O teste da segunda derivada é um teste que nos permite encontrar a natureza dos pontos estacionários de uma função. Este teste nos diz que quando a segunda derivada no ponto é maior que 0, o ponto é um mínimo. Quando é menor que 0, o ponto é um máximo. E quando é igual a 0, o ponto pode ser um ponto de inflexão.
A seguir, aprenderemos como usar o Teste da Segunda Derivada para encontrar os pontos máximo, mínimo e inflexão de uma função.
O que é o teste da segunda derivada?
O teste da segunda derivada é um teste que nos permite determinar a natureza dos pontos estacionários de uma função.
A segunda derivada representa a taxa de variação da primeira derivada. No que lhe concerne, a primeira derivada é usada para encontrar o declive da curva em um ponto específico.
Assim, a segunda derivada representa a taxa de variação do declive da função. Podemos representar isso usando o seguinte diagrama:
No topo, temos a função $latex y=f(x)$, que possui um ponto máximo (P), um ponto mínimo (R) e um ponto de inflexão (Q). Na parte inferior, temos o gráfico da derivada da função.
- No ponto máximo P, o declive da derivada da função (a segunda derivada) é negativa. Então temos
$latex \frac{d^2y}{dx^2}<0$ no máximo
- No ponto de inflexão Q, o declive da derivada da função (a segunda derivada) é zero. Então temos
$latex \frac{d^2y}{dx^2}=0$
Nota: Há casos em que a segunda derivada pode ser zero no mínimo ou no máximo. Por esta razão, podemos examinar o sinal da primeira derivada em cada lado do ponto.
- No ponto mínimo R, o declive da derivada da função (a segunda derivada) é positiva. Então temos
$latex \frac{d^2y}{dx^2}>0$ no mínimo
Em resumo, o teste da segunda derivada nos diz que a segunda derivada da função é negativa em um ponto máximo, positiva em um ponto mínimo e zero em um ponto de inflexão.
Como aplicar o teste da segunda derivada para encontrar pontos estacionários
Para encontrar as coordenadas dos pontos estacionários de uma função, temos que usar a primeira derivada para encontrar esses pontos. Em seguida, usamos a segunda derivada para determinar sua natureza.
Então, encontramos os pontos estacionários seguindo estes passos:
Passo 1: Encontre a derivada da função.
Passo 2: Encontre as coordenadas x dos pontos estacionários. Para isso, usamos a derivada do passo 1 e formamos uma equação. Ou seja, temos $latex \frac{dy}{dx}=0$.
Passo 3: Use as coordenadas x dos pontos estacionários na função original para encontrar as coordenadas y.
Passo 4: Os pontos do passo 3 são os pontos estacionários. Usamos a segunda derivada para determinar a natureza desses pontos.
Quando $latex \frac{d^2y}{dx^2}<0$, temos um ponto máximo. Quando $latex \frac{d^2y}{dx^2}>0$, temos um ponto mínimo. Quando $latex \frac{d^2y}{dx^2}=0$, poderíamos ter um ponto de inflexão (confirme com a primeira derivada).
Exercícios resolvidos do teste da segunda derivada
EXERCÍCIO 1
Encontre os pontos estacionários da função $latex f(x)=-x^3+3x+1$ e determine sua natureza.
Solução
Passo 1: Começamos encontrando a derivada da função:
$latex f(x)=-x^3+3x+1$
$latex f'(x)=-3x^2+3$
Passo 2: Formando uma equação com a derivada e resolvendo para x, temos:
$latex -3x^2+3=0$
$latex -3x^2=-3$
$latex x=\sqrt{3}$
$latex x_{1}=1~~$ ou $latex ~~x_{2}=-1$
Passo 3: Usamos os pontos encontrados na função para encontrar as coordenadas y:
$latex y_{1}=-(1)^3+3(1)+1$
$latex y_{1}=3$
$latex y_{2}=-(-1)^3+3(-1)+1$
$latex y_{2}=-1$
Os pontos estacionários são (1, 3) e (-1, -1).
Passo 4: Usamos a segunda derivada para determinar a natureza dos dois pontos estacionários encontrados:
$latex f^{\prime \prime}(x)=-6x$
Quando $latex x=1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$ e quando $latex x=-1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x )> 0$.
Portanto, o ponto máximo é (1, 3) e o ponto mínimo é (-1, -1).
EXERCÍCIO 2
Encontre os pontos estacionários de $latex f(x)=2x^3-6x$ e determine sua natureza.
