Funções trigonométricas do arco metade são identidades trigonométricas usadas para simplificar expressões trigonométricas e calcular o seno, cosseno ou tangente de ângulos metade quando conhecemos os valores de um determinado ângulo. Essas identidades são obtidas usando as funções trigonométricas do arco duplo e realizando uma substituição.
A seguir, aprenderemos como derivar as funções trigonométricas do arco metade e aplicá-las para resolver alguns exercícios práticos.
TRIGONOMETRIA
Relevante para…
Conhecer e aplicar as funções trigonométricas do arco metade.
TRIGONOMETRIA
Relevante para…
Conhecer e aplicar as funções trigonométricas do arco metade.
Quais são as funções trigonométricas do arco metade?
As funções trigonométricas do arco metade são identidades trigonométricas usadas para calcular ou simplificar expressões de ângulo metade, como $latex \sin(\frac{\theta}{2})$. Essas identidades também podem ser usadas para transformar expressões trigonométricas com expoentes em uma sem expoentes.
A fórmula de funções trigonométricas do arco metade do seno é:
| $latex \sin(\frac{\theta}{2})=\pm \sqrt{\frac{1-\cos(\theta)}{2}}$ |
A fórmula de funções trigonométricas do arco metade do cosseno é:
| $latex \cos(\frac{\theta}{2})=\pm \sqrt{\frac{1+\cos(\theta)}{2}}$ |
A fórmula de funções trigonométricas do arco metade da tangente é:
| $latex \tan(\frac{\theta}{2})=\frac{\sin(\theta)}{1+\cos(\theta)}$ $latex =\frac{1-\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$ |
Como derivar as funções trigonométricas do arco metade?
As funções trigonométricas do arco metade podem ser derivadas usando as funções trigonométricas do arco duplo.
Para derivar a fórmula para a identidade de arco metade dos senos, começamos com a identidade de arco duplo dos cossenos:
$latex \cos(2\theta)=1-2{{\sin}^2}(\theta)$
Se usarmos a relação $latex \theta=\frac{\alpha}{2}$, teremos $latex 2\theta=\alpha$. Substituindo essas expressões na identidade acima, temos:
$latex \cos(\alpha)=1-2{{\sin}^2}(\frac{\alpha}{2})$
Agora, resolvemos esta expressão para $latex \sin(\frac{\alpha}{2})$:
$latex \cos(\alpha)=1-2{{\sin}^2}(\frac{\alpha}{2})$
$latex 2{{\sin}^2}(\frac{\alpha}{2})=1-\cos(\alpha)$
$latex {{\sin}^2}(\frac{\alpha}{2})=\frac{1-\cos(\alpha)}{2}$
$latex \sin(\frac{\alpha}{2})=\pm\sqrt{\frac{1-\cos(\alpha)}{2}}$
O sinal de $latex \sin(\frac{\alpha}{2})$ depende de qual quadrante $latex \frac{\alpha}{2}$ cai. Se $latex \frac{\alpha}{2}$ estiver no primeiro ou segundo quadrante, a fórmula usa o sinal de mais e se $latex \frac{\alpha}{2}$ estiver no terceiro ou quarto quadrante, a fórmula usa o sinal negativo.
Usamos um processo semelhante para encontrar a identidade do ângulo metade de cosseno. Então, começamos com a identidade de arco duplo de cosseno na seguinte forma:
$latex \cos(2\theta)=2{{\cos}^2}(\theta)-1$
Após fazer as substituições, temos:
$latex \cos(\alpha)=2{{\cos}^2}(\frac{\alpha}{2})-1$
Agora, resolvemos para $latex \cos(\frac{\alpha}{2})$:
$latex \cos(\alpha)=2{{\cos}^2}(\frac{\alpha}{2})-1$
$latex 2{{\cos}^2}(\frac{\alpha}{2})=1+\cos(\alpha)$
$latex {{\cos}^2}(\frac{\alpha}{2})=\frac{1+\cos(\alpha)}{2}$
$latex \cos(\frac{\alpha}{2})=\pm\sqrt{\frac{1+\cos(\alpha)}{2}}$
Neste caso, se $latex \frac{\alpha}{2}$ estiver no primeiro ou quarto quadrante, a fórmula usa o sinal positivo e se $latex \frac{\alpha}{2}$ estiver no segundo ou terceiro quadrante, a fórmula usa o sinal negativo.
Exercícios resolvidos de funções trigonométricas do arco metade
Os exercícios a seguir são resolvidos usando o que aprendemos sobre funções trigonométricas do arco metade. Estude e analise esses exercícios para entender o processo usado.
EXERCÍCIO 1
Use a função trigonométrica do arco metade do seno para encontrar o valor do seno de 15°.
Solução
Usamos a fórmula para a função trigonométrica do arco metade do seno com o valor dado. Então temos:
$latex \sin(\frac{\theta}{2})=\pm\sqrt{\frac{1-\cos(\theta)}{2}}$
$latex \sin(15^{\circ})=\pm\sqrt{\frac{1-\cos(30^{\circ} )}{2}}$
$latex =\pm\sqrt{\frac{1-0,866}{2}}$
$latex =0,259$
Usamos o valor positivo, pois 15° está no primeiro quadrante.
EXERCÍCIO 2
Determine o valor do cosseno de 165° usando a função trigonométrica do arco metade de cosseno.
Solução
Para usar a função trigonométrica do arco metade de cosseno, usamos o ângulo $latex \frac{\theta}{2}=165$°. Isso significa que temos $latex \theta=330$°. Então, usamos a fórmula com esses valores:
$latex \cos(\theta)=\pm\sqrt{\frac{1+\cos(\theta)}{2}}$
$latex \cos(165^{\circ})=\pm\sqrt{\frac{1+\cos(330^{\circ})}{2}}$
$latex =\pm\sqrt{\frac{1+0,866}{2}}$
$latex =-0,966$
Escolhemos o valor negativo, pois o ângulo de 165° está no segundo quadrante.
EXERCÍCIO 3
Verifique se a identidade $latex 2{{\sin}^2}(\frac{x}{2})+\cos(x)=1$.
Solução
Podemos usar a função trigonométrica do arco metade do seno para substituir e simplificar a expressão. Fazendo isso, temos:
$latex 2{{\sin}^2}(\frac{x}{2})+\cos(x)$
$latex =2{{(\sqrt{\frac{1-\cos(x)}{2}})}^2}+\cos(x)$
$latex =2(\frac{1-\cos(x)}{2})+\cos(x)$
$latex =1-\cos(x)+\cos(x)$
$latex =1$
Após simplificar, vemos que o lado esquerdo da identidade é igual ao lado direito, então a identidade é verdadeira.
Exercícios de funções trigonométricas do arco metade para resolver
Resolva os exercícios práticos a seguir usando o que você aprendeu sobre as funções trigonométricas do arco metade de seno, cosseno e tangente. Selecione uma resposta e verifique-a para ter certeza de que acertou.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
