Os pentágonos têm a soma dos ângulos internos de 540°. Assim, no caso de pentágonos regulares, cada ângulo interno mede 108°. Os pentágonos irregulares têm ângulos de medidas diferentes, mas sua soma é sempre igual a 540°.
A seguir, aprenderemos mais sobre os ângulos internos de um pentágono. Conheceremos a fórmula dos ângulos internos e resolveremos alguns exercícios.
Soma dos ângulos internos de um pentágono
A soma de todos os ângulos internos de qualquer pentágono é sempre igual a 540°. Isso se aplica independentemente de o pentágono ser regular ou irregular. Esta soma é obtida aplicando a fórmula da soma do ângulo do polígono:
| $latex (n-2)\times 180$° |
onde, n é o número de lados do polígono. No caso de um pentágono, temos $latex n=5$. Então, usando a fórmula:
$latex (n-2)\times 180$°
$latex =(5-2)\times 180$°
$latex =(3)\times 180$°
$latex =540$°
Por sua vez, esta fórmula é derivada considerando que podemos dividir qualquer polígono em triângulos como no diagrama a seguir:
Para qualquer polígono, podemos formar um total de n-2 triângulos. Além disso, sabemos que todo triângulo tem a soma dos ângulos internos de 180°, então $latex (n-2)\times 180$° corresponde à soma dos ângulos internos do polígono.
Como calcular as medidas de todos os ângulos internos de pentágonos?
Se o pentágono é regular, sabemos que todos os seus lados têm a mesma medida. Assim, podemos determinar as medidas de cada ângulo interno simplesmente dividindo a soma total por 5. Assim, temos:
540°÷5=108°
A medida de cada ângulo interno de um pentágono regular é igual a 108°.
No caso de pentágonos irregulares, as medidas de seus ângulos internos são diferentes entre si. Então, para encontrar a medida de algum ângulo ausente, precisamos conhecer as medidas dos outros ângulos.
Por exemplo, se sabemos que um pentágono tem ângulos de 110°, 100°, 120° e 90°, podemos calcular a medida do quinto ângulo somando os ângulos conhecidos e subtraindo de 540°. Então nós temos:
110°+100°+120°+90°=420°
⇒ 540°-420°=120°
A medida do ângulo que falta é 120°.
Exemplos resolvidos de ângulos internos de um pentágono
EXEMPLO 1
Encontre os ângulos que faltam no pentágono a seguir.
Solução: Neste caso, temos os ângulos 90°, 100°, 130° e 110°. Então, começamos a adicioná-los:
90°+100°+130°+110°=430°
Agora, subtraímos isso de 540° para encontrar o ângulo que falta:
540°-430°=110°
O ângulo ausente mede 110°.
EXEMPLO 2
Determine a medida do ângulo que falta no pentágono a seguir.
Solução: Sabemos que a soma de todos os ângulos internos de um pentágono é igual a 540°. Então, temos que somar todos os ângulos conhecidos e subtrair de 540°:
80°+120°+100°+110°=410°
⇒ 540°-410°=130°
A medida do ângulo que falta é 130°.
EXEMPLO 3
Agora, vamos ver um exemplo em que precisamos encontrar mais de um ângulo ausente. Aqui, os ângulos que são diferentes são marcados de forma diferente. Por exemplo, os ângulos com linhas duplas são iguais.
Solução: Como os ângulos com linhas duplas são iguais, temos a = 120°.
Além disso, também sabemos que os ângulos b e c são iguais, pois ambos têm linhas triplas. Para encontrar a medida desses ângulos, começamos adicionando os ângulos que conhecemos até agora:
90°+120°+120°=330°
Agora, subtraímos isso de 540° para encontrar os ângulos ausentes:
540°-330°=210°
Como os dois ângulos ausentes são iguais, dividimos 210° por 2 para obter a medida de cada um. Assim, temos b=105° e c=105°.
EXEMPLO 4
Encontre os ângulos que faltam no pentágono a seguir.
Solução: Os ângulos que possuem linhas triplas têm a mesma medida. Então, temos c = 100°.
Os ângulos a e b também têm a mesma medida, pois ambos têm linhas duplas. Para encontrar sua medida, temos que começar adicionando os ângulos conhecidos:
80°+100°+100°=280°
Agora, subtraímos isso de 540° e temos:
540°-280°=260°
Como os ângulos a e b são iguais, dividimos o resultado por 2 e obtemos a=130° e b=130°.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