Solução
Passo 1: A derivada da função é:
$latex f(x)=2x^3-6x$
$latex f'(x)=6x^2-6$
Passo 2: Formamos uma equação com a derivada para encontrar os valores de x dos pontos estacionários:
$latex 6x^2-6=0$
$latex 6x^2=6$
$latex x^2=\sqrt{1}$
$latex x_{1}=1~~$ ou $latex ~~x_{2}=-1$
Passo 3: Usando os valores de x na função, encontramos os valores de y:
$latex y_{1}=2(1)^3-6(1)$
$latex y_{1}=-4$
$latex y_{2}=2(-1)^3-6(-1)$
$latex y_{2}=4$
Passo 4: Agora, usamos a segunda derivada para determinar a natureza desses pontos:
$latex f^{\prime \prime}(x)=12x$
Quando $latex x=1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$ e quando $latex x=-1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x ) < 0$.
O ponto mínimo é (1, -4) e o ponto máximo é (-1, 4).
EXERCÍCIO 3
Quais são os pontos estacionários da função $latex g(x)=x^3 – 3x^2 + 3x+1$?
Solution
Passo 1: A derivada da função dada é:
$latex g(x)=x^3 – 3x^2 + 3x+1$
$latex g'(x)=3x^2-6x+3$
Passo 2: Formamos uma equação com a derivada e resolvemos através de fatoração para encontrar os pontos estacionários:
$latex 3x^2-6x+3=0$
$latex 3(x^2-2x+1) = 0$
$latex 3(x-1)(x-1) = 0$
$latex x=1$
Passo 3: As coordenadas y dos pontos estacionários são:
$latex y=(1)^3 – 3(1)^2 + 3(1)+1$
$latex y=2$
Passo 4: Agora, podemos classificar os pontos estacionários utilizando a segunda derivada da função:
$latex g^{\prime \prime}(x)=6x-6$
Quando $latex x=1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)=0$. Portanto, o ponto (1, 2) é um ponto de inflexão.
EXERCÍCIO 4
Encontre as coordenadas dos pontos estacionários da função $latex f(x)=x^3-6x^2-15x+1$.
Solução
Passo 1: Podemos encontrar a derivada da função da seguinte forma:
$latex f(x)=x^3-6x^2-15x+1$
$latex f'(x)=3x^2-12x-15$
Passo 2: Encontramos os pontos estacionários formando uma equação com a derivada e resolvendo por fatoração:
$latex 3x^2-12x-15=0$
$latex 3(x^2-4-5)=0$
$latex 3(x-5)(x+1)=0$
$latex x_{1}=5~~$ ou $latex ~~x_{2}=-1$
Passo 3: As coordenadas y dos pontos são:
$latex y_{1}=(5)^3-6(5)^2-15(5)+1$
$latex y_{1}=-99$
$latex y_{2}=(-1)^3-6(-1)^2-15(-1)+1$
$latex y_{2}=9$
Passo 4: Usando a segunda derivada, determinamos a natureza dos pontos encontrados:
$latex f^{\prime \prime}(x)=6x-12$
Quando $latex x=5$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$ e quando $latex x=-1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x ) < 0$.
Portanto, o ponto (5, -99) é um ponto mínimo e (-1, 9) é um ponto máximo.
EXERCÍCIO 5
Quais são os pontos estacionários de $latex f(x)=x^4+4x^3+1$?
Solução
Passo 1: Encontrando a derivada da função, temos:
$latex f(x)=x^4+4x^3+1$
$latex f'(x)=4x^3+12x^2$
Passo 2: Formando uma equação com a derivada e resolvendo para x, encontramos os pontos estacionários:
$latex 4x^3+12x^2=0$
$latex 4x^2(x+3)=0$
$latex x_{1}=0~~$ ou $latex ~~x_{2}=-3$
Passo 3: As coordenadas y dos pontos estacionários são:
$latex y_{1}=(0)^4+4(0)^3+1$
$latex y_{1}=1$
$latex y_{2}=(-3)^4+4(-3)^3+1$
$latex y_{2}=-26$
Passo 4: Usamos a segunda derivada para determinar a natureza dos pontos estacionários:
$latex f^{\prime \prime}(x)=12x^2+24x$
Quando $latex x=0$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)=0$ e quando $latex x=-3$, temos $latex f^{\prime \prime}(x )> 0$.
O ponto $latex x=0$ pode ser um ponto de virada. Usando os valores $latex x=0,1$ e $latex x=-0,1$ na primeira derivada, obtemos declives com o mesmo sinal, então o ponto é de fato um ponto de inflexão.
As coordenadas do ponto de inflexão são (0, 1) e as coordenadas do ponto mínimo são (-3, -26).
Teste da segunda derivada – Exercícios para resolver
Qual é o ponto mínimo da função $latex f(x)=-2x^4+10x^2-8$
Escreva as coordenadas na caixa.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
