Ponto mínimo de uma função – Fórmulas e Exercícios

As coordenadas do ponto mínimo de uma função podem ser encontradas usando a derivada da função. Para isso, lembramos que os pontos estacionários possuem declive igual a zero. Depois, encontramos as raízes da derivada e usamos a segunda derivada para confirmar se o ponto é um mínimo.

Em seguida, aprenderemos sobre pontos mínimos de funções. Vamos conhecer como encontrar esses pontos e resolver alguns exercícios práticos.

CÁLCULO
Plotagem do ponto mínimo de uma função

Relevante para

Aprender a encontrar o ponto de mínimo de uma função.

Ver processo

CÁLCULO
Plotagem do ponto mínimo de uma função

Relevante para

Aprender a encontrar o ponto de mínimo de uma função.

Ver processo

Qual é o ponto de mínimo de uma função?

O ponto mínimo de uma função é o menor valor possível que podemos obter das saídas da função, ou seja, dos valores de y. O ponto mínimo é um dos pontos estacionários de uma função.

Além disso, lembre-se de que os pontos estacionários das funções são pontos onde o declive da reta tangente é igual a zero. Isso significa que em um ponto mínimo temos $latex \frac{dy}{dx}=0$.

No diagrama a seguir, podemos observar a representação de um ponto de mínimo de uma função:

Plotagem do ponto mínimo de uma função

O declive da curva é negativa no lado esquerdo do ponto P e o declive é positiva no lado direito. Ou seja, temos o seguinte:

  • Do lado esquerdo de P: $latex \frac{dy}{dx}<0$
  • No ponto P: $latex \frac{dy}{dx}=0$
  • Do lado direito de P: $latex \frac{dy}{dx}>0$

Isso significa que a segunda derivada da função em um ponto mínimo é positiva, pois a derivada cresce da esquerda para a direita próximo a esse ponto.


Como encontrar o ponto de mínimo de uma função?

Podemos determinar as coordenadas do ponto mínimo de uma função usando a derivada da função para encontrar os pontos estacionários. Em seguida, usamos a segunda derivada para identificar qual dos pontos é o mínimo.

Para encontrar os pontos estacionários, tomamos o declive da reta tangente em um ponto estacionário como zero. Então, formamos uma equação com a derivada e encontramos suas raízes.

Podemos seguir os seguintes passos para encontrar o ponto mínimo de uma função:

Passo 1: Encontre a derivada da função.

Passo 2: Use a derivada da função para encontrar os pontos estacionários. Para fazer isso, formamos uma equação com a derivada e resolvemos para x. Ou seja, temos $latex \frac{dy}{dx}=0$.

Passo 3: Determine a natureza dos pontos estacionários usando a segunda derivada. Quando temos um ponto mínimo, devemos ter $latex \frac{d^2y}{dx^2}>0$.

Passo 4: Use a coordenada x do ponto mínimo para encontrar a coordenada y do ponto.


Exemplos resolvidos do ponto mínimo de uma função

EXEMPLO 1

Encontre o ponto mínimo da função $latex f(x)=x^2+2x$

Solução

EXEMPLO 2

Determine as coordenadas do ponto mínimo da função $latex f(x)=2x^2+8x+2$.

Solução

EXEMPLO 3

Qual é o ponto mínimo da função $latex f(x)=x^3-3x$?

Solução

EXEMPLO 4

Determine o ponto mínimo da função $latex f(x)=2x^3-6x$.

Solução

EXEMPLO 5

Encontre o ponto mínimo de $latex f(x)=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x$.

Solução

EXEMPLO 6

O seguinte triângulo retângulo ABC tem lados com comprimentos AB=x e BC=x+2. Encontre a área mínima do triângulo ABC.

ponto mínimo de um exercício de função 6
Solução

Ponto mínimo de uma função – Exercícios para resolver

Prática de ponto mínimo de uma função
Logo
Você concluiu os exercícios!

Qual é o ponto mínimo da função $latex f(x)=2x^3-24x+10$?

Escreva as coordenadas na caixa.

$latex =$

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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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