície do dodecaedro.
Agora, podemos encontrar a Área de um Pentágono usando a seguinte fórmula:
$$A=\frac{1}{4}\sqrt{25+10\sqrt{5}}~{{a}^2}$$
Então, quando multiplicamos essa fórmula por 12, temos:
$$A_{s}=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}~{{a}^2}$$
Volume e áreas de um dodecaedro – Exercícios resolvidos e a resolver
EXERCÍCIO 1
Qual é o volume de um dodecaedro que tem lados de comprimento 2 m?
Solução
Podemos usar a fórmula para o volume do dodecaedro com o valor a=2. Então temos:
$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$
$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{2}^3}$$
$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}8$$
$latex V=7,663\times 8$
$latex V=61,3$
O volume do dodecaedro dado é $latex 61,3~{{m}^3}$.
EXERCÍCIO 2
Qual é a área de um dodecaedro com lados de 1 m de comprimento?
Solução
Para resolver este exercício, podemos aplicar a fórmula da área de um dodecaedro com o valor a=1. Então temos:
$$A_{s}=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}~{{a}^2}$$
$latex A_{s}=20,65~{{a}^2}$
$latex A_{s}=20,65\times {{1}^2}$
$latex A_{s}=20,65$
A área do dodecaedro é $latex 20,65~{{m}^2}$.
EXERCÍCIO 3
Se um dodecaedro tem lados de 3 m de comprimento, qual é o seu volume?
Solução
Aplicando a fórmula do volume com o valor a=3, temos:
$$ V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$
$$ V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{3}^3}$$
$$ V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}27$$
$latex V=7,663\times 27$
$latex V=206,9$
O volume do dodecaedro é $latex 206,9~{{m}^3}$.
EXERCÍCIO 4
Encontre a área de um dodecaedro com lados de comprimento 2 m.
Solução
Usando a fórmula da área com o valor a = 2, temos:
$$A_{s}=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}~{{a}^2}$$
$latex A_{s}=20,65~{{a}^2}$
$latex A_{s}=20,65\times {{2}^2}$
$latex A_{s}=20,65\times 4$
$latex A_{s}=82,6$
A área do dodecaedro é $latex 82,6~{{m}^2}$.
EXERCÍCIO 5
Encontre o volume de um dodecaedro que tem lados de 8 cm de comprimento.
Solução
Usando o valor de a = 8 na fórmula do volume, temos:
$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$
$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{8}^3}$$
$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}512$$
$latex V=7,663\times 512$
$latex V=3923,5$
O volume do dodecaedro dado é $latex 3923,5~{{m}^3}$.
EXERCÍCIO 6
Encontre a área de um dodecaedro com lados de 6 cm de comprimento.
Solução
Aplicando a fórmula da área do dodecaedro usando a=6, temos:
$$A_{s}=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}~{{a}^2}$$
$latex A_{s}=20,65~{{a}^2}$
$latex A_{s}=20,65\times {{6}^2}$
$latex A_{s}=20,65\times 36$
$latex A_{s}=743,4$
A área do dodecaedro é $latex 743,4~{{cm}^2}$.
EXERCÍCIO 7
Se o volume de um dodecaedro é igual a $latex 698,3~{{m}^3}$, qual é o comprimento de um de seus lados?
Solução
Neste caso, temos o volume e queremos calcular o comprimento de um de seus lados. Então, usamos a fórmula do volume e resolvemos para a:
$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$
$$698,3=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$
$latex 698,3=7,663{{a}^3}$
$latex 91,13={{a}^3}$
$latex a=4,5$
O comprimento de um dos lados do dodecaedro é de 4,5 m.
EXERCÍCIO 8
Se um dodecaedro tem uma área de $latex 120~{{m}^2}$, qual é o comprimento de seus lados?
Solução
Neste problema, conhecemos a área do dodecaedro e precisamos determinar o comprimento de um dos lados do dodecaedro. Então, usamos a fórmula da área e resolvemos para a:
$$A_{s}=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}~{{a}^2}$$
$latex A_{s}=20,65~{{a}^2}$
$latex 120=20,65~{{a}^2}$
$latex 5,81=a^2$
$latex a=2,41$
O dodecaedro tem lados com comprimento de 2,41 m.
EXERCÍCIO 9
Encontre o comprimento dos lados de um dodecaedro que tem um volume de $latex 1077,5~{{cm}^3}$.
Solução
Usamos a fórmula do volume e resolvemos para a:
$$V=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$
$$1077,5=\frac{15+7\sqrt{5}}{4}{{a}^3}$$
$latex 1077,5=7,663{{a}^3}$
$latex 140,61={{a}^3}$
$latex a=5,2$
O comprimento de um dos lados do dodecaedro é de 5,2 cm.
EXERCÍCIO 10
Qual é o comprimento do lado de um dodecaedro com uma área de $latex 350~{{cm}^2}$?
Solução
Semelhante ao problema anterior, vamos usar a fórmula da área do dodecaedro e resolver para a. Então temos:
$$A_{s}=3\sqrt{25+10\sqrt{5}}~{{a}^2}$$
$latex A_{s}=20,65~{{a}^2}$
$latex 350=20,65~{{a}^2}$
$latex 16,95=a^2$
$latex a=4,12$
O dodecaedro tem lados com 4,12 cm de comprimento.
Volume e área de um dodecaedro – Exercícios para resolver
Se a área da superfície de um dodecaedro é igual a 495,7 m2, qual é o comprimento de seus lados?
Escreva a resposta com uma casa decimal.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
