A derivada da função seno quadrado é igual ao seno de 2x, sin(2x). Podemos encontrar essa derivada usando a regra da cadeia e as derivadas das funções trigonométricas fundamentais.
Neste artigo, veremos como calcular a derivada da função composta seno quadrado. Veremos uma demonstração, a comparação gráfica do seno quadrado de x e sua derivada, e alguns exemplos.
Prova da derivada do seno quadrado usando a regra da cadeia
Se precisar, recomendamos revisar a fórmula da regra da cadeia, como pré-requisito para este tópico, acessando este link: Regra da Cadeia. Você também pode visitar este outro link para a demonstração da função derivada de seno: Derivada de seno, sin(x).
Tem em conta que
$latex \sin^{2}{(x)} \neq \sin{(x^2)}$
A primeira é uma “função trigonométrica completa” elevada à potência de dois, enquanto a última é uma função trigonométrica “uma variável elevada à potência de dois”.
Por ser uma função composta, a fórmula da regra da cadeia é usada para encontrar a fórmula derivada da função seno quadrado, desde que você já tenha dominado a fórmula da regra da cadeia e a função seno derivada.
Suponha que temos que encontrar a derivada de
$latex F(x) = \sin^{2}{(x)}$
Podemos identificar as duas funções que compõem F(x). Há uma função de potência e uma função trigonométrica neste cenário. Com base em nosso dado F(x), eles são uma função elevada a uma potência de dois e uma função trigonométrica de seno.
Para uma representação mais fácil, podemos reescrever isso como
$latex F(x) = \sin^{2}{(x)}$
$latex F(x) = (\sin{(x)})^2$
Agora está claro que a função potência dada é a função externa, enquanto a função seno ao quadrado vezes a função potência dada é a função interna. Podemos definir a função externa como
$latex f(u) = u^2$
onde
$latex u = \sin{(x)}$
Definindo a função seno trigonométrica como a função interna de f(u) denotando-a como g(x), temos
$latex f(u) = f(g(x))$
$latex g(x) = \sin{(x)}$
$latex u = g(x)$
Derivando a função externa f(u) usando a regra da potência em termos de u, temos
$latex f(u) = u^2$
$latex f'(u) = 2u$
Derivando a função interna g(x) usando a fórmula derivada da função trigonométrica seno em termos de x, temos
$latex g(x) = \sin{(x)}$
$latex g'(x) = \cos{(x)}$
Multiplicando algebricamente a derivada da função externa $latex f'(u)$ pela derivada da função interna $latex g'(x)$, temos
$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$
$latex \frac{dy}{dx} = (2u) \cdot (\cos{(x)})$
Substituindo u em f‘(u), temos
$latex \frac{dy}{dx} = (2(\sin{(x)})) \cdot (\cos{(x)})$
$latex \frac{dy}{dx} = 2\sin{(x)}\cos{(x)}$
Aplicando as identidades de ângulos duplos, temos
$latex \frac{dy}{dx} = \sin{(2x)}$
Isso nos leva à fórmula derivada de sen ao quadrado x.
$latex \frac{d}{dx} \sin^{2}{(x)} = \sin{(2x)}$
Gráfico do seno quadrado de x vs. a derivada do seno quadrado de x
Dada a função
$latex f(x) = \sin^{2}{(x)}$
seu gráfico é
E como já sabemos, diferenciando $latex f(x) = \sin^{2}{(x)}$, obtemos
$latex f'(x) = \sin{(2x)}$
que, se plotado, mostra
Ilustrando os dois gráficos em um, temos
Observando as diferenças entre essas funções com base nesses gráficos, você pode ver que a função original $latex f(x) = sin^{2}{(x)}$ tem um domínio de
$latex (-\infty,\infty)$ ou todos os números reais
e existe dentro da imagem de
$latex [0,1]$
enquanto a derivada $latex f'(x) = \sin{(2x)}$ tem domínio de
$latex (-\infty,\infty)$ ou todos os números reais
e existe dentro da imagem de
$latex [-1,1]$
Exemplos
Nos exemplos seguintes, podemos aprender a derivar as funções compostas seno quadrado.
EXEMPLO 1
Encontre a derivada de $latex f(x) = \sin^2(6x)$
Solução
Podemos utilizar a regra da cadeia porque temos uma função composta seno quadrado onde $latex 6x$ é a função interna.
Se escrevermos $latex u=6x$, temos $latex f(u)=\sin^2(u)$. Depois, utilizando a regra da cadeia, temos:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=\sin(2u) \times 6$$
Substituindo $latex u=6x$ de volta à função, temos:
$$\frac{dy}{dx}=6\sin(12x)$$
EXEMPLO 2
Qual é a derivada de $latex F(x) = \sin^2(3x^2-5)$?
Solução
Vamos usar a regra da cadeia com a substituição $latex u=2x^2+3$. Depois, podemos escrever a função original como $latex f (u) = \sin^2(u)$.
Agora, vamos encontrar a derivada da função externa:
$$\frac{d}{du} ( \sin^2(u) ) = \sin(2u)$$
Depois, encontramos a derivada da função interna $latex g(x)$ ou $latex u$:
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx}(3x^2-5)$$
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = 6x$$
Para aplicar a regra da cadeia, temos de multiplicar a derivada da função externa $latex f(u)$ pela derivada da função interna $latex g(x)$:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$$
$$\frac{dy}{dx} = \sin(2u) \cdot 6x$$
Por fim, substituímos $latex u=3x^2-5$ e simplificamos:
$$\frac{dy}{dx} = \sin(2(3x^2-5)) \cdot 6x$$
$$\frac{dy}{dx} = 6x\sin(6x^2-10)$$
Prática de derivadas de funções seno quadrados
Veja também
Interessado em aprender mais sobre derivadas de funções trigonométricas ao quadrado? Veja estas páginas:
- Derivada de cosseno quadrado, cos^2(x) – Demonstração e gráficos
- Derivada de tangente quadrado, tan^2(x) – Demonstração e gráficos
- Derivada da secante quadrado, sec^2(x) – Demonstração e gráficos
- Derivada de cossecante quadrado, csc^2(x) – Demonstração e gráficos
- Derivada de cotangente quadrado, cot^2(x) – Demonstração e gráficos
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
