Um tetraedro é uma pirâmide regular com quatro faces triangulares. Isto significa que podemos calcular o seu volume multiplicando a área da sua base pela altura do tetraedro e dividindo por três. Além disso, sua área é calculada pela soma das áreas das quatro faces triangulares.
A seguir, vamos aprender as fórmulas para encontrar o volume e a área de um tetraedro. Vamos aprender a derivar estas fórmulas e usá-las para resolver alguns exercícios práticos.
Como calcular o volume de um tetraedro
Como o tetraedro é uma pirâmide triangular, podemos calcular sua área multiplicando a área de sua base pelo comprimento de sua altura e dividindo por 3.
A fórmula do volume de um tetraedro regular é:
| $latex V=\frac{{{a}^3}\sqrt{2}}{12}$ |
Prova da fórmula do volume de um tetraedro
Como mencionamos anteriormente, os tetraedros são pirâmides triangulares. Além disso, a área de qualquer pirâmide pode ser calculada multiplicando a área de sua base pela altura da pirâmide e dividindo por três. Então temos:
$latex V=\frac{1}{3}A_{b}H$
onde, $latex A_{b}$ é a área da base e H é a altura do tetraedro.
A base de um tetraedro é um triângulo equilátero e sabemos que a área de qualquer triângulo é igual a metade da base multiplicada pela altura. Então temos:
$latex A_{b}=\frac{1}{2}bh$
A base do triângulo é igual a um dos lados do tetraedro, a. Além disso, a altura de um triângulo equilátero é igual a $latex \frac{\sqrt{3}}{2}a$, onde a é o comprimento de um dos lados. Então temos
$latex A_{b}=\frac{1}{2}bh$
$latex A_{b}=\frac{1}{2}a\left( \frac{\sqrt{3}}{2}a\right)$
$latex A_{b}=\frac{\sqrt{3}}{4}{{a}^2}$
Finalmente, temos que a altura de um tetraedro é igual a:
$latex H=\frac{\sqrt{6}}{3}a$
Substituindo tudo isso na fórmula do volume de um tetraedro, temos:
$latex V=\frac{1}{3}A_{b}H$
$latex V=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}bh\right)\left(\frac{\sqrt{6}}{3}a\right)$
$latex V=\frac{{{a}^3}\sqrt{18}}{36}$
$latex V=\frac{{{a}^3}\sqrt{9\times 2}}{36}$
$latex V=\frac{3{{a}^3}\sqrt{2}}{36}$
$latex V=\frac{{{a}^3}\sqrt{2}}{12}$
Como calcular a área de um tetraedro
Os tetraedros são compostos por quatro caras congruentes. Isto significa que podemos calcular a sua área adicionando as áreas das quatro faces.
A fórmula para a área de um tetraedro regular é:
| $latex A_{s}=\sqrt{3} ~{{a}^2}$ |
Prova da fórmula para a área de um tetraedro
Como os tetraedros são pirâmides triangulares, todas as quatro faces são congruentes. Isso significa que todas as suas faces têm a mesma forma e figura. Assim, podemos calcular a área se conhecermos a área de uma das faces do tetraedro.
Isso significa que temos:
$latex A_{s}=4A_{t}$
onde, $latex A_{s}$ é a área do tetraedro e $latex A_{t}$ é a área de uma das faces triangulares.
Agora, podemos calcular a área de uma das faces lembrando que as faces de um tetraedro são triângulos equiláteros. Então, usamos a fórmula para a Área de um Triângulo Equilátero:
onde a é o comprimento de um dos lados.
Substituindo isso na fórmula da área do tetraedro, temos:
$latex A_{s}=4A_{t}$
$latex A_{s}=4\frac{\sqrt{3}}{4}~{{a}^2}$
$latex A_{s}=\sqrt{3}~{{a}^2}$
Volume e área de um tetraedro – Exercícios resolvidos
EXERCÍCIO 1
Se um tetraedro tem lados de 3 m de comprimento, qual é o seu volume?
Solução
Para encontrar o volume do tetraedro dado, podemos simplesmente aplicar a fórmula do volume substituindo a = 3. Então temos:
$latex V=\frac{{{a}^3}\sqrt{2}}{12}$
$latex V=\frac{{{3}^3}\sqrt{2}}{12}$
$latex V=\frac{9\sqrt{2}}{12}$
$latex V=1,06$
O volume do tetraedro é $latex 1,06 {{m}^3}$.
EXERCÍCIO 2
Qual é a área de um tetraedro com lados de comprimento 5 m?
Solução
Vamos usar a fórmula da área dada acima, substituindo a = 5. Então temos:
$latex A_{s}=\sqrt{3}~{{a}^2}$
$latex A_{s}=\sqrt{3}~{{5}^2}$
$latex A_{s}=\sqrt{3}~25$
$latex A_{s}=43,3$
A área do tetraedro é $latex 43,3 {{m}^2}$.
