A derivada de cossecante ao quadrado é igual a menos dois cotangente multiplicada pela cossecante ao quadrado, -2cot(x)csc2(x). Podemos encontrar essa derivada usando a regra da cadeia e as derivadas das funções trigonométricas fundamentais.
Aqui, veremos uma prova desta derivada, a comparação gráfica da cossecante quadrado e sua derivada, e alguns exemplos.
Prova da derivada da cossecante quadrado com a regra da cadeia
Como pré-requisito, revise a fórmula da regra da cadeia e sua prova consultando o artigo: Regra da Cadeia. Da mesma forma, você pode revisar a prova da função derivada de cossecante visitando este artigo: Derivada de Cossecante, csc(x).
Vamos lembrar disso
$latex \csc^{2}{(x)} \neq \csc{(x^2)}$
Esta é uma função cossecante composta, portanto pode ser diferenciada usando a regra da cadeia. Então, começamos com a função:
$latex F(x) = \csc^{2}{(x)}$
Podemos identificar as duas funções que compõem F(x). Uma função é elevada a uma potência de dois e a outra é uma função trigonométrica de cossecante.
Se reescrevermos a função da seguinte maneira, podemos ver isso com mais clareza:
$latex F(x) = \csc^{2}{(x)}$
$latex F(x) = (\csc{(x)})^2$
Agora está claro que a função potência é a função externa, enquanto a função cossecante é a função interna. Podemos configurar a função externa da seguinte forma:
$latex f(u) = u^2$
onde
$latex u = \csc{(x)}$
A função cossecante trigonométrica, como função interna de f(u), será denotada como g(x).
$latex f(u) = f(g(x))$
$latex u = g(x)$
$latex g(x) = \csc{(x)}$
Derivando a função externa f(u) usando a regra da potência em termos de u, temos
$latex f(u) = u^2$
$latex f'(u) = 2u$
Derivando a função interna g(x) usando a fórmula derivada da função trigonométrica cossecante em termos de x, temos
$latex g(x) = \csc{(x)}$
$latex g'(x) = -\csc{(x)}\cot{(x)}$
Multiplicando algebricamente a derivada da função externa $latex f'(u)$ pela derivada da função interna $latex g'(x)$, temos
$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$
$latex \frac{dy}{dx} = (2u) \cdot (-\csc{(x)}\cot{(x)})$
Substituindo u em f‘(u), temos
$latex \frac{dy}{dx} = (2(\csc{(x)})) \cdot (-\csc{(x)}\cot{(x)})$
$latex \frac{dy}{dx} = -(2(\csc{(x)})) \cdot (\csc{(x)}\cot{(x)})$
$latex \frac{dy}{dx} = -2\csc^{2}{(x)} \cdot \cot{(x)}$
o que nos leva à fórmula da derivada da cossecante ao quadrado x
$latex \frac{d}{dx} \csc^{2}{(x)} = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$
Relação entre a derivada da cossecante quadrado e a cotangente quadrado
Talvez você se pergunte por que
$latex \csc^{2}{(x)}$
e
$latex \cot^{2}{(x)}$
têm derivadas semelhantes.
De acordo com a fórmula pitagórica para cossecantes e cotangentes,
$latex \csc^{2}{(x)} = 1 + \cot^{2}{(x)}$
Se tentarmos derivar os dois lados da equação, teremos
$latex \frac{d}{dx} (\csc^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(\cot^{2}{(x)})$
Avaliando a derivada do primeiro termo do lado direito da equação, onde a derivada é zero, temos
$latex \frac{d}{dx} (\csc^{2}{(x)}) = 0 + \frac{d}{dx}(\cot^{2}{(x)})$
$latex \frac{d}{dx} (\csc^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(\cot^{2}{(x)})$
É por isso que tanto a cossecante ao quadrado quanto a cotangente ao quadrado têm a mesma derivada, pela fórmula pitagórica de cossecantes e cotangentes.
Gráfico de cossecante quadrado de x vs. a derivada da cossecante quadrado x
Dada a função
$latex f(x) = \csc^{2}{(x)}$
seu gráfico é
Como já sabemos, diferenciar $latex f(x) = \csc^{2}{(x)}$ é
$latex f'(x) = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$
que é grafado como
Ilustrando os dois gráficos em um, temos
Examinando as diferenças entre essas funções com base nos gráficos acima, você pode ver que a função original $latex f(x) = \csc^{2}{(x)}$ tem um domínio de
$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$
dentro dos intervalos finitos de
$latex (-2\pi,2\pi)$
e está dentro da imagem de
$latex [1,\infty)$
enquanto a derivada $latex f'(x) = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$ tem um domínio de
$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$
dentro dos intervalos finitos de
$latex (-2\pi,2\pi)$
e está dentro da imagem de
$latex (-\infty,\infty)$
Exemplos
Nos exemplos seguintes, podemos ver como derivar uma função cossecante composta quadrado.
EXEMPLO 1
Determine a derivada da função $latex f(x) = \csc^2(15x)$.
Solução
Esta é uma função cossecante composta quadrado, pelo que a utilização da regra da cadeia é necessária para encontrar a sua derivada.
Então, vamos pegar $latex u=15x$ como a função interna, então temos $latex f(u)=\csc^2(u)$. Usando a regra da cadeia, isso nos dá:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=-2\cot(u)\csc^2(u) \times 15$$
Apenas temos que substituir $latex u=15x$ de volta na função e temos:
$$\frac{dy}{dx}=-30\cot(15x)\csc^2(15x)$$
EXEMPLO 2
Encontre a derivada da função $latex F(x) = \csc^2(6x^3-8x)$
Solução
Neste caso, a função interna é $latex 6x^3-8x$, que nos permite escrever $latex f (u) = \csc^2(u)$.
Depois, podemos encontrar a derivada da função externa
$$\frac{d}{du} ( \csc^2(u) ) = -2\cot(u)\csc^2(u)$$
Calculando a derivada de $latex g(x)=u=6x^3-8x$, temos:
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx}(6x^3-8x)$$
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = 18x^2-8$$
Multiplicando a derivada da função externa $latex f(u)$ pela derivada da função interna $latex g(x)$, temos:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$$
$$\frac{dy}{dx} = -2\cot(u)\csc^2(u) \cdot (18x^2-8)$$
Finalmente, aplicamos a substituição $latex u=6x^3-8x$ e simplificamos:
$$\frac{dy}{dx} = -2\cot(6x^3-8x)\csc^2(6x^3-8x) \cdot (18x^2-8)$$
$$\frac{dy}{dx} = -(36x^2-16)\cot(6x^3-8x)\csc^2(6x^3-8x)$$
Prática de derivadas de funções cossecante quadrado
Veja também
Interessado em aprender mais sobre derivadas de funções trigonométricas ao quadrado? Veja estas páginas:
- Derivada de cosseno quadrado, cos^2(x) – Demonstração e gráficos
- Derivada de seno quadrado, seno^2(x) – Demonstração e gráficos
- Derivada de tangente quadrado, tan^2(x) – Demonstração e gráficos
- Derivada da secante quadrado, sec^2(x) – Demonstração e gráficos
- Derivada de cotangente quadrado, cot^2(x) – Demonstração e gráficos
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
