Máximos e mínimos com segunda derivada – Exercícios resolvidos

Para encontrar o ponto máximo, temos que começar encontrando todos os pontos estacionários. Para isso, obtemos a derivada da função

$latex f(x)=-x^2+2x$

$latex f'(x)=-2x+2$

Agora, formamos uma equação com a derivada e encontramos os valores de x:

$latex -2x+2=0$

$latex -2x=-2$

$latex x=1$

O valor encontrado corresponde a um ponto estacionário. Para verificar se o ponto é um ponto máximo, usamos a segunda derivada:

$latex f^{\prime \prime}(x)=-2$

Como $latex f^{\prime \prime}(x)<0$, o ponto encontrado corresponde a um ponto máximo.

Usando $latex x=1$ na função, encontramos a coordenada y do ponto máximo:

$latex y=-x^2+2x$

$latex y=-(1)^2+2(1)$

$latex y=1$

O ponto máximo tem as coordenadas (1, 1).

Começamos encontrando a derivada da função, pois vamos usá-la para encontrar os pontos estacionários:

$latex f(x)=x^2+2x-1$

$latex f'(x)=2x+2$

Formamos uma equação com a derivada e resolvemos para x:

$latex 2x+2=0$

$latex 2x=-2$

$latex x=-1$

Agora, usamos a segunda derivada para verificar se o ponto é um ponto mínimo.

$latex f^{\prime \prime}(x)=2$

Como temos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$, o ponto encontrado corresponde a um ponto mínimo.

Finalmente, usamos $latex x=-1$ na função para determinar a coordenada y do ponto:

$latex y=x^2+2x-1$

$latex y=(-1)^2+2(-1)-1$

$latex y=-2$

O ponto mínimo da função é (-1, -2).

Começamos encontrando a derivada da função:

$latex f(x)=-x^3+3x+2$

$latex f'(x)=-3x^2+3$

Formando uma equação com a derivada, podemos resolver para x para encontrar os pontos estacionários:

$latex -3x^2+3=0$

$latex -3x^2=-3$

$latex x=\sqrt{3}$

$latex x=1~~$ ou $latex ~~x=-1$

Usando a segunda derivada, podemos determinar a natureza dos pontos encontrados:

$latex f^{\prime \prime}(x)=-6x$

Se $latex x=1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$, e se $latex x=-1$, temos $latex f^{\prime \prime }( x)>0$. Então $latex x=1$ é o ponto máximo.

Usamos $latex x=1$ para encontrar a coordenada y do ponto máximo:

$latex y=-x^3+3x+2$

$latex y=-(1)^3+3(1)+2$

$latex y=4$

O ponto máximo tem as coordenadas (1, 4).

A derivada da função é a seguinte:

$latex f(x)=x^3-3x-2$

$latex f'(x)=3x^2-3$

Agora, usamos a derivada, formamos uma equação e resolvemos para x:

$latex 3x^2-3=0$

$latex x=\sqrt{1}$

$latex x=\pm 1$

$latex x=1~~$ ou $latex ~~x=-1$

Encontramos dois pontos estacionários. Portanto, temos que usar a segunda derivada para determinar a natureza desses pontos:

$latex f^{\prime \prime}(x)=6x$

Quando $latex x=1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$ e quando $latex x=-1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x ) < 0$. Então $latex x=1$ é o ponto mínimo.

Encontramos a coordenada y do ponto mínimo usando $latex x=1$ na função:

$latex y=x^3-3x-2$

$latex y=(1)^3-3(1)-2$

$latex y=-4$

O ponto mínimo da função é (1, -4).

A derivada da função é:

$latex f(x)=2x^3-6x+5$

$latex f'(x)=6x^2-6$

Podemos encontrar os valores de x dos pontos estacionários formando uma equação com a derivada:

$latex 6x^2-6=0$

$latex 6x^2=6$

$latex x^2=\sqrt{1}$

$latex x=1~~$ ou $latex ~~x=-1$

Agora, usamos a segunda derivada para determinar a natureza desses pontos:

$latex f^{\prime \prime}(x)=12x$

Quando $latex x=1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$ e quando $latex x=-1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x )< 0$, então $latex x=-1$ é o ponto máximo.

Encontramos a coordenada y do ponto máximo da seguinte forma:

$latex y=2x^3-6x$

$latex y=2(-1)^3-6(-1)$

$latex y=4$

O ponto máximo tem as coordenadas (-1, 4).

