As identidades trigonométricas podem ser provadas usando outras identidades trigonométricas mais simples. Então, podemos usar as identidades simples para manipular as identidades trigonométricas originais até que ambos os lados sejam iguais ou equivalentes a 0 ou 1.
A seguir, vamos aprender o processo geral para provar as identidades trigonométricas. Então, aplicaremos o que aprendemos para resolver alguns exercícios práticos.
Como provar as identidades trigonométricas?
Para provar uma identidade trigonométrica, temos de mostrar que a identidade é verdadeira para todos os valores do ângulo.
Por exemplo, considere a seguinte identidade:
$$\tan(\theta)+\cot(\theta)\equiv \sec(\theta)\cosec(\theta)$$
Poderíamos substituir os valores de θ em ambos os lados da identidade e isso mostraria que a identidade é verdadeira para esses valores particulares de θ.
No entanto, isto não prova que a identidade é verdadeira para todos os valores de θ.
As identidades trigonométricas podem ser provadas usando outras identidades mais simples que sabemos serem verdadeiras para todos os valores de θ.
Por exemplo, sabemos que as seguintes identidades são verdadeiras para todos os valores de θ:
- $latex \tan(\theta)\equiv \dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$
- $latex \sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)\equiv 1$
- $latex 1+\tan^2(\theta)\equiv \sec^2(\theta)$
- $latex 1+\cot^2(\theta)\equiv \cosec^2(\theta)$
Então, podemos escolher o lado esquerdo (LE) ou o lado direito (LD) da identidade e manipulá-los usando as identidades simples até obtermos a forma do outro lado.
Alternativamente, também é possível provar que a identidade é verdadeira, mostrando isso:
- $latex \text{LE} -\text{LD}\equiv 0~~$ ou
- $latex \frac{\text{LE}}{\text{LD}}\equiv 1$
Exercícios resolvidos de comprovação de identidades trigonométricas
EXERCÍCIO 1
Provar que a seguinte identidade é verdadeira:
$$\tan (\theta)+\cot(\theta)\equiv \sec(\theta)\cosec(\theta)$$
Solução
Tomaremos o lado esquerdo e usaremos identidades simples até conseguirmos a expressão para o lado direito:
$$\text{LE} \equiv \tan(\theta)+\cot(\theta)$$
$$ \equiv \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}+\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$$
$$ \equiv \frac{\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)}{\sin(\theta) \cos(\theta)}$$
Agora, podemos usar a identidade $latex \sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)\equiv 1$:
$$\text{LE} \equiv \frac{1}{\sin(\theta) \cos(\theta)}$$
$$ \equiv \frac{1}{\sin(\theta) }\times \frac{1}{ \cos(\theta)}$$
$$ \equiv \cosec(\theta) \sec(\theta)\equiv LD$$
Então, provamos que a identidade é verdadeira.
EXERCÍCIO 2
Comprove a seguinte identidade trigonométrica:
$$\sin(\theta)\tan(\theta)+ \cos(\theta)\equiv \sec(\theta)$$
Solução
Vamos manipular o lado esquerdo usando identidades trigonométricas simples:
$$\text{LE} \equiv \sin(\theta)\tan(\theta)+ \cos(\theta)$$
$$ \equiv \sin(\theta) \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}+\cos(\theta)$$
$$ \equiv \frac{\sin^2(\theta)}{\cos(\theta)}+ \cos(\theta)$$
Agora, multiplicamos o numerador e o denominador de $latex \cos(\theta)$ por $latex \cos(\theta)$:
$$ \text{LE} \equiv \frac{\sin^2(\theta)}{\cos(\theta)}+ \frac{\cos^2(\theta)}{\cos(\theta)}$$
$$ \equiv \frac{\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)}{\cos(\theta)}$$
Usando a identidade $latex \sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)\equiv 1$, temos:
$$\text{LE} \equiv \frac{1}{\cos(\theta)}$$
$$ \equiv \sec(\theta)\equiv LD$$
O lado esquerdo é igual ao lado direito. Então, a identidade é verdadeira.
