Os hexágonos têm a soma dos ângulos internos de 720°. Um hexágono regular tem todos os seus ângulos da mesma medida, então cada ângulo interno mede 120°. Por outro lado, hexágonos irregulares possuem ângulos com medidas diferentes, mas sempre têm uma soma total igual a 720°.
A seguir, aprenderemos mais detalhadamente sobre os ângulos internos dos hexágonos. Conheceremos a fórmula utilizada para encontrar a soma desses ângulos e veremos alguns exemplos.
Soma dos ângulos internos de um hexágono
A soma de todos os ângulos internos de um hexágono é sempre igual a 720°. Isso é verdade independentemente de o hexágono ser regular ou irregular. A soma dos ângulos é obtida pela fórmula da soma dos ângulos dos polígonos:
| $latex (n-2)\times 180$° |
onde, n é o número de lados do polígono. Para um hexágono, usamos $latex n=6$. Então temos:
$latex (n-2)\times 180$°
$latex =(6-2)\times 180$°
$latex =(4)\times 180$°
$latex =720$°
A fórmula da soma dos ângulos internos é derivada porque podemos dividir qualquer polígono em triângulos como no diagrama a seguir:
Sabemos que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°. Além disso, podemos formar um total de n-2 triângulos em qualquer polígono, onde n é o número de lados do polígono. Isso significa que $latex (n-2)\times 180$° corresponde à soma de todos os ângulos internos do polígono.
Como determinar as medidas de todos os ângulos internos de hexágonos?
Quando temos um hexágono regular, podemos determinar as medidas de cada ângulo interno dividindo a soma total dos ângulos por 6. Isso é possível porque todos os ângulos internos de um polígono regular têm a mesma medida. Então nós temos:
720°÷6=120°
Cada ângulo interno de um hexágono regular tem medida igual a 120°.
Para determinar as medidas de quaisquer ângulos ausentes em hexágonos irregulares, precisamos conhecer as medidas dos outros ângulos, pois esses hexágonos possuem ângulos internos diferentes entre si.
Por exemplo, se temos um hexágono com ângulos internos de 100°, 110°, 120°, 130°, 150°, podemos determinar a medida do sexto ângulo somando os ângulos conhecidos e subtraindo de 720°:
100°+110°+120°+130°+150°=610°
⇒ 720°-610°=110°
A medida do ângulo que falta é 110°.
Exemplos resolvidos de ângulos internos de um hexágono
EXEMPLO 1
Determine o ângulo que falta no hexágono abaixo.
Solução: Podemos observar os ângulos 130°, 90°, 115°, 140° e 150°. Então, começamos a adicioná-los:
130°+90°+115°+140°+150°=625°
Agora, subtraímos o valor obtido de 720° para encontrar o ângulo que falta:
720°-615°=95°
O ângulo ausente mede 95°.
EXEMPLO 2
Encontre os ângulos que faltam no hexágono abaixo.
Solução: Temos as medidas de cinco dos seis ângulos internos do hexágono irregular. Sabemos que a soma total é igual a 720°, então podemos somar os ângulos conhecidos e subtrair de 720°:
110°+140°+100°+120°+150°=620°
⇒ 720°-620°=100°
A medida do ângulo que falta é 100°.
EXEMPLO 3
No exemplo abaixo, precisamos encontrar mais de um ângulo ausente. Nesse caso, ângulos diferentes têm símbolos diferentes. Por exemplo, os ângulos com linhas duplas são iguais.
Solução: Sabemos que os ângulos que possuem linhas duplas são iguais, portanto, temos a=130°.
Da mesma forma, os ângulos b e c são iguais, pois possuem uma linha tripla. Podemos encontrar a medida desses ângulos seguindo um processo semelhante ao exemplo anterior. Começamos adicionando os ângulos conhecidos:
100°+130°+130°+120°=480°
Agora, precisamos subtrair esse valor de 720° para encontrar os ângulos ausentes:
720°-480°=240°
Os ângulos ausentes têm a mesma medida, então dividimos por 2 para obter o valor de cada ângulo. Assim, temos b=120° e c=120°.
EXEMPLO 4
Encontre os ângulos que faltam no hexágono abaixo.
Solução: Os ângulos compartilhados pelas duas linhas são iguais. Então, temos a = 120°.
Os ângulos b e c também têm a mesma medida, pois ambos são representados por linhas triplas. Podemos determinar sua medida começando pela soma dos ângulos que conhecemos:
115°+120°+120°+105°=460°
Agora, subtraímos o valor obtido de 720° e temos:
720°-460°=260°
O resultado representa a soma dos dois ângulos ausentes. Como ambos os ângulos são iguais, temos que dividir por 2 para obter o valor de um ângulo. Então, temos b=130° e c=130°.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