Encontramos a derivada da função da seguinte forma:

$latex f(x)=2x^3-6x-4$

$latex f'(x)=6x^2-6$

Podemos encontrar os pontos estacionários formando uma equação com a derivada e resolvendo para x:

$latex 6x^2-6=0$

$latex x=\sqrt{1}$

$latex x=\pm 1$

$latex x=1~~$ ou $latex ~~x=-1$

Temos dois pontos estacionários, então usamos a segunda derivada para determinar sua natureza:

$latex f^{\prime \prime}(x)=12x$

Quando $latex x=1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$ e quando $latex x=-1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x ) < 0$. Isso significa que $latex x=1$ é o ponto mínimo.

Finalmente, encontramos a coordenada y do ponto:

$latex y=2x^3-6x-4$

$latex y=2(1)^3-6(1)-4$

$latex y=-8$

O ponto mínimo da função é (1, -8).

Começamos encontrando a derivada da função:

$latex f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2-3x$

$latex f'(x)=x^2+2x-3$

Agora, vamos formar uma equação com a derivada e resolver por fatoração:

$latex x^2+2x-3=0$

$latex (x+3)(x-1)=0$

$latex x=-3~~$ ou $latex ~~x=1$

Encontramos dois pontos estacionários, então podemos usar a segunda derivada para determinar a natureza desses pontos:

$latex f^{\prime \prime}(x)=2x+2$

Quando $latex x=-3$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$ e quando $latex x=1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x )> 0$. Portanto, o ponto máximo está em $latex x=-3$.

Finalmente, encontramos a coordenada y do ponto usando $latex x=-3$ na função:

$latex f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2-3x$

$latex f(x)=\frac{1}{3}(-3)^3+(-3)^2-3(-3)$

$latex y=9$

O ponto máximo tem as coordenadas (-3, 9).

Começamos encontrando a derivada da função e formando uma equação para obter os pontos estacionários:

$latex f(x)=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x$

$latex f'(x)=-x^2+2x+3$

$latex -x^2+2x+3=0$

$latex -(x-3)(x+1)=0$

$latex x=3~~$ ou $latex ~~x=-1$

Agora, usamos a segunda derivada

$latex f^{\prime \prime}(x)=-2x+2$

Quando $latex x=3$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$ e quando $latex x=-1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x )> 0$. Isso significa que $latex x=-1$ é o ponto mínimo.

Finalmente, determinamos a coordenada y do ponto mínimo:

$latex y=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x$

$latex y=-\frac{1}{3}(-1)^3+(-1)^2+3(-1)$

$latex y=-\frac{5}{3}$

O ponto mínimo da função é $latex (-1, ~-\frac{5}{3})$.

Podemos resolver este problema encontrando uma função da área em termos de x. Para isso, observamos o seguinte:

$latex AB+BC=6$

$latex x+BC=6$

$latex BC=6-x$

Então, podemos usar a fórmula da área do triângulo para obter:

$latex A=\frac{1}{2}\times BC \times AB$

$latex A=\frac{1}{2}(6-x)x$

$latex A=3x-\frac{x^2}{2}$

Agora, temos que encontrar a derivada para formar uma equação e encontrar os pontos estacionários:

$latex A(x)=3x-\frac{x^2}{2}$

$latex A'(x)=3-x$

$latex 3-x=0$

$latex x=3$

Verificamos se este ponto é um ponto máximo usando a segunda derivada:

$latex A^{\prime \prime}(x)=-1$

Como $latex f^{\prime \prime}(x)<0$, sabemos que esse ponto é um máximo. Então, usamos $latex x=3$ para encontrar a área máxima:

$latex A=3x-\frac{x^2}{2}$

$latex A=3(3)-\frac{(3)^2}{2}$

$latex A=\frac{9}{2}=4,5$

A área máxima do triângulo é de 4,5 cm².

Semelhante ao exercício anterior, temos que encontrar uma função para a área do triângulo usando as informações fornecidas:

$latex A=\frac{1}{2}\times BC \times AB$

$latex A=\frac{1}{2}(x+2)x$

$latex A=\frac{1}{2}x^2+x$

Agora, encontramos a derivada para formar uma equação e encontrar os pontos estacionários:

$latex A(x)=\frac{1}{2}x^2+x$

$latex A'(x)=x+1$

$latex x+1=0$

$latex x=-1$

Para verificar se o ponto é mínimo, vamos usar a segunda derivada:

$latex A^{\prime \prime}(x)=1$

Temos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$, então confirmamos que o ponto é mínimo. Então, usamos $latex x=-1$ para encontrar a área mínima:

$latex A=\frac{1}{2}x^2+x$

$latex A=\frac{1}{2}(-1)^2-1$

$latex A=-\frac{1}{2}=0,5$

A área mínima do triângulo é de 0,5 cm².