Derivada da secante quadrado, sec^2(x) – Demonstração e gráficos

Prova da derivada da função secante quadrado

Como pré-requisito, revise a fórmula da regra da cadeia e sua prova neste artigo: Regra da cadeia. Da mesma forma, você pode revisar a prova da derivada da função secante acessando este link: Derivada da Secante, sec(x).

Vamos lembrar disso

$latex \sec^{2}{(x)} \neq \sec{(x^2)}$

Por ser uma função composta, a fórmula da regra da cadeia é usada como uma ferramenta mais simples para provar a derivada da função secante ao quadrado.

Supondo que nos pedem para encontrar a derivada de

$latex F(x) = \sec^{2}{(x)}$

Podemos identificar as duas funções que compõem F(x). Há uma função de potência e uma função trigonométrica neste cenário. Para ser mais exato, é uma função elevada a uma potência de dois e uma função trigonométrica de secante, baseada em nosso dado F(x).

Para uma melhor representação, podemos reescrevê-la como

$latex F(x) = \sec^{2}{(x)}$

$latex F(x) = (\sec{(x)})^2$

Torna-se evidente que a função de potência dada é a função externa a ser considerada, enquanto a função secante, elevada pela função de potência dada, é a função interna. Podemos configurar a função externa da seguinte forma:

$latex f(u) = u^2$

onde

$latex u = \sec{(x)}$

A função secante trigonométrica, como função interna de f(u), será denotada como g(x).

$latex f(u) = f(g(x))$

$latex u = g(x)$

$latex g(x) = \sec{(x)}$

Derivando a função externa f(u) usando a regra da potência em termos de u, temos

$latex f(u) = u^2$

$latex f'(u) = 2u$

Derivando a função interna g(x) usando a fórmula derivada da função trigonométrica secante em termos de x, temos

$latex g(x) = \sec{(x)}$

$latex g'(x) = \sec{(x)}\tan{(x)}$

Multiplicando algebricamente a derivada da função externa $latex f'(u)$ pela derivada da função interna $latex g'(x)$, temos

$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = (2u) \cdot (\sec{(x)}\tan{(x)})$

Substituindo u em f‘(u), temos

$latex \frac{dy}{dx} = (2(\sec{(x)})) \cdot (\sec{(x)}\tan{(x)})$

$latex \frac{dy}{dx} = 2\sec^{2}{(x)} \cdot \tan{(x)}$

o que nos leva à fórmula da derivada da secante ao quadrado x

$latex \frac{d}{dx} \sec^{2}{(x)} = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$

Relação entre a derivada da secante quadrado e a tangente quadrado, como elas são semelhantes?

Você pode se perguntar por que

$latex \sec^{2}{(x)}$

e também

$latex \tan^{2}{(x)}$

possuem derivadas semelhantes.

Lembre-se de que a identidade pitagórica para secantes e tangentes é

$latex \sec^{2}{(x)} = 1 + \tan^{2}{(x)}$

Assim, podemos derivar ambos os lados desta equação para obter:

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

A derivada de uma constante é igual a zero, então:

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = 0 + \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

$latex \frac{d}{dx} (\sec^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(\tan^{2}{(x)})$

É por isso que tanto a secante ao quadrado quanto a tangente ao quadrado têm a mesma derivada, pela fórmula pitagórica para secantes e tangentes.

Gráfico da secante quadrado de x vs. derivada de secante ao quadrado x

O gráfico da função

$latex f(x) = \sec^{2}{(x)}$

é

Se derivarmos a função $latex f(x) = \sec^{2}{(x)}$, temos

$latex f'(x) = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$

e seu gráfico é

Ilustrando os dois gráficos em um, temos

Ao examinar esses gráficos, pode-se ver que a função original $latex f(x) = \sec^{2}{(x)}$ tem um domínio de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

dentro dos intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

e está dentro da imagem de

$latex [1,\infty)$

enquanto a derivada $latex f'(x) = 2\tan{(x)}\sec^{2}{(x)}$ tem domínio de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

dentro dos intervalos finitos de

$latex \left(-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$

e está dentro da imagem de

$latex (-\infty,\infty)$

Exemplos

Nos exemplos seguintes, podemos aprender a derivar as funções de secant quadrado composto.

Prática de derivadas de funções secantes quadrado

Prática de derivadas de secante quadrado

Seguinte

Você concluiu os exercícios!

Reiniciar

Veja também

Interessado em aprender mais sobre derivadas de funções trigonométricas ao quadrado? Veja estas páginas:

• Derivada de cosseno quadrado, cos^2(x) – Demonstração e gráficos
• Derivada de seno quadrado, seno^2(x) – Demonstração e gráficos
• Derivada de tangente quadrado, tan^2(x) – Demonstração e gráficos
• Derivada de cossecante quadrado, csc^2(x) – Demonstração e gráficos
• Derivada de cotangente quadrado, cot^2(x) – Demonstração e gráficos