O icosaedro é um dos cinco sólidos platônicos. Para calcular seu volume, podemos usar o comprimento de um de seus lados em uma fórmula padrão. Por outro lado, sua área é calculada pela soma das áreas de todas as faces triangulares.
A seguir, aprenderemos a calcular o volume e a área de um icosaedro. Saberemos como obter suas fórmulas e vamos aplicá-las para resolver alguns exercícios práticos.
Como calcular o volume de um icosaedro
O icosaedro é uma figura tridimensional regular, então todas as suas faces têm a mesma forma e as mesmas dimensões. Assim, podemos calcular o volume de um icosaedro usando o comprimento de um de seus lados na seguinte fórmula:
| $$V=\frac{5(3+\sqrt{5})}{12}{{a}^3}$$ |
onde a é o comprimento de um dos lados do icosaedro.
Alternativamente, podemos simplificar esta equação obtendo uma aproximação para a fração do lado direito da equação. Então temos:
$latex V=2,1817{{a}^3}$
Como calcular a área de um icosaedro
Podemos usar a seguinte fórmula para determinar a área de um icosaedro:
| $latex A_{s}=5\sqrt{3}~{{a}^2}$ |
onde a é o comprimento de um dos lados do icosaedro.
Esta fórmula pode ser simplificada da seguinte forma:
$latex A_{s}\approx 8,66{{a}^2}$
Prova da fórmula para a área de um icosaedro
Podemos derivar a fórmula para a área de um icosaedro considerando que os icosaedros são figuras tridimensionais regulares com todos os seus lados e todas as suas faces com as mesmas dimensões.
Assim, podemos calcular a área de um icosaedro encontrando a área de uma das faces triangulares e multiplicando o resultado por 20.
As faces são triângulos equiláteros e a Área de um Triângulo Equilátero pode ser encontrada com a seguinte fórmula:
$$A=\frac{\sqrt{3}}{4}~a^2$$
Multiplicando essa fórmula por 20, temos:
$$A_{s}=20\times \frac{\sqrt{3}}{4}~a^2$$
$$A_{s}=5\sqrt{3}~a^2$$
Volume e área de um icosaedro – Exercícios resolvidos
EXERCÍCIO 1
Determine o volume de um icosaedro com lados de comprimento 2 m.
Solução
Para resolver este problema, vamos usar a fórmula do icosaedro com a=2. Então temos:
$$V=\frac{5(3+\sqrt{5})}{12}{{a}^3}$$
$latex V=2,1817{{a}^3}$
$latex V=2,1817\times {{2}^3}$
$latex V=2,1817\times 8$
$latex V=17,45$
O volume do icosaedro é $latex 17,45~{{m}^3}$.
EXERCÍCIO 2
Encontre a área de um icosaedro com lados de 2 m de comprimento.
Solução
Vamos aplicar a fórmula para a área de um icosaedro usando o comprimento a=2:
$latex A_{s}=5\sqrt{3}~a^2$
$latex A_{s}=5\sqrt{3}~(2)^2$
$latex A_{s}=5\sqrt{3}~(4)$
$latex A_{s}=34,64$
A área do icosaedro é $latex 34,64~{{m}^2}$.
EXERCÍCIO 3
Qual é o volume de um icosaedro que tem lados de 4 m de comprimento?
Solução
Aplicamos a fórmula para o volume de um icosaedro usando o valor a=4:
$$V=\frac{5(3+\sqrt{5})}{12}{{a}^3}$$
$latex V=2,1817{{a}^3}$
$latex V=2,1817\times {{4}^3}$
$latex V=2,1817\times 64$
$latex V=139,63$
O volume do icosaedro é $latex 139,63~{{m}^3}$.
EXERCÍCIO 4
Qual é a área de um icosaedro com lados de 5 cm de comprimento?
Solução
Usando a fórmula da área com comprimento a = 5, temos:
$latex A_{s}=5\sqrt{3}~a^2$
$latex A_{s}=5\sqrt{3}~(5)^2$
$latex A_{s}=5\sqrt{3}~(25)$
$latex A_{s}=216,51$
A área do icosaedro dado é $latex 216,51~{{cm}^2}$.
EXERCÍCIO 5
Se um icosaedro tem lados de 7 cm de comprimento, qual é o seu volume?
Solução
Usando a fórmula para o volume de um icosaedro com comprimento a=7, temos:
$$V=\frac{5(3+\sqrt{5})}{12}{{a}^3}$$
$latex V=2,1817{{a}^3}$
$latex V=2,1817\times {{7}^3}$
$latex V=2,1817\times 343$
$latex V=748,32$
O volume do icosaedro dado é $latex 748,32~{{cm}^3}$.
EXERCÍCIO 6
Encontre a área de um icosaedro com lados de 6 cm de comprimento.
Solução
Aplicando a fórmula da área usando a=6, temos:
$latex A_{s}=5\sqrt{3}~a^2$
$latex A_{s}=5\sqrt{3}~(6)^2$
$latex A_{s}=5\sqrt{3}~(36)$
$latex A_{s}=311,77$
A área do icosaedro é $latex 311,77~{{cm}^2}$.
EXERCÍCIO 7
O volume de um icosaedro é $latex 60~{{m}^3}$. Qual é o comprimento de um de seus lados?
Solução
Neste exercício, conhecemos o volume do icosaedro e temos que encontrar o comprimento de um de seus lados. Assim, podemos usar a fórmula do volume e resolver para a:
$$V=\frac{5(3+\sqrt{5})}{12}{{a}^3}$$
$latex V=2,1817{{a}^3}$
$latex 60=2,1817{{a}^3}$
$latex 27,5={{a}^3}$
$latex a=3,02$
O icosaedro tem lados com 3,02 m de comprimento.
EXERCÍCIO 8
Se um icosaedro tem uma área de $latex 67,9~{{m}^2}$, determine o comprimento de seus lados.
Solução
Nesse caso, já temos a área do icosaedro e precisamos encontrar o comprimento de um de seus lados. Assim, podemos usar a fórmula da área do icosaedro e resolver para a:
$latex A_{s}=5\sqrt{3}~a^2$
$latex 67,9=5\sqrt{3}~a^2$
$latex 7,84={{a}^2}$
$latex a=2,8$
Assim, os lados do icosaedro têm comprimento a = 2,8 metros.
EXERCÍCIO 9
Determine o comprimento dos lados de um icosaedro que tem um volume de $latex 170~{{m}^3}$.
Solução
Vamos usar a fórmula do volume e resolver para a:
$$V=\frac{5(3+\sqrt{5})}{12}{{a}^3}$$
$latex V=2,1817{{a}^3}$
$latex 170=2,1817{{a}^3}$
$latex 77,92={{a}^3}$
$latex a=4,27$
Os lados do icosaedro têm um comprimento de 4,27 m.
EXERCÍCIO 10
Encontre o comprimento dos lados de um icosaedro com uma área de $latex 175~{{cm}^2}$.
Solução
Este exercício é semelhante ao anterior, então precisamos usar o valor da área fornecido e resolver para a:
$latex A_{s}=5\sqrt{3}~a^2$
$latex 175=5\sqrt{3}~a^2$
$latex 20,207={{a}^2}$
$latex a=4,495$
Os lados do icosaedro têm um comprimento de 4,495 cm.
Volume e área de um icosaedro – Exercícios para resolver
Encontre o comprimento dos lados de um icosaedro com uma áreade 866,03 m2.
Escreva a resposta na caixa.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
