A derivada da tangente quadrado é igual a duas vezes a tangente multiplicada pela secante ao quadrado, 2tan(x)sec2(x). Esta derivada pode ser calculada usando a regra da cadeia e as derivadas das funções trigonométricas fundamentais.
Neste artigo, aprenderemos como calcular a derivada da função tangente quadrado. Aprenderemos sobre sua prova, a comparação gráfica da tangente quadrado e sua derivada e alguns exemplos.
Prova da derivada da função tangente quadrado usando a regra da cadeia
Você pode revisar a fórmula da regra da cadeia visitando este link: Regra da Cadeia. Além disso, você pode visitar este outro link para a demonstração da derivada da função tangente: Derivada da tangente, tan(x).
Tem em conta que
$latex \tan^{2}{(x)} \neq \tan{(x^2)}$
Podemos usar a regra da cadeia para derivar esta função, já que é uma função composta. Então, começamos com
$latex F(x) = \tan^{2}{(x)}$
Notamos que existem duas funções que compõem F(x), uma função de potência e uma função trigonométrica. Especificamente, elas são uma função elevada a uma potência de dois e uma função tangente.
Se reescrevermos a função da seguinte forma, podemos visualizar melhor:
$latex F(x) = \tan^{2}{(x)}$
$latex F(x) = (\tan{(x)})^2$
Agora, podemos ver claramente que a função tangente é a função interna e a função de potência é a função externa. Assim, podemos escrever:
$latex f(u) = u^2$
onde
$latex u = \tan{(x)}$
Se denotarmos a função tangente como g(x), temos
$latex f(u) = f(g(x))$
$latex u = g(x)$
$latex g(x) = \tan{(x)}$
Derivando a função externa f(u) usando a regra da potência em termos de u, temos
$latex f(u) = u^2$
$latex f'(u) = 2u$
Diferenciando a função interna g(x) usando a fórmula derivada da função trigonométrica tangente em termos de x, temos
$latex g(x) = \tan{(x)}$
$latex g'(x) = \sec^{2}{(x)}$
Multiplicando algebricamente a derivada da função externa $latex f'(u)$ pela derivada da função interna $latex g'(x)$, temos
$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$
$latex \frac{dy}{dx} = (2u) \cdot (\sec^{2}{(x)})$
Substituindo u em f‘(u), temos
$latex \frac{dy}{dx} = (2(\tan{(x)})) \cdot (\sec^{2}{(x)})$
$latex \frac{dy}{dx} = 2\tan{(x)} \cdot \sec^{2}{(x)}$
Isso nos leva à fórmula da derivada da tangente x ao quadrado.
$latex \frac{d}{dx} \tan^{2}{(x)} = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$
Relação entre a derivada da tangente quadrado e a secante quadrado
Você pode estar se perguntando por que a derivada de ambas as funções
$latex \tan^{2}{(x)}$
e
$latex \sec^{2}{(x)}$
eles são os mesmos.
De acordo com a fórmula Pitagórica para tangentes e secantes,
$latex \sec^{2}{(x)} = 1 + \tan^{2}{(x)}$
Se tentarmos diferenciar os dois lados da equação, teremos
$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$
Avaliando a derivada do primeiro termo do lado direito da equação, que é a derivada de uma constante 1, temos
$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = 0 + \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$
$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$
É por isso que tanto a tangente ao quadrado quanto a secante ao quadrado têm a mesma derivada.
Gráfico da tangente quadrado de x vs. a derivada da tangente ao quadrado de x
O gráfico da função
$latex f(x) = \tan^{2}{(x)}$
é
Derivando $latex f (x) = \tan^{2}{(x)}$, obtemos
$latex f'(x) = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$
que tem o seguinte gráfico
Comparando seus gráficos, temos
A partir dos gráficos, vemos que a função original $latex f(x) = \tan^{2}{(x)}$ tem um domínio de
$latex \left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$
dentro dos intervalos finitos de
$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$
e existe dentro da imagem de
$latex [0,\infty)$
enquanto a derivada $latex f'(x) = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$ tem domínio de
$latex \left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$
dentro dos intervalos finitos de
$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$
e existe dentro da imagem de
$latex (-\infty,\infty)$
Exemplos
Os exemplos seguintes mostram como encontrar a derivada de uma função tangente quadrado composta.
EXEMPLO 1
Encontre a derivada da função $latex f(x) = \tan^2(11x)$.
Solução
Temos uma função tangente quadrada composta. Podemos derivar esta função se utilizarmos a regra da cadeia.
Assim, podemos considerar $latex u=11x$ como a função interna. Isso nos permite escrever $latex f(u)=\tan^2(u)$. Aplicando a regra da cadeia, temos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=2\tan(u)\sec^2(u) \times 11$$
Substituindo $latex u=11x$ de volta à função, temos:
$$\frac{dy}{dx}=22\tan(11x)\sec^2(11x)$$
EXEMPLO 2
Qual é a derivada da função $latex F(x) = \tan^2(4x^3-7x)$?
Solução
Mais uma vez, vamos utilizar a regra da cadeia para encontrar a derivada desta função.
Neste caso, temos $latex u=4x^3-7x$, por isso escrevemos $latex f (u) = \tan^2(u)$. Depois, começamos com a derivada da função externa
$$\frac{d}{du} ( \tan^2(u) ) = 2\tan(u)\sec^2(u)$$
Agora, calculamos a derivada da função interna $latex g(x)=u=4x^3-7x$:
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx}(4x^3-7x)$$
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = 12x^2-7$$
Pela regra da cadeia, temos de multiplicar a derivada da função externa $latex f(u)$ pela derivada da função interna $latex g(x)$:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$$
$$\frac{dy}{dx} = 2\tan(u)\sec^2(u) \cdot (12x^2-7)$$
Finalmente, substituímos $latex u=4x^3-7x$ e simplificamos:
$$\frac{dy}{dx} = 2\tan(4x^3-7x)\sec^2(4x^3-7x) \cdot (12x^2-7)$$
$$\frac{dy}{dx} = (24x^2-14)\tan(4x^3-7x)\sec^2(4x^3-7x)$$
Prática de derivadas de funções tangentes quadradas
Veja também
Interessado em aprender mais sobre derivadas de funções trigonométricas ao quadrado? Veja estas páginas:
- Derivada de cosseno quadrado, cos^2(x) – Demonstração e gráficos
- Derivada de seno quadrado, seno^2(x) – Demonstração e gráficos
- Derivada da secante quadrado, sec^2(x) – Demonstração e gráficos
- Derivada de cossecante quadrado, csc^2(x) – Demonstração e gráficos
- Derivada de cotangente quadrado, cot^2(x) – Demonstração e gráficos
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