EXERCÍCIO 3
Comprove a seguinte identidade trigonométrica:
$$\cosec(\theta)+\tan(\theta)\sec(\theta)\equiv \cosec(\theta) \sec^2(\theta)$$
Solução
Tomando o lado esquerdo, podemos manipular como se segue:
$$\text{LE} \equiv \cosec(\theta)+\tan(\theta)\sec(\theta)$$
$$ \equiv \frac{1}{\sin(\theta)}+\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \times \frac{1}{\cos(\theta)}$$
$$ \equiv \frac{1}{\sin(\theta)}+\frac{\sin(\theta)}{\cos^2(\theta)}$$
$$ \equiv \frac{\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)}{\sin(\theta)\cos^2(\theta)}$$
Usando a identidade $latex \sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)\equiv 1$, temos:
$$\text{LE} \equiv \frac{1}{\sin(\theta)\cos^2(\theta)}$$
$$ \equiv \frac{1}{\sin(\theta) }\times \frac{1}{ \cos^2(\theta)}$$
$$ \equiv \cosec(\theta) \sec^2(\theta)\equiv LD$$
Como ambos os lados são iguais, a identidade é verdadeira.
EXERCÍCIO 4
Use identidades simples para provar a seguinte identidade trigonométrica:
$$(\sin(\theta)+\cos(\theta))^2-1\equiv 2 \sin(\theta)\cos(\theta)$$
Solução
Vamos pegar o lado esquerdo da identidade e expandir o binômio quadrático:
$$\text{LE} \equiv (\sin(\theta)+\cos(\theta))^2-1$$
$$ \equiv \sin^2(\theta)+2\sin(\theta)\cos(\theta)+\cos^2(\theta)-1$$
$$ \equiv 2\sin(\theta)\cos(\theta)+(\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta))-1$$
Usando a identidade $latex \sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)\equiv 1$, temos:
$$\text{LE} \equiv 2\sin(\theta)\cos(\theta)+1-1$$
$$ \equiv 2\sin(\theta)\cos(\theta)$$
O lado esquerdo é igual ao lado direito, por isso a identidade é verdadeira.
EXERCÍCIO 5
Comprove a seguinte identidade trigonométrica:
$$(\sin(\theta)-\cosec(\theta))^2\equiv \sin^2(\theta)+\cot^2(\theta)-1$$
Solução
Tomando o lado esquerdo e expandindo o binômio quadrado, temos:
$$\text{LE} \equiv (\sin(\theta)-\cosec(\theta))^2$$
$$ \equiv \sin^2(\theta)-2\sin(\theta)\cosec(\theta)+\cosec^2(\theta)$$
$$ \equiv \sin^2(\theta)-2\sin(\theta)\frac{1}{\sin(\theta)}+\cosec^2(\theta)$$
$$ \equiv \sin^2(\theta)-2+\cosec^2(\theta)$$
Agora, podemos usar a identidade $latex \cosec^2(\theta)\equiv \cot^2(\theta)+ 1$:
$$\text{LE} \equiv \sin^2(\theta)-2+\cot^2(\theta)+ 1$$
$$ \equiv \sin^2(\theta)+\cot^2(\theta)- 1$$
Como o lado esquerdo pode ser escrito como o lado direito, a identidade é verdadeira.
EXERCÍCIO 6
Use identidades simples para provar a seguinte identidade trigonométrica:
$$ \frac{\cosec(\theta)}{\cot(\theta)+\tan(\theta)} \equiv \cos(\theta)$$
Solução
Vamos manipular o lado esquerdo com identidades simples:
$$\text{LE} \equiv \frac{\cosec(\theta)}{\cot(\theta)+\tan(\theta)}$$
$$ \equiv \frac{\cosec(\theta)}{\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}+\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}}$$
$$ \equiv \frac{\cosec(\theta)}{\frac{\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)}{\sin(\theta)\cos(\theta)}}$$
Usando a identidade $latex \sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)\equiv 1$, temos:
$$\text{LE} \frac{\cosec(\theta)}{\frac{1}{\sin(\theta)\cos(\theta)}}$$
$$ \equiv \cosec(\theta) \sin(\theta)\cos(\theta)$$
$$ \equiv \frac{1}{\sin(\theta)} \sin(\theta)\cos(\theta)$$
$$ \equiv \cos(\theta) \equiv LD$$
Então, provamos que a identidade é verdadeira.
