Quando duas linhas se cruzam, os ângulos opostos, formados devido à interseção, são chamados de ângulos verticais ou ângulos opostos do vértice. Um par de ângulos verticais são sempre iguais entre si. Além disso, um ângulo vertical e seu ângulo adjacente são ângulos suplementares, pois somam 180 graus. A seguir, revisaremos o que significa ter linhas que se cruzam e linhas paralelas.
A seguir, veremos os ângulos verticais com mais detalhes e usaremos diagramas para ilustrá-los. Além disso, conheceremos o teorema dos ângulos verticais e resolveremos alguns exercícios com esses ângulos.
O que são linhas de interseção e paralelas?
Linhas de intersecção são linhas que se encontram ou se cruzam em um ponto específico. A seguir está uma ilustração de linhas que se cruzam:
A linha AB e a linha CD se encontram no ponto P. Portanto, as duas linhas são linhas que se cruzam.
Linhas paralelas são linhas que não se encontram em nenhum lugar do plano, como temos no diagrama a seguir:
As linhas AB e CD são paralelas, pois não se cruzam em nenhum ponto.
Quais são os ângulos verticais?
Os ângulos verticais são pares de ângulos formados quando duas linhas se cruzam. Esses ângulos também são chamados de ângulos verticais opostos. Os ângulos verticais são sempre iguais entre si.
Em geral, podemos dizer que dois pares de ângulos verticais são formados quando duas retas se cruzam, como no diagrama a seguir:
Neste diagrama:
• ∠a e ∠b são ângulos opostos. Esses ângulos são iguais: ∠a = ∠b.
• ∠c e ∠d são ângulos opostos. Esses ângulos são iguais: ∠c = ∠d.
Teorema dos ângulos verticais
Este teorema indica que, “em um par de retas que se cruzam, os ângulos verticais são iguais”.
Teste do teorema: Para provar este teorema, considere duas linhas AB e CD, que se cruzam em O. Os dois pares de ângulos opostos são:
- ∠1 e ∠ 2
- ∠3 e ∠4
Podemos ver que o raio OA está localizado na linha CD e de acordo com o axioma dos pares lineares, se um raio está localizado em uma linha, os ângulos adjacentes formam um par linear de ângulos. Então, temos:
∠1 + ∠3 = 180° (par lineal)
Da mesma forma, o raio OD está localizado na linha AB, então também temos:
∠3 + ∠2 = 180° (par lineal)
Se combinarmos essas duas equações, temos:
∠1 + ∠3 = ∠3 + ∠2
∠1 = ∠2
Portanto, o par de ângulos verticais são iguais. Podemos usar o mesmo processo para demonstrar isso com o outro par de ângulos verticais.
Exercícios de ângulos verticais resolvidos
As propriedades dos ângulos verticais podem ser usadas para resolver os exercícios a seguir.
EXERCÍCIO 1
Calcule os ângulos ausentes na figura a seguir:
Solução: Os ângulos ∠50° e ∠b são ângulos verticais opostos, então eles são iguais e temos :
∠b = 50°
Os ângulos ∠50° e ∠a são ângulos suplementares, então temos:
50°+∠a = 180°
∠a = 130°
Os ângulos ∠a e ∠c são opostos, então temos:
∠c = 130°
EXERCÍCIO 2
Calcule o valor de Y na seguinte figura:
Solução: Os ângulos ∠100° e ∠X são complementares, então temos:
100°+∠X = 180°
∠X = 80°
Sabemos que os ângulos (Y + 30)° e X são verticais opostos, então temos:
Y+30 = 80
Y = 50°
EXERCÍCIO 3
Se os ângulos (4a-19)° e (3a + 16)° são ângulos verticais opostos, qual é o valor de a?
Solução: Uma vez que os ângulos são verticais opostos, sabemos que eles são iguais:
4a-19 = 3a+16
4a-3a = 16+19
a = 35
O valor dos ângulos fornecidos é:
4(35)-19 = 121°
EXERCÍCIO 4
Se tivermos que os ângulos (2x + 5)° e (3x-25)° são consecutivos, qual é a sua medida?
Solução: Ângulos consecutivos são complementares, então temos:
(2x+5) + (3x-25) = 180
5x-20 = 180
5x = 200
x = 40
Então, a medida dos ângulos é:
2x+5 = 2(40)+5 = 85°
3x-25 = 3(40)-25 = 95°
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
