O ponto de máximo de uma função é encontrado usando a derivada da função. No ponto máximo, o declive da reta tangente é igual a zero. Assim, o ponto de máximo é encontrado procurando as raízes da derivada. Em seguida, usamos a segunda derivada para confirmar que o ponto é de fato um máximo.
Em seguida, aprenderemos sobre o ponto de máximo de uma função. Conheceremos como encontrar as coordenadas deste ponto e resolveremos alguns exercícios práticos.
Qual é o ponto de máximo de uma função?
O ponto máximo de uma função é um ponto estacionário onde o valor de y ou o valor de saída da função é o valor máximo que a função pode atingir.
Por outro lado, lembremos que um ponto estacionário é caracterizado pelo fato de que o declive da reta tangente nesse ponto é igual a zero. Ou seja, em um ponto máximo temos $latex \frac{dy}{dx}=0$.
Vejamos o diagrama a seguir, que representa um ponto de máximo de uma função:
Vemos que o declive da curva é positivo no lado esquerdo do ponto P e negativo no lado direito. Ou seja, temos o seguinte:
- No lado esquerdo de P: $latex \frac{dy}{dx}>0$
- No ponto P: $latex \frac{dy}{dx}=0$
- Do lado direito de P: $latex \frac{dy}{dx}<0$
Isso significa que a segunda derivada da função em um ponto máximo é negativa porque a derivada vai de positiva para negativa perto do ponto de máximo. Ou seja, a derivada diminui da esquerda para a direita.
Como encontrar o ponto de máximo de uma função?
As coordenadas do ponto máximo de uma função podem ser encontradas usando a derivada da função. Além disso, a segunda derivada pode ser usada para confirmar que o ponto é de fato um ponto máximo.
Como mencionamos anteriormente, o declive da reta tangente em um ponto estacionário é igual a zero. Isso significa que podemos encontrar os pontos estacionários tomando as raízes da derivada da função.
Assim, podemos seguir os seguintes passos para encontrar o ponto de máximo de uma função:
Passo 1: Obtenha a derivada da função.
Passo 2: Forme uma equação com a derivada e resolva para x. Ou seja, temos $latex \frac{dy}{dx}=0$.
Passo 3: Os pontos encontrados no passo 2 são os pontos estacionários. Usamos a segunda derivada para determinar a natureza dos pontos.
Para que o ponto seja máximo, devemos ter $latex \frac{d^2y}{dx^2}<0$.
Passo 4: Use a coordenada x do ponto máximo para encontrar a coordenada y do ponto.
Exercícios resolvidos do ponto máximo de uma função
EXERCÍCIO 1
Encontre o ponto máximo da função $latex f(x)=-x^2+2x$.
Solução
Passo 1: Encontrando a derivada da função, temos:
$latex f(x)=-x^2+2x$
$latex f'(x)=-2x+2$
Passo 2: Formando uma equação com a derivada, podemos encontrar o valor de x:
$latex -2x+2=0$
$latex -2x=-2$
$latex x=1$
Passo 3: Nesse caso, temos apenas um valor de x, portanto, temos apenas um ponto estacionário. Verificamos se o ponto é um máximo usando a segunda derivada:
$latex f^{\prime \prime}(x)=-2$
Temos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$, então confirmamos que o ponto é um máximo
Passo 4: A coordenada y do ponto máximo é:
$latex y=-x^2+2x$
$latex y=-(1)^2+2(1)$
$latex y=1$
O ponto máximo tem as coordenadas (1, 1).
EXERCÍCIO 2
Quais são as coordenadas do ponto máximo da função $latex f(x)=-2x^2-8x$?
Solução
Passo 1: A derivada da função é:
$latex f(x)=-2x^2-8x$
$latex f'(x)=-4x-8$
Passo 2: Encontrando o valor de x, temos:
$latex -4x-8=0$
$latex -4x=8$
$latex x=-2$
Passo 3: Usamos a segunda derivada para verificar se o ponto encontrado é um ponto de máximo:
$latex f^{\prime \prime}(x)=-4$
Temos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$, então confirmamos que é um ponto de máximo.
Passo 4: Usamos a função com o valor $latex x=-2$ para encontrar a coordenada y:
$latex y=-2x^2-8x$
$latex y=-2(-2)^2-8(-2)$
$latex y=-8+16$
$latex y=8$
O ponto máximo tem as coordenadas (-2, 8).
EXERCÍCIO 3
Encontre as coordenadas do ponto máximo da função $latex f(x)=-x^3+3x$.
