Pontos de inflexão de uma função – Fórmulas e Exercícios

As coordenadas dos pontos de inflexão de uma função são encontradas usando a derivada da função. Depois, encontramos as raízes da derivada e analisamos a natureza desses pontos. Nos pontos de inflexão, o declive tem o mesmo sinal em ambos os lados do ponto.

A seguir, aprenderemos sobre pontos de inflexão de funções. Vamos saber como encontrar esses pontos e resolver alguns exercícios práticos.

CÁLCULO
Ponto de inflexão de uma função

Relevante para

Aprender a encontrar os pontos de inflexão de uma função.

Ver processo

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Ponto de inflexão de uma função

Relevante para

Aprender a encontrar os pontos de inflexão de uma função.

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Quais são os pontos de inflexão de uma função?

Os pontos de inflexão de uma função são pontos estacionários que têm como principal característica o declive ter o mesmo sinal em ambos os lados do ponto.

Os pontos estacionários das funções são os pontos onde o declive é igual a zero. Isso significa que nos pontos de inflexão temos $latex \frac{dy}{dx}=0$.

No diagrama a seguir, podemos observar os dois casos de pontos de virada:

Diagrama dos pontos de inflexão de uma função

No ponto de inflexão à esquerda, o declive é positivo em ambos os lados do ponto de inflexão. Ou seja, a função cresce da esquerda para a direita, então temos o seguinte:

  • No lado esquerdo de P: $latex \frac{dy}{dx}>0$
  • No ponto P: $latex \frac{dy}{dx}=0$
  • Do lado direito de P: $latex \frac{dy}{dx}>0$

No ponto de inflexão à direita, o declive é negativo em ambos os lados do ponto de inflexão. Ou seja, a função diminui da esquerda para a direita, então temos o seguinte:

  • Do lado esquerdo de P: $latex \frac{dy}{dx}<0$
  • No ponto P: $latex \frac{dy}{dx}=0$
  • Do lado direito de P: $latex \frac{dy}{dx}<0$

Como encontrar os pontos de inflexão de uma função?

Para encontrar os pontos de inflexão, usamos a derivada da função para encontrar os pontos estacionários. Depois, podemos diferenciar os pontos de inflexão com a segunda derivada ou com os sinais da derivada em cada lado do ponto.

Lembre-se de que os pontos estacionários são caracterizados pelo fato de o declive nesses pontos ser igual a zero. Então, usamos a derivada da função para formar uma equação e encontrar suas raízes.

Seguimos os seguintes passos para encontrar os pontos de inflexão de uma função:

Passo 1: Obtenha a derivada da função.

Passo 2: Encontre os pontos estacionários usando a derivada. Para isso, formamos a equação $latex \frac{dy}{dx}=0$ e encontramos os valores de x.

Passo 3: Determine quais dos pontos estacionários são pontos de inflexão. Quando temos um ponto de inflexão, devemos ter $latex \frac{d^2y}{dx^2}=0$.

No entanto, a segunda derivada também pode ser zero em um ponto máximo ou mínimo. Portanto, a melhor maneira de identificar pontos de virada é examinar o sinal da derivada em cada lado do ponto.

Para que um ponto estacionário seja um ponto de inflexão, o declive deve ter o mesmo sinal em ambos os lados do ponto.

Passo 4: Use as coordenadas x dos pontos de inflexão para encontrar as coordenadas y dos pontos.


Exercícios resolvidos dos pontos de inflexão de uma função

EXERCÍCIO 1

Encontre o ponto de inflexão da função $latex f(x)=x^3+2$.

Solução

EXERCÍCIO 2

Quais são as coordenadas do ponto de inflexão da função $latex f(x)=x^5-4$?

Solução

EXERCÍCIO 3

Encontre o ponto de inflexão da função $latex f(x)=x^3-9x^2+27x-29$.

Solução

EXERCÍCIO 4

Encontre as coordenadas do ponto de inflexão da função $latex f(x)=x^4+4x^3+1$.

Solução

EXERCÍCIO 5

Quais são os pontos de inflexão da função $latex f(x)=x^4 – 4x^2 + 4$?

Solução

Pontos de inflexão de uma função – Exercícios para resolver

Prática de pontos de inflexão de uma função
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Você concluiu os exercícios!

Quais são as coordenadas do ponto de inflexão na função $latex f(x)=x^3-3x^2+x$?

Escreva as coordenadas na caixa.

$latex =$

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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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