Um octaedro é uma figura tridimensional formada pela união de duas pirâmides em suas bases. Podemos calcular o volume de um octaedro adicionando o volume das duas pirâmides que o compõem. Além disso, a área é calculada pela soma das áreas das suas oito faces.
A seguir, conheceremos as fórmulas que podemos usar para calcular o volume e a área de um octaedro. Vamos aprender a derivar estas fórmulas e aplicá-las para resolver alguns exercícios.
Como calcular o volume de um octaedro
Podemos calcular seu volume usando a seguinte fórmula:
| $latex V=\frac{\sqrt{2}}{3} {{a}^3}$ |
onde a é o comprimento de um dos lados do octaedro.
Prova da fórmula do volume de um octaedro
Um octaedro pode ser formado pela união de duas pirâmides em suas bases. Isso significa que podemos obter o volume de um octaedro se somarmos os volumes de ambas as pirâmides.
Como ambas as pirâmides são iguais, isso significa que temos que encontrar o volume de uma pirâmide e simplesmente multiplicar por 2 para obter o volume do octaedro.
Agora, para calcular o volume de qualquer pirâmide, podemos usar a seguinte fórmula:
$latex V_{p}=\frac{A_{b}\times h}{3}$
onde, $latex A_{b}$ é a área da base e h é a altura da pirâmide.
Neste caso, a base da pirâmide é quadrada, então sua área é igual a $latex {{a}^2}$.
A altura da pirâmide pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras usando o seguinte diagrama:
Como as faces de um octaedro são triângulos equiláteros, todos os seus lados têm comprimento a. Portanto, a hipotenusa que usaremos é igual a a.
Além disso, como a diagonal de um quadrado é igual a $latex a\sqrt{2}$, metade da diagonal, que é igual a um dos catetos, é igual a $latex \frac{a\sqrt{2 }}{ 2}$.
Então a altura da pirâmide é:
$latex h=\sqrt{{{a}^2}-{{(\frac{a\sqrt{2}}{2})}^2}}$
$latex h=\sqrt{{{a}^2}-\frac{{{a}^2}}{2}}$
$latex h=\sqrt{\frac{{{a}^2}}{2}}$
$latex h=\frac{a}{\sqrt{2}}$
$latex h=\frac{a \sqrt{2}}{2}$
Multiplicando a altura pela área da base e dividindo por 3, obtemos o volume da pirâmide:
$latex V_{p}=\frac{1}{3}\times{{a}^2}\times \frac{a \sqrt{2}}{2}$
$latex V_{p}=\frac{{{a}^3} \sqrt{2}}{6}$
Multiplicando o volume da pirâmide por 2, obtemos o volume do octaedro:
$latex V=2\times \frac{{{a}^3} \sqrt{2}}{6}$
$latex V=\frac{{{a}^3} \sqrt{2}}{3}$
Como calcular a área de um octaedro
Para calcular a área de um octaedro, usamos a seguinte fórmula:
| $latex A_{s}=2\sqrt{3}~{{a}^2}$ |
onde a é o comprimento de um dos lados do octaedro.
Prova da fórmula da área do octaedro
Podemos obter a fórmula para a área de um octaedro assumindo que a área de qualquer figura tridimensional é igual à soma da área de todas as suas faces.
No caso dos octaedros, temos oito faces triangulares congruentes. Ou seja, temos oito faces com a mesma forma e as mesmas dimensões, então a área é:
$latex A_{s}=8A_{t}$
onde, $latex A_{t}$ é a área de cada face triangular.
Além disso, quando falamos de um octaedro, geralmente queremos dizer um octaedro regular. Se este for o caso, cada face triangular é um triângulo equilátero.
Então, lembrando que a fórmula da Área de um Triângulo Equilátero é:
podemos substituir esse valor na fórmula da área do octaedro:
$latex A_{s}=8\times \frac{\sqrt{3}}{4}{{a}^2}$
$latex A_{s}=2\sqrt{3}~{{a}^2}$
Volume e área de um octaedro – Exercícios resolvidos
EXERCÍCIO 1
Se um octaedro tem lados de 4 m de comprimento, qual é o seu volume?
Solução
Para resolver este exercício, temos que usar a fórmula para o volume de um octaedro com comprimento a=4. Então temos:
$latex V=\frac{{{a}^3} \sqrt{2}}{3}$
$latex V=\frac{{{4}^3} \sqrt{2}}{3}$
$latex V=\frac{64 \sqrt{2}}{3}$
$latex V=30,17$
O volume do octaedro é $latex 30,17 ~{{m}^3}$.
EXERCÍCIO 2
Qual é a área de um octaedro com lados de comprimento 2 m?
