As identidades trigonométricas são equações que são verdadeiras para qualquer ângulo usado. Essas identidades são usadas para reescrever e simplificar expressões trigonométricas complexas. Além disso, também podemos usar identidades trigonométricas para resolver expressões trigonométricas reescrevendo-as como expressões mais simples ou como adições e subtrações de ângulos conhecidos.
A seguir, aprenderemos a resolver exercícios de identidades trigonométricas. Usaremos várias técnicas para obter a resposta.
TRIGONOMETRIA
Relevante para…
Aprender a resolver exercícios de identidades trigonométricas.
TRIGONOMETRIA
Relevante para…
Aprender a resolver exercícios de identidades trigonométricas.
Como resolver exercícios de identidades trigonométricas?
Para resolver exercícios sobre identidades trigonométricas, devemos começar observando cuidadosamente o tipo de exercício que temos. Alguns exercícios nos pedirão diretamente para aplicar um tipo de identidade para calcular os valores dos ângulos.
Por exemplo, identidades de adição e subtração de ângulos, identidades de meio ângulo ou duplo ângulo são usadas para calcular os valores de um ângulo que pode ser escrito como a soma, subtração, ângulo duplo ou meio ângulo de ângulos “fáceis” como 30°, 45°, 60° ou 90°.
No entanto, muitos dos exercícios exigirão que verifiquemos se outras identidades trigonométricas mais complexas são verdadeiras.
Não existe um método padrão para verificar identidades, mas existem algumas regras gerais que podemos seguir para facilitar o processo:
1. Tente simplificar o lado mais complicado da identidade até que seja idêntico ao outro lado da identidade.
2. Tente transformar ambos os lados da identidade em uma expressão idêntica.
3. Tente expressar ambos os lados da identidade apenas em termos de seno e cosseno. Em seguida, tente fazer os dois lados iguais.
4. Aplique identidades pitagóricas sempre que possível.
5. Tente usar fatoração e combinação de termos, multiplicando um lado da identidade por uma expressão igual a 1, elevando ao quadrado ambos os lados da identidade e outras técnicas algébricas para manipular equações.
Se você precisa reforçar seus conhecimentos sobre identidades trigonométricas, confira nosso resumo com as Fórmulas de Identidades Trigonométricas mais importantes.
Exercícios resolvidos de identidades trigonométricas
As identidades trigonométricas são aplicadas para resolver os exercícios a seguir. Observe a resolução dos exercícios e analise o processo e o raciocínio utilizado. Tente resolver os exercícios sozinho, se possível.
EXERCÍCIO 1
Encontre o valor de $latex \cot(\theta)$ temos $latex \cos(\theta)=\frac{5}{7}$ e $latex \sin(\theta)=\frac{2} { 7 }$.
Solução
Podemos usar a identidade de quociente da cotangente. Então sabemos que temos que dividir o valor do cosseno pelo valor do seno para encontrar o valor da tangente:
$latex \cot(\theta)=\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$
$latex \cot(\theta)=\frac{\frac{5}{7}}{\frac{2}{7}}$
$latex \cot(\theta)=\frac{5}{2}$
EXERCÍCIO 2
Determine o valor de $latex \tan(\theta)$ se tivermos $latex \cot(\theta)=\frac{9}{4}$.
Solução
Neste caso, podemos usar a identidade tangente recíproca. Isso significa que encontramos o valor da tangente “invertendo” a fração do valor da cotangente. Então temos:
$latex \cot(\theta)=\frac{9}{4}$
⇒ $latex \tan(\theta)=\frac{4}{9}$
EXERCÍCIO 3
Aplique identidades trigonométricas para simplificar a expressão $latex \sin(x){{\cos}^2}(x)-\sin(x)$.
Solução
Podemos aplicar à identidade pitagórica $latex {{\sin}^2}(x)+{{\cos}^2}(x)=1$. Para isso, temos que fatorar a expressão dada:
$$\sin(x){{\cos}^2}(x)-\sin(x)=\sin(x)({{\cos}^2}(x)-1)$$
Se reorganizarmos a identidade $latex {{\sin}^2}(x)+{{\cos}^2}(x)=1$, teremos $latex {{\cos}^2}(x) – 1=-{{\sin}^2}(x)$. Usando esta variação, temos:
$$\sin(x)({{\cos}^2}(x)-1)=\sin(x)(-{{\sin}^2}(x))$$
$latex ={{\sin}^3}(x)$
EXERCÍCIO 4
Aplique a fórmula da soma dos ângulos para determinar o valor exato do cosseno de 75°.
