Pontos de inflexão de uma função – Fórmulas e Exercícios

Passo 1: A derivada da função é:

$latex f(x)=x^3+2$

$latex f'(x)=3x^2$

Passo 2: Usando a derivada, formamos uma equação e encontramos os valores de x:

$latex 3x^2=0$

$latex x=0$

Passo 3: Usamos a segunda derivada para verificar que o ponto é um ponto de inflexão:

$latex f^{\prime \prime}(x)=6x$

Quando $latex x=0$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)=0$. Então, o ponto é um ponto de virada. Podemos usar seu gráfico para verificar completamente:

Passo 4: Usando $latex x=0$ na função, encontramos a coordenada y do ponto:

$latex y=x^3+2$

$latex y=(0)^3+2$

$latex y=2$

As coordenadas do ponto de inflexão são (0, 2).

Passo 1: Começamos encontrando a derivada da função:

$latex f(x)=x^5-4$

$latex f'(x)=5x^4$

Passo 2: Encontramos os valores de x na equação formada pela derivada:

$latex 5x^4=0$

$latex x=0$

Passo 3: Verificamos se o ponto é um ponto de inflexão usando a segunda derivada:

$latex f^{\prime \prime}(x)=20x^3$

Quando $latex x=0$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)=0$. Então, o ponto é um ponto de virada. Podemos usar seu gráfico para verificar completamente:

Passo 4: Encontramos a coordenada y do ponto usando $latex x=0$ na função:

$latex y=x^5-4$

$latex y=(0)^5-4$

$latex y=-4$

As coordenadas do ponto de inflexão são (0, -4).

Passo 1: Começamos encontrando a derivada da função:

$latex f(x)=x^3-9x^2+27x-29$

$latex f'(x)=3x^2-18x+27$

Passo 2: Formamos uma equação com a derivada para encontrar os valores de x dos pontos estacionários:

$latex 3x^2-18x+27=0$

$latex 3(x^2-6x+9)=0$

$latex 3(x-3)(x-3)=0$

$latex x=3$

Passo 3: Verifique se o ponto é um ponto de inflexão com a segunda derivada:

$latex f^{\prime \prime}(x)=6x-18$

Quando $latex x=3$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)=0$.

Além disso, quando usamos $latex x=3,1$ (direita do ponto) e $latex x=2,9$ (esquerda do ponto) na primeira derivada, obtemos dois valores positivos, confirmando assim que é um ponto de inflexão.

Passo 4: Usando $latex x=3$ na função, encontramos a coordenada y do ponto:

$latex y=x^3-9x^2+27x-29$

$latex y=(3)^3-9(3)^2+27(3)-29$

$latex y=-2$

As coordenadas do ponto de inflexão são (3, -2).

Passo 1: Derivando a função, temos:

$latex f(x)=x^4+4x^3+1$

$latex f'(x)=4x^3+12x^2$

Passo 2: Os valores de x dos pontos estacionários são:

$latex 4x^3+12x^2=0$

$latex 4x^2(x+3)=0$

$latex x=0~~$ ou $latex ~~x=-3$

Passo 3: Usamos a segunda derivada para determinar qual ponto é um ponto de inflexão:

$latex f^{\prime \prime}(x)=12x^2+24x$

Quando $latex x=0$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)=0$ e quando $latex x=-3$, temos $latex f^{\prime \prime}(x )> 0$. Então o ponto $latex x=0$ pode ser um ponto de virada.

Usando os valores $latex x=0,1$ e $latex x=-0,1$ na primeira derivada, obtemos declives com o mesmo sinal, então o ponto é de fato um ponto de inflexão.

Passo 4: Usando $latex x=0$ na função, encontramos a coordenada y do ponto:

$latex y=x^4+4x^3+1$

$latex y=(0)^4+4(0)^3+1$

$latex y=1$

As coordenadas do ponto de inflexão são (0, 1).

A derivada e a segunda derivada da função são:

$latex f(x)=x^4 – 4x^2 + 4$

$latex f^{\prime}(x)=4x^3-8x$

$latex f^{\prime \prime}(x)=12x^2-8$

Agora, utilizamos a segunda derivada para formar uma equação e encontrar os valores x:

$latex f^{\prime \prime}(x)=12x^2-8=0$

$$x^2=\frac{2}{3}$$

$$x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$$

Assim, os pontos de inflexão ocorrem nos pontos $latex x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$.

Agora, usamos esses valores de x para encontrar as coordenadas y:

$$y_{1}=\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^4 – 4\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2 + 4$$

$$y_{1}=\frac{4}{3}$$

$$y_{2}=\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^4 – 4\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2 + 4$$

$$y_{2}=\frac{4}{3}$$

As coordenadas dos pontos de inflexão são $latex \left(\sqrt{\frac{2}{3}}, \frac{4}{3}\right)$ e $latex \left(-\sqrt{\frac{2}{3}}, \frac{4}{3}\right)$.