Solução
Podemos resolver este problema usando a fórmula para a área de um octaedro com o valor a=2. Então temos:
$latex A_{s}=2\sqrt{3}~{{a}^2}$
$latex A_{s}=2\sqrt{3}~{{2}^2}$
$latex A_{s}=2\sqrt{3}~4$
$latex A_{s}=13,86$
A área do octaedro dado é $latex 13,86~{{m}^2}$
EXERCÍCIO 3
Calcule o volume de um octaedro que tem lados com comprimento de 5 m.
Solução
Novamente, usamos a fórmula para o volume de um tetraedro. Neste caso, usamos o valor a=5:
$latex V=\frac{{{a}^3} \sqrt{2}}{3}$
$latex V=\frac{{{5}^3} \sqrt{2}}{3}$
$latex V=\frac{125 \sqrt{2}}{3}$
$latex V=58,93$
O volume do octaedro é $latex 58,93 ~{{m}^3}$.
EXERCÍCIO 4
Encontre a área de um octaedro com lados de 5 cm de comprimento.
Solução
Usamos a fórmula da área, substituindo o valor a=5. Então temos:
$latex A_{s}=2\sqrt{3}~{{a}^2}$
$latex A_{s}=2\sqrt{3}~{{5}^2}$
$latex A_{s}=2\sqrt{3}~25$
$latex A_{s}=86,6$
Então a área do octaedro é $latex 86,6~{{cm}^2}$
EXERCÍCIO 5
Se um octaedro tem lados de 10 cm de comprimento, qual é o seu volume?
Solução
Vamos usar a fórmula para o volume de um octaedro usando o valor a = 10. Então temos:
$latex V=\frac{{{a}^3} \sqrt{2}}{3}$
$latex V=\frac{{{10}^3} \sqrt{2}}{3}$
$latex V=\frac{1000 \sqrt{2}}{3}$
$latex V=471,4$
Portanto, o volume do tetraedro dado é $latex 471,4 ~{{cm}^3}$.
EXERCÍCIO 6
Se um octaedro tem lados de 8 cm de comprimento, qual é sua área?
Solução
Aplicamos a fórmula da área com o valor a=8:
$latex A_{s}=2\sqrt{3}~{{a}^2}$
$latex A_{s}=2\sqrt{3}~{{8}^2}$
$latex A_{s}=2\sqrt{3}~64$
$latex A_{s}=221,7$
A área do octaedro é $latex 221,7~{{cm}^2}$
EXERCÍCIO 7
Se o volume de um octaedro é igual a $latex 11,5~{{m}^3}$, qual é o comprimento de um de seus lados?
Solução
Neste caso, conhecemos o volume do octaedro e queremos calcular o comprimento dos lados. Então, usamos a fórmula do volume e resolvemos para a:
$latex V=\frac{{{a}^3} \sqrt{2}}{3}$
$latex 11,5=\frac{{{a}^3} \sqrt{2}}{3}$
$latex 34,5={{a}^3} \sqrt{2}$
$latex 24,4={{a}^3}$
$latex a=2,9$
O comprimento de um dos lados do octaedro é de 2,9 m.
EXERCÍCIO 8
Se a área de um octaedro é $latex 50~{{m}^2}$, qual é o comprimento de seus lados?
Solução
Nesse caso, temos a área do octaedro e queremos calcular o comprimento de um de seus lados. Então, temos que usar a fórmula da área e resolver para a:
$latex A_{s}=2\sqrt{3}~{{a}^2}$
$latex 50=2\sqrt{3}~{{a}^2}$
$latex 14,43={{a}^2}$
$latex a=3,8$
Os lados do octaedro têm um comprimento de 3,8 m.
EXERCÍCIO 9
Encontre o comprimento dos lados de um octaedro com um volume de $latex 22~{{cm}^3}$
Solução
Para resolver este exercício, temos que usar a fórmula para o volume de um octaedro e resolver para a. Então temos:
$latex V=\frac{{{a}^3} \sqrt{2}}{3}$
$latex 22=\frac{{{a}^3} \sqrt{2}}{3}$
$latex 66={{a}^3} \sqrt{2}$
$latex 46,67={{a}^3}$
$latex a=3,6$
O octaedro tem lados com um comprimento de 3,6 cm.
EXERCÍCIO 10
Um octaedro tem uma área de $latex 73,3~{{m}^2}$. Determine o comprimento de um de seus lados.
Solução
Vamos usar a fórmula da área com a área dada e resolver para a:
$latex A_{s}=2\sqrt{3}~{{a}^2}$
$latex 73,3=2\sqrt{3}~{{a}^2}$
$latex 21,16={{a}^2}$
$latex a=4,6$
O octaedro tem lados com um comprimento de 4,6 m.
Volume e área de um octaedro – Exercícios para resolver
Se a área de um octaedro é 256,2 cm2, qual é o comprimento de seus lados?
Escreva a resposta com uma casa decimal.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