Solução
Para usar a fórmula da soma dos ângulos, notamos que 75° é igual à soma de 30° e 45°. Então temos:
$$\cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)$$
$$\cos(30+45)=\cos(30)\cos(45)-\sin(30)\sin(45)$$
$latex =\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$latex =\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}$
$latex =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
O valor de cos 75° é $latex \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
EXERCÍCIO 5
Se tivermos $latex \sin(A)=\frac{2}{9}$, determine o valor de $latex \cos(2A)$.
Solução
Podemos aplicar a fórmula de ângulo duplo para o cosseno. Usamos uma variação da fórmula do ângulo cosseno duplo, que é obtida usando a identidade pitagórica. Então temos:
$latex \cos(2A)=1-2{{\sin}^2}(A)$
$latex \cos(2A)=1-2{{(\frac{2}{9})}^2}$
$latex \cos(2A)=1-2(\frac{4}{81})$
$latex \cos(2A)=1-\frac{8}{81}$
$latex \cos(2A)=\frac{73}{81}$
EXERCÍCIO 6
Verifique se a identidade $latex \cos(A)+\sin(A)\tan(A)=\sec(A)$ é verdadeira.
Solução
Podemos verificar essa identidade reescrevendo-a até obtermos a mesma expressão em ambos os lados. Podemos começar usando a identidade do quociente tangente:
$latex \cos(A)+\sin(A)\tan(A)=\sec(A)$
$latex \cos(A)+\sin(A)(\frac{\sin(A)}{\cos(A)})=\sec(A)$
Agora, podemos adicionar as expressões do lado esquerdo para obter uma única expressão:
$latex \cos(A)+\sin(A)(\frac{\sin(A)}{\cos(A)})=\sec(A)$
$latex (\frac{{{\cos}^2}(A)+{{\sin}^2}(A)}{\cos(A)})=\sec(A)$
Agora, usamos a identidade de Pitágoras para simplificar o numerador:
$latex (\frac{{{\cos}^2}(A)+{{\sin}^2}(A)}{\cos(A)})=\sec(A)$
$latex (\frac{1}{\cos(A)})=\sec(A)$
Sabemos que secante é a identidade recíproca do cosseno, então temos:
$latex (\frac{1}{\cos(A)})=\sec(A)$
$latex \sec(A)=\sec(A)$
Verificamos que a identidade é verdadeira.
EXERCÍCIO 7
Determine os valores de cosseno e tangente se temos $latex \sin(A)=\frac{7}{8}$ e se $latex \cos(A)<0$.
Solução
Podemos encontrar o valor do cosseno usando a identidade de Pitágoras:
$latex {{\cos}^2}(A)+{{\sin}^2}(A)=1$
$latex {{\cos}^2}(A)+{{(\frac{7}{8})}^2}=1$
$latex {{\cos}^2}(A)+\frac{49}{64}=1$
$latex {{\cos}^2}(A)=1-\frac{49}{64}$
$latex {{\cos}^2}(A)=\frac{15}{64}$
$latex \cos(A)=\pm \sqrt{\frac{15}{64}}$
$latex \cos(A)=- \frac{\sqrt{15}}{8}$
Tomamos o valor negativo, pois temos $latex \cos(A)<0$. Agora, podemos usar a identidade do quociente tangente para encontrar seu valor usando os valores de seno e cosseno:
$latex \tan(A)= \frac{\sin(A)}{\cos(A)}$
$latex \tan(A)= \frac{\frac{7}{8}}{-\frac{\sqrt{15}}{8}}$
$latex \tan(A)= -\frac{7}{\sqrt{15}}$
$latex \tan(A)= -\frac{7\sqrt{15}}{15}$
Exercícios de identidades trigonométricas para resolver
Aplique as diferentes identidades trigonométricas para resolver os exercícios a seguir. Selecione uma resposta e verifique-a para ter certeza de que acertou.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