Solução
Passo 1: A derivada da função é:
$latex f(x)=-x^3+3x$
$latex f'(x)=-3x^2+3$
Passo 2: Encontrando os valores de x, temos:
$latex -3x^2+3=0$
$latex -3x^2=-3$
$latex x=\sqrt{3}$
$latex x=1~~$ ou $latex ~~x=-1$
Passo 3: Nesse caso, temos dois valores de x, então usamos a segunda derivada para determinar qual é o ponto de máximo:
$latex f^{\prime \prime}(x)=-6x$
Quando $latex x=1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$, e quando $latex x=-1$, temos $latex f^{\prime \prime}( x) >0$. Então $latex x=1$ é o ponto máximo.
Passo 4: A coordenada y do ponto máximo é:
$latex y=-x^3+3x$
$latex y=-(1)^3+3(1)$
$latex y=2$
O ponto máximo tem as coordenadas (1, 2).
EXERCÍCIO 4
Se tivermos a função $latex f(x)=2x^3-6x$, qual é o seu ponto máximo?
Solução
Passo 1: Derivando a função, temos:
$latex f(x)=2x^3-6x$
$latex f'(x)=6x^2-6$
Passo 2: Encontrando os valores de x, temos:
$latex 6x^2-6=0$
$latex 6x^2=6$
$latex x^2=\sqrt{1}$
$latex x=1~~$ ou $latex ~~x=-1$
Passo 3: Temos dois pontos estacionários, então usamos a segunda derivada para determinar qual é o ponto máximo:
$latex f^{\prime \prime}(x)=12x$
Para $latex x=1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$ e para $latex x=-1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x )< 0$, então $latex x=-1$ é o ponto máximo.
Passo 4: A coordenada y do ponto máximo é:
$latex y=2x^3-6x$
$latex y=2(-1)^3-6(-1)$
$latex y=4$
O ponto máximo tem as coordenadas (-1, 4).
EXERCÍCIO 5
Qual é o ponto máximo de $latex f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2-3x$?
Solução
Passo 1: A derivada da função é:
$latex f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2-3x$
$latex f'(x)=x^2+2x-3$
Passo 2: Podemos formar uma equação com a derivada e resolver usando fatoração:
$latex x^2+2x-3=0$
$latex (x+3)(x-1)=0$
$latex x=-3~~$ ou $latex ~~x=1$
Passo 3: Usamos a segunda derivada para determinar o ponto de máximo:
$latex f^{\prime \prime}(x)=2x+2$
Quando $latex x=-3$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$ e quando $latex x=1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x )> 0$. Portanto, o ponto máximo está em $latex x=-3$.
Passo 4: A coordenada y do ponto máximo é:
$latex f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2-3x$
$latex f(x)=\frac{1}{3}(-3)^3+(-3)^2-3(-3)$
$latex y=9$
O ponto máximo tem as coordenadas (-3, 9).
EXERCÍCIO 6
No triângulo retângulo ABC a seguir, os comprimentos dos lados AB e BC variam de tal forma que sua soma é sempre igual a 6 cm. Encontre a área máxima do triângulo ABC.
Solução
Para resolver esse problema, precisamos começar encontrando uma equação para a área do triângulo em função do lado x.
Sabemos que
$latex AB+BC=6$
$latex x+BC=6$
$latex BC=6-x$
Agora a área do triângulo é:
$latex A=\frac{1}{2}\times BC \times AB$
$latex A=\frac{1}{2}(6-x)x$
$latex A=3x-\frac{x^2}{2}$
Agora, usamos as etapas para encontrar o ponto máximo da função encontrada.
Passo 1: A derivada é:
$latex A(x)=3x-\frac{x^2}{2}$
$latex A'(x)=3-x$
Passo 2: O valor de x é:
$latex 3-x=0$
$latex x=3$
Passo 3: Usamos a segunda derivada para verificar se o ponto é um máximo:
$latex A^{\prime \prime}(x)=-1$
Temos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$, então confirmamos que o ponto é um máximo. Isso significa que a área é máxima com este valor de x.
Passo 4: Usamos $latex x=3$ para encontrar a área máxima:
$latex A=3x-\frac{x^2}{2}$
$latex A=3(3)-\frac{(3)^2}{2}$
$latex A=\frac{9}{2}=4,5$
A área máxima do triângulo é de 4,5 cm².
Ponto máximo de uma função – Exercícios para resolver
Encontre o ponto máximo da função $latex f(x)=2x^3-24x-10$.
Escreva as coordenadas na caixa.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
