As coordenadas do ponto mínimo de uma função podem ser encontradas usando a derivada da função. Para isso, lembramos que os pontos estacionários possuem declive igual a zero. Depois, encontramos as raízes da derivada e usamos a segunda derivada para confirmar se o ponto é um mínimo.
Em seguida, aprenderemos sobre pontos mínimos de funções. Vamos conhecer como encontrar esses pontos e resolver alguns exercícios práticos.
Qual é o ponto de mínimo de uma função?
O ponto mínimo de uma função é o menor valor possível que podemos obter das saídas da função, ou seja, dos valores de y. O ponto mínimo é um dos pontos estacionários de uma função.
Além disso, lembre-se de que os pontos estacionários das funções são pontos onde o declive da reta tangente é igual a zero. Isso significa que em um ponto mínimo temos $latex \frac{dy}{dx}=0$.
No diagrama a seguir, podemos observar a representação de um ponto de mínimo de uma função:
O declive da curva é negativa no lado esquerdo do ponto P e o declive é positiva no lado direito. Ou seja, temos o seguinte:
- Do lado esquerdo de P: $latex \frac{dy}{dx}<0$
- No ponto P: $latex \frac{dy}{dx}=0$
- Do lado direito de P: $latex \frac{dy}{dx}>0$
Isso significa que a segunda derivada da função em um ponto mínimo é positiva, pois a derivada cresce da esquerda para a direita próximo a esse ponto.
Como encontrar o ponto de mínimo de uma função?
Podemos determinar as coordenadas do ponto mínimo de uma função usando a derivada da função para encontrar os pontos estacionários. Em seguida, usamos a segunda derivada para identificar qual dos pontos é o mínimo.
Para encontrar os pontos estacionários, tomamos o declive da reta tangente em um ponto estacionário como zero. Então, formamos uma equação com a derivada e encontramos suas raízes.
Podemos seguir os seguintes passos para encontrar o ponto mínimo de uma função:
Passo 1: Encontre a derivada da função.
Passo 2: Use a derivada da função para encontrar os pontos estacionários. Para fazer isso, formamos uma equação com a derivada e resolvemos para x. Ou seja, temos $latex \frac{dy}{dx}=0$.
Passo 3: Determine a natureza dos pontos estacionários usando a segunda derivada. Quando temos um ponto mínimo, devemos ter $latex \frac{d^2y}{dx^2}>0$.
Passo 4: Use a coordenada x do ponto mínimo para encontrar a coordenada y do ponto.
Exemplos resolvidos do ponto mínimo de uma função
EXEMPLO 1
Encontre o ponto mínimo da função $latex f(x)=x^2+2x$
Solução
Passo 1: A derivada da função é:
$latex f(x)=x^2+2x$
$latex f'(x)=2x+2$
Passo 2: Usando a derivada da função, formamos uma equação para encontrar o valor de x:
$latex 2x+2=0$
$latex 2x=-2$
$latex x=-1$
Passo 3: O valor de x encontrado corresponde a um ponto estacionário. Agora, temos que verificar se o ponto é um mínimo usando a segunda derivada:
$latex f^{\prime \prime}(x)=2$
Temos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$. Isso significa que o próprio ponto é um ponto mínimo.
Passo 4: Usamos $latex x=-1$ na função para encontrar a coordenada y da função:
$latex y=x^2+2x$
$latex y=(-1)^2+2(-1)$
$latex y=-1$
O ponto mínimo da função é (-1, -1).
EXEMPLO 2
Determine as coordenadas do ponto mínimo da função $latex f(x)=2x^2+8x+2$.
Solução
Passo 1: Começamos encontrando a derivada da função. Então temos:
$latex f(x)=2x^2+8x+2$
$latex f'(x)=4x+8$
Passo 2: Podemos encontrar o valor de x formando uma equação com a derivada da função:
$latex 4x+8=0$
$latex 4x=-8$
$latex x=-2$
Passo 3: Usamos a segunda derivada para verificar se o ponto que encontramos é um ponto de mínimo:
$latex f^{\prime \prime}(x)=4$
Temos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$, então o ponto em si é um ponto mínimo.
Passo 4: A coordenada y do ponto é:
$latex y=2x^2+8x+2$
$latex y=2(-2)^2+8(-2)+2$
$latex y=-6$
O ponto mínimo da função é (-2, -6).
EXEMPLO 3
Qual é o ponto mínimo da função $latex f(x)=x^3-3x$?