EXERCÍCIO 7
Comprove a seguinte identidade trigonométrica:
$$ \frac{1}{1+\tan^2(\theta)}+\frac{1}{1+\cot^2(\theta)} \equiv 1$$
Solução
Tomando o lado esquerdo, temos:
$$\text{LE} \equiv \frac{1}{1+\tan^2(\theta)}+\frac{1}{1+\cot^2(\theta)}$$
Agora, vamos usar as identidades $latex 1+\tan^2(\theta)\equiv \sec^2(\theta)$ e $latex 1+\cot^2(\theta)\equiv \cosec^2(\theta)$:
$$\text{LE} \equiv \frac{1}{1+\sec^2(\theta)-1}+\frac{1}{1+\cosec^2(\theta)-1}$$
$$\equiv \frac{1}{\sec^2(\theta)}+\frac{1}{\cosec^2(\theta)}$$
$$\equiv \cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)$$
Usando a identidade $latex \sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)\equiv 1$, temos:
$$\text{LE} \equiv 1 \equiv LD$$
Como ambos os lados são iguais, a identidade é verdadeira.
EXERCÍCIO 8
Use identidades simples para provar que a seguinte identidade é verdadeira:
$$ (1-\sin(\theta)+\cos(\theta))^2\equiv 2(1-\sin(\theta))(1+\cos(\theta)) $$
Solução
Tomando o lado esquerdo, podemos expandir o binômio quadrado:
$$\text{LE} \equiv (1-\sin(\theta)+\cos(\theta))^2$$
$$ \equiv (1-\sin(\theta)+\cos(\theta))(1-\sin(\theta)+\cos(\theta))$$
$$ \equiv 1-2\sin(\theta)+2\cos(\theta)+\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)-2\sin(\theta)\cos(\theta)$$
Usando a identidade $latex \sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)\equiv 1$, temos:
$$ \text{LE} \equiv 2-2\sin(\theta)+2\cos(\theta)-2\sin(\theta)\cos(\theta)$$
$$ \equiv 2(1-\sin(\theta)+\cos(\theta)-\sin(\theta)\cos(\theta))$$
$$ \equiv 2(1-\sin(\theta))(1+\cos(\theta)) \equiv LD$$
EXERCÍCIO 9
Comprove a seguinte identidade trigonométrica:
$$\frac{1+\sin(\theta)}{1-\sin(\theta)} \equiv (\tan(\theta)+\sec(\theta))^2$$
Solução
Tomando o lado direito da identidade, temos:
$$\text{LD} \equiv (\tan(\theta)+\sec(\theta))^2$$
$$ \equiv \left(\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}+\frac{1}{\cos(\theta)}\right)^2$$
$$ \equiv \left(\frac{\sin(\theta)+1}{\cos(\theta)}\right)^2$$
$$ \equiv \frac{(1+\sin(\theta))^2}{\cos^2(\theta)}$$
Agora, podemos usar a identidade $latex \sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)\equiv 1$:
$$\text{LD} \equiv \frac{(1+\sin(\theta))^2}{1-\sin^2(\theta)}$$
$$ \equiv \frac{(1+\sin(\theta))^2}{(1+\sin(\theta))(1-\sin(\theta))}$$
$$ \equiv \frac{1+\sin(\theta)}{1-\sin(\theta)}\equiv LE$$
Como ambos os lados são iguais, a identidade é verdadeira.
EXERCÍCIO 10
Provar que a seguinte identidade é verdadeira:
$$ \sqrt{\sec^2(\theta)-1}+\sqrt{\cosec^2(\theta)-1}\equiv \frac{1}{\sin(\theta)\cos(\theta)}$$
Solução
Podemos simplificar o lado esquerdo usando as identidades $latex 1+\tan^2(\theta)\equiv \sec^2(\theta)$ e $latex 1+\cot^2(\theta)\equiv \cosec^2(\theta)$:
$$\text{LE} \equiv \sqrt{\sec^2(\theta)-1}+\sqrt{\cosec^2(\theta)-1}$$
$$ \equiv \sqrt{\tan^2(\theta)+1-1}+\sqrt{\cot^2(\theta)+1-1}$$
$$ \equiv \sqrt{\tan^2(\theta)}+\sqrt{\cot^2(\theta)}$$
$$ \equiv \tan(\theta)+ \cot(\theta)$$
$$ \equiv \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}+ \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$$
$$ \equiv \frac{\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)}{\cos(\theta)\sin(\theta)}$$
Usando a identidade $latex \sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)\equiv 1$, temos:
$$\text{LE} \equiv \frac{1}{\sin(\theta) \cos(\theta)} \equiv LD$$
Então, provamos que a identidade é verdadeira.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