EXERCÍCIO 3
Um tetraedro tem lados de 20 cm de comprimento. Calcule seu volume.
Solução
Temos que a = 20. Então, usamos a fórmula para o volume de um tetraedro substituindo o comprimento dado:
$latex V=\frac{{{a}^3}\sqrt{2}}{12}$
$latex V=\frac{{{20}^3}\sqrt{2}}{12}$
$latex V=\frac{8000\sqrt{2}}{12}$
$latex V=942,8$
O volume do tetraedro é $latex 942,8 {{cm}^3}$.
EXERCÍCIO 4
Se um tetraedro tem lados de 6 m de comprimento, qual é a sua área?
Solução
Usando a = 6 na fórmula da área, temos:
$latex A_{s}=\sqrt{3}~{{a}^2}$
$latex A_{s}=\sqrt{3}~{{6}^2}$
$latex A_{s}=\sqrt{3}~36$
$latex A_{s}=62,35$
A área do tetraedro é $latex 62,35 {{m}^2}$.
EXERCÍCIO 5
Qual é o volume de um tetraedro com lados de 10 m de comprimento?
Solução
Usamos a fórmula do volume substituindo o valor do comprimento dos lados. Então temos:
$latex V=\frac{{{a}^3}\sqrt{2}}{12}$
$latex V=\frac{{{10}^3}\sqrt{2}}{12}$
$latex V=\frac{1000\sqrt{2}}{12}$
$latex V=117,9$
O volume do tetraedro é $latex 117,9 {{m}^3}$.
EXERCÍCIO 6
Qual é a área de um tetraedro com lados de 12 cm de comprimento?
Solução
Usando a fórmula da área do tetraedro com a = 12, temos:
$latex A_{s}=\sqrt{3}~{{a}^2}$
$latex A_{s}=\sqrt{3}~{{12}^2}$
$latex A_{s}=\sqrt{3}~144$
$latex A_{s}=249,4$
A área do tetraedro é $latex 249,4 {{m}^2}$.
EXERCÍCIO 7
Se o volume de um tetraedro é igual a $latex 1000 {{m}^3}$, qual é o comprimento de seus lados?
Solução
Neste caso, temos o valor do volume e queremos obter o comprimento de um de seus lados. Assim, podemos usar a fórmula do volume do tetraedro e resolver para a:
$latex V=\frac{{{a}^3}\sqrt{2}}{12}$
$latex 1000=\frac{{{a}^3}\sqrt{2}}{12}$
$latex 12000={{a}^3}\sqrt{2}$
$latex 12000={{a}^3}\sqrt{2}$
$latex 8485,3={{a}^3}$
$latex a=20,4$
Então, os lados do tetraedro são 20,4 m.
EXERCÍCIO 8
Se a área de um tetraedro é igual a $latex 300 {{m}^2}$, qual é o comprimento de seus lados?
Solução
Neste caso, temos que encontrar o comprimento de um dos lados do tetraedro. Assim, podemos usar a fórmula da área e resolver para a:
$latex A_{s}=\sqrt{3}~{{a}^2}$
$latex 300=\sqrt{3}~{{a}^2}$
$latex 173,2={{a}^2}$
$latex a=13,16$
O comprimento de um dos lados do tetraedro é 16,16 m.
EXERCÍCIO 9
O volume de um tetraedro é igual a $latex 400 {{m}^3}$. Qual é o comprimento de seus lados?
Solução
Semelhante ao problema anterior, vamos usar a fórmula para o volume de um tetraedro e depois resolver para a:
$latex V=\frac{{{a}^3}\sqrt{2}}{12}$
$latex 400=\frac{{{a}^3}\sqrt{2}}{12}$
$latex 4800={{a}^3}\sqrt{2}$
$latex 4800={{a}^3}\sqrt{2}$
$latex 3394,1={{a}^3}$
$latex a=15,03$
Assim, os lados do tetraedro medem 15,03 m.
EXERCÍCIO 10
Se a área de um tetraedro é igual a $latex 1000 {{m}^2}$, qual é o comprimento de seus lados?
Solução
Novamente, usamos a fórmula da área e resolvemos para a. Então temos:
$latex A_{s}=\sqrt{3}~{{a}^2}$
$latex 1000=\sqrt{3}~{{a}^2}$
$latex 577,35={{a}^2}$
$latex a=24,03$
O comprimento dos lados do tetraedro é 24,03 m.
Volume e área de um tetraedro – Exercícios para resolver
A área de um tetraedro é igual a 180,2 m2, qual é o comprimento de seus lados?
Escreva a resposta com uma casa decimal.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