Solução
Passo 1: Começamos encontrando a derivada da função:
$latex f(x)=x^3-3x$
$latex f'(x)=3x^2-3$
Passo 2: Encontramos os valores de x formando uma equação com a derivada:
$latex 3x^2-3=0$
$latex x=\sqrt{1}$
$latex x=\pm 1$
$latex x=1~~$ ou $latex ~~x=-1$
Passo 3: Os dois valores de x encontrados correspondem a pontos estacionários. Então, usamos a segunda derivada para determinar qual é o ponto mínimo:
$latex f^{\prime \prime}(x)=6x$
Quando $latex x=1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$ e quando $latex x=-1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x ) < 0$. Isso significa que $latex x=1$ é o ponto mínimo.
Passo 4: A coordenada y do ponto mínimo é:
$latex y=x^3-3x$
$latex y=(1)^3-3(1)$
$latex y=-2$
O ponto mínimo da função é (1, -2).
EXEMPLO 4
Determine o ponto mínimo da função $latex f(x)=2x^3-6x$.
Solução
Passo 1: Temos a seguinte derivada:
$latex f(x)=2x^3-6x$
$latex f'(x)=6x^2-6$
Passo 2: Os valores x dos pontos estacionários são:
$latex 6x^2-6=0$
$latex x=\sqrt{1}$
$latex x=\pm 1$
$latex x=1~~$ ou $latex ~~x=-1$
Passo 3: Com a segunda derivada, determinamos qual dos pontos é o mínimo:
$latex f^{\prime \prime}(x)=12x$
Quando $latex x=1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$ e quando $latex x=-1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x ) < 0$. Isso significa que $latex x=1$ é o ponto mínimo.
Passo 4: A coordenada y do ponto mínimo é:
$latex y=2x^3-6x$
$latex y=2(1)^3-6(1)$
$latex y=-4$
O ponto mínimo da função é (1, -4).
EXEMPLO 5
Encontre o ponto mínimo de $latex f(x)=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x$.
Solução
Passo 1: Segue a derivada da função:
$latex f(x)=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x$
$latex f'(x)=-x^2+2x+3$
Passo 2: Encontramos os valores x dos pontos estacionários usando a derivada:
$latex -x^2+2x+3=0$
$latex -(x-3)(x+1)=0$
$latex x=3~~$ ou $latex ~~x=-1$
Passo 3: Determinamos qual é o ponto mínimo usando a segunda derivada:
$latex f^{\prime \prime}(x)=-2x+2$
Quando $latex x=3$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$ e quando $latex x=-1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x )> 0$. Isso significa que $latex x=-1$ é o ponto mínimo.
Passo 4: A coordenada y do ponto mínimo é:
$latex y=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x$
$latex y=-\frac{1}{3}(-1)^3+(-1)^2+3(-1)$
$latex y=-\frac{5}{3}$
O ponto mínimo da função é $latex (-1, ~-\frac{5}{3})$.
EXEMPLO 6
O seguinte triângulo retângulo ABC tem lados com comprimentos AB=x e BC=x+2. Encontre a área mínima do triângulo ABC.
Solução
Neste exercício, temos que começar encontrando uma equação para a área do triângulo em termos de x. Então, usamos a fórmula para a área de um triângulo com os comprimentos dados:
$latex A=\frac{1}{2}\times BC \times AB$
$latex A=\frac{1}{2}(x+2)x$
$latex A=\frac{1}{2}x^2+x$
Agora que temos uma função, podemos usar os seguintes passos.
Passo 1: Encontramos a derivada da função:
$latex A(x)=\frac{1}{2}x^2+x$
$latex A'(x)=x+1$
Passo 2: Achamos o valor de x:
$latex x+1=0$
$latex x=-1$
Passo 3: Com a segunda derivada verificamos se o ponto é um mínimo:
$latex A^{\prime \prime}(x)=1$
Temos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$, então confirmamos que o ponto é mínimo. Ou seja, a área está em seu valor mínimo ali.
Passo 4: Usamos $latex x=-1$ para encontrar a área mínima:
$latex A=\frac{1}{2}x^2+x$
$latex A=\frac{1}{2}(-1)^2-1$
$latex A=-\frac{1}{2}=0,5$
A área mínima do triângulo é de 0,5 cm².
Ponto mínimo de uma função – Exercícios para resolver
Qual é o ponto mínimo da função $latex f(x)=2x^3-24x+10$?
Escreva as coordenadas na caixa.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
