Fórmulas de Identidades Trigonométricas

Fórmulas de identidades recíprocas

Um recíproco de uma fração é definido como uma fração que tem as posições invertidas do numerador e do denominador. As identidades recíprocas são definidas em relação às funções trigonométricas fundamentais, seno, cosseno e tangente.

Toda função trigonométrica fundamental produz uma identidade recíproca. Por exemplo, a função seno é definida como o lado oposto dividido pela hipotenusa, ou seja, $latex \sin(\theta)=\frac{O}{H}$.

A função cossecante é a recíproca do seno, então temos $latex \csc(\theta)=\frac{H}{O}$. Se temos $latex \sin(\theta)=\frac{1}{2}$, então também temos $latex \csc(\theta)=2$.

Da mesma forma, a função secante é a função recíproca do cosseno e a função cotangente é a função recíproca da tangente. Assim, temos as fórmulas:

$latex \csc(\theta)=\frac{1}{\sin(\theta)}$ $latex \sec(\theta)=\frac{1}{\cos(\theta)}$ $latex \cot(\theta)=\frac{1}{\tan(\theta)}$

Fórmulas de identidades pitagóricas

As identidades pitagóricas são derivadas do teorema de Pitágoras. Em um círculo unitário, as coordenadas x correspondem ao cosseno e as coordenadas y correspondem ao seno. Além disso, o raio unitário corresponde à hipotenusa, então temos:

$latex {{\sin}^2} (\theta)+{{\cos}^2} (\theta)=1$

Esta é a principal identidade pitagórica. A partir dessa identidade, podemos dividi-la por seno ou cosseno para obter as seguintes variações:

$latex {{\tan}^2} (\theta)+1={{\sec}^2} (\theta)$ $latex 1+{{\cot}^2} (\theta)={{\csc}^2} (\theta)$

Nessas identidades, «tan» representa tangente, «sec» representa secante, «cot» representa cotangente e «csc» representa cossecante.

Fórmulas de identidades de quociente

Identidades de quociente são fórmulas que relacionam tangente e cotangente em termos de seno e cosseno. A função seno é definida como o lado oposto dividido pela hipotenusa e a função cosseno é definida como o lado adjacente dividido pela hipotenusa.

Essas definições podem ser usadas para verificar as seguintes fórmulas para as identidades de quociente:

$latex \tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$ $latex \cot(\theta)=\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$

Fórmulas de identidades de ângulo negativo

As identidades de ângulos negativos relacionam funções trigonométricas para um ângulo negativo com expressões trigonométricas para um ângulo positivo. Essas identidades usam as definições das funções ímpares e pares. Então temos:

$latex \sin(-\theta)=-\sin(\theta)$ $latex \cos(-\theta)=\sin(\theta)$ $latex \tan(-\theta)=-\tan(\theta)$ $latex \cot(-\theta)=-\cot(\theta)$ $latex \sec(-\theta)=\sec(\theta)$ $latex \csc(-\theta)=-\csc(\theta)$

Fórmulas para identidades de ângulos complementares

As identidades de ângulos complementares relacionam duas funções trigonométricas através de ângulos complementares. Dois ângulos são complementares quando somam 90°.

Então, para encontrar um ângulo complementar, subtraímos o ângulo original de 90°. As fórmulas dessas identidades são:

$latex \sin(90^{\circ} -\theta)=\cos(\theta)$ $latex \cos(90^{\circ} -\theta)=\sin(\theta)$ $latex \tan(90^{\circ} -\theta)=\cot(\theta)$ $latex \cot(90^{\circ} -\theta)=\tan(\theta)$ $latex \sec(90^{\circ} -\theta)=\csc(\theta)$ $latex \csc(90^{\circ} -\theta)=\sec(\theta)$

Fórmulas para identidades de adição e subtração de ângulos

As identidades de adição e subtração de ângulos são usadas principalmente para encontrar os valores exatos de um ângulo, que pode ser escrito como uma soma ou diferença de ângulos comuns como 30°, 45°, 60°, 90° e seus múltiplos. Isso ocorre porque os valores desses ângulos são geralmente conhecidos.

As fórmulas para as identidades da soma dos ângulos são:

As fórmulas para as identidades de subtração de ângulos são:

Fórmulas de identidades de ângulo duplo

As identidades de ângulos duplos são derivadas das identidades de soma de ângulos. Essas identidades são usadas quando conhecemos o valor de θ e temos que encontrar o valor do seno, cosseno ou tangente de 2θ.

A fórmula de identidade de ângulo duplo para seno é:

$latex \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$

A identidade de ângulo duplo para cosseno tem três variações, duas das quais são obtidas usando a identidade de Pitágoras:

$latex \cos(2x)={{\cos}^2}(x)-{{\sin}^2}(x)$ $latex =2{{\cos}^2}(x)-1$ $latex =1-2{{\sin}^2}(x)$

A fórmula de identidade de ângulo duplo para a tangente é:

$latex \tan(2x)=\frac{2\tan(x)}{1-{{\tan}^2}(x)}$

Fórmulas de identidades de ângulo metade

As identidades de ângulo metade são derivadas usando as identidades de ângulo duplo e substituindo $latex por \frac{\theta}{2}$. Essas identidades trigonométricas são usadas quando sabemos o valor do seno, cosseno ou tangente de θ e queremos encontrar o valor de $latex \frac{\theta}{2}$.

Essas identidades também podem nos ajudar a transformar expressões trigonométricas que têm expoentes em uma sem expoentes.

A fórmula para a identidade de ângulo metade do seno é:

$latex \sin(\frac{\theta}{2})=\pm \sqrt{\frac{1-\cos(\theta)}{2}}$

A fórmula para a identidade de ângulo metade de cosseno é:

$latex \cos(\frac{\theta}{2})=\pm \sqrt{\frac{1+\cos(\theta)}{2}}$

A fórmula para a identidade de ângulo metade da tangente é:

$latex \tan(\frac{\theta}{2})=\frac{\sin(\theta)}{1+\cos(\theta)}$ $latex =\frac{1-\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$

Veja também

Interessado em aprender mais sobre identidades trigonométricas? Veja estas páginas:

• Ângulos Coterminais – Definição e Exercícios
• Exercícios de Identidades Trigonométricas Resolvidos e a Resolver
• Identidades Trigonométricas Fundamentais