O perímetro de um pentágono é o comprimento do contorno do pentágono. Por outro lado, sua área representa o espaço bidimensional ocupado pela figura. Podemos encontrar o perímetro de um pentágono somando os comprimentos de seus cinco lados, e podemos encontrar sua área multiplicando o comprimento do apótema pelo comprimento de um de seus lados e multiplicando por 5/2.
A seguir, exploraremos todas as coisas relacionadas ao perímetro e à área de um pentágono. Conheceremos suas fórmulas e as aplicaremos para resolver alguns exercícios práticos.
Como calcular o perímetro de um pentágono?
O perímetro de um pentágono representa o comprimento total dos limites do pentágono. Assim, podemos calcular o perímetro de um pentágono adicionando os comprimentos de seus cinco lados:
$latex p=a+b+c+d+e$
onde, $latex a,~b,~c,~d,~e$ são os comprimentos dos lados do pentágono.
Se o pentágono é regular, todos os seus cinco lados têm o mesmo comprimento, então a fórmula do perímetro se torna:
| $latex p=5a$ |
onde, a é o comprimento de um dos lados do pentágono.
Como calcular a área de um pentágono?
A área de um pentágono regular pode ser calculada usando o comprimento de seu apótema e o comprimento de um de seus lados. Assim, usamos a seguinte fórmula:
| $latex A= \frac{5}{2} \times l \times a$ |
onde l é o comprimento de um dos lados e a é o comprimento do apótema. Lembremos que o apótema é o segmento que une o centro do pentágono com um de seus lados.
Alternativamente, podemos calcular a área de um pentágono usando a seguinte fórmula:
| $latex A=\frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}){{l}^2}}$ |
onde, l é o comprimento de um dos lados do pentágono. Essa fórmula é mais complicada, mas permite calcular a área de um pentágono regular simplesmente com o comprimento de um de seus lados.
Prova da fórmula para a área de um pentágono
Para provar a fórmula da área de um pentágono, vamos usar o seguinte diagrama, onde dividimos o pentágono em cinco triângulos isósceles como na imagem a seguir:
A área de qualquer triângulo pode ser calculada usando a fórmula $latex A= \frac{1}{2} bh$, onde b é a base do triângulo e h é sua altura. Nos triângulos isósceles acima, a base é igual ao comprimento de um dos lados do pentágono (comprimento l.)
A altura do triângulo é igual ao apótema do pentágono (comprimento a). Então, a área de cada triângulo no pentágono é $latex A= \frac{1}{2} la$. Como temos cinco triângulos, a área do pentágono é:
$latex A= \frac{5}{2} \times l \times a$
Área e perímetro de um pentágono – Exercícios resolvidos
EXERCÍCIO 1
Encontre o perímetro de um pentágono regular com lados de 10 mm de comprimento.
Solução
Vamos usar a fórmula do perímetro com o valor $latex a=10$. Então temos:
$latex p=5a$
$latex p=5(10)$
$latex p=50$
O perímetro do pentágono é igual a 50 mm.
EXERCÍCIO 2
Encontre a área de um pentágono regular com lados de 10 cm de comprimento e um apótema de 6,88 cm.
Solução
Temos os seguintes comprimentos:
- Lados, $latex l=10$ cm
- Apothem, $latex a=6,88$ cm
Substituindo esses valores na fórmula da área de um pentágono, temos:
$latex A= \frac{5}{2}la$
$latex A= \frac{5}{2}(10)(6,88)$
$latex A=172$
A área do pentágono é igual a 172 cm².
EXERCÍCIO 3
Encontre o perímetro de um pentágono regular com lados de 11 m de comprimento.
Solução
Usamos o comprimento $latex a=11$ na fórmula do perímetro e temos:
$latex p=5a$
$latex p=5(11)$
$latex p=55$
O perímetro do pentágono é igual a 55 m.
EXERCÍCIO 4
Qual é a área de um pentágono regular com lados de 8 cm de comprimento e um apótema de 5,51 cm de comprimento?
Solução
Temos os seguintes comprimentos:
- Lados, $latex l=8$ cm
- Apothem, $latex a=5,51$ cm
Aplicando a fórmula da área com esses comprimentos, temos:
$latex A= \frac{5}{2}la$
$latex A= \frac{5}{2}(8)(5,51)$
$latex A=110,2$
A área do pentágono é igual a 110,2 cm².
EXERCÍCIO 5
Qual é o perímetro de um pentágono regular com lados de comprimento 15 m?
Solução
Usamos a fórmula do perímetro com comprimento $latex a=15$. Então temos:
$latex p=5a$
$latex p=5(15)$
$latex p=75$
O perímetro do pentágono é igual a 75 m.
EXERCÍCIO 6
Encontre o apótema de um pentágono regular que tem uma área de 84,3 m² e o comprimento de seus lados é de 7 m.
Solução
Temos o seguinte:
- Área, $latex A=84,3$ m²
- Lados, $latex l=7$ m
Neste caso, conhecemos a área do pentágono e queremos encontrar o apótema. Então, usamos as informações fornecidas na fórmula da área e resolvemos para a:
$latex A= \frac{5}{2}la$
$latex 84,3= \frac{5}{2}(7)a$
$latex 168,6=(5)(7)a$
$latex 168,6=35a$
$latex a=4,82$
O comprimento do apótema é de 4,82 m.
EXERCÍCIO 7
Se o perímetro de um pentágono regular é 20 cm, qual é o comprimento de um de seus lados?
Solução
Aqui, conhecemos o perímetro do pentágono e precisamos encontrar o comprimento de um dos lados. Então, usamos a fórmula do perímetro e resolvemos para a:
$latex p=5a$
$latex 20=5a$
$latex a=4$
O comprimento de um lado do pentágono é 4 cm.
EXERCÍCIO 8
Encontre a área de um pentágono regular com lados de 5 mm de comprimento.
Solução
Neste caso, conhecemos apenas o comprimento dos lados do pentágono e não o seu apótema. Assim, podemos usar a segunda fórmula para a área de um pentágono:
$latex A= \frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}){{l}^2}}$
$latex A= \frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}){{(5)}^2}}$
$latex A=43,01$
A área do pentágono é igual a 43,01 mm².
EXERCÍCIO 9
Se o perímetro de um pentágono regular é igual a 105 cm, encontre o comprimento de um de seus lados.
Solução
Vamos usar a fórmula do perímetro e resolver para a. Então, usando o valor $latex p=105$, temos:
$latex p=5a$
$latex 105=5a$
$latex a=21$
O comprimento de um dos lados é de 21 cm.
EXERCÍCIO 10
Encontre a área de um pentágono regular com lados de 20 mm de comprimento.
Solução
Usando a fórmula da segunda área com comprimento $latex l=20$:
$latex A= \frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}){{l}^2}}$
$latex A= \frac{1}{4}\sqrt{5(5+2\sqrt{5}){{(20)}^2}}$
$latex A=688,19$
A área do pentágono é igual a 688,19 mm².
Área e perímetro de um pentágono – Exercícios resolvidos
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
