Ângulos coterminais são ângulos que têm o mesmo lado inicial e o mesmo lado terminal. Os ângulos coterminais são equivalentes entre si, pois representam a mesma direção. É possível ter ângulos coterminais positivos e negativos.
A seguir, exploraremos esses conceitos com mais detalhes usando diagramas e aprenderemos a fórmula que podemos usar para calcular ângulos coterminais em graus e radianos. Depois, vamos aplicar esta fórmula para resolver alguns exercícios práticos.
O que são ângulos coterminais?
Ângulos coterminais são definidos como ângulos que têm o mesmo lado inicial e o mesmo lado terminal. Esses ângulos são considerados equivalentes, pois indicam a mesma direção. É possível ter ângulos terminais positivos e negativos.
Qual é a fórmula dos ângulos coterminais?
A fórmula para encontrar os ângulos terminais de um determinado ângulo depende se o ângulo dado está em radianos ou graus. Assim, temos as duas fórmulas a seguir:
| Graus: $latex \theta\pm 360^{\circ} n$ Radianos: $latex \theta\pm 2\pi n$ |
onde, n é qualquer número inteiro.
No exemplo acima, temos que 45° e -315° são coterminais. Podemos verificar isso subtraindo-os e notando que sua diferença é de 360°:
$latex 45^{\circ}-(-315^{\circ})=360^{\circ}$
Também podemos encontrar outro ângulo coterminal ao ângulo de 45°:
Neste caso, vemos que a diferença entre os dois ângulos é -360°, que é um múltiplo de 360°:
$latex 45^{\circ}-405^{\circ}=-360^{\circ}$
Podemos concluir que dois ângulos são considerados coterminais se sua diferença for igual a um múltiplo de 360° ou um múltiplo de 2π se o ângulo for em radianos.
Da mesma forma, podemos encontrar ângulos coterminais de um determinado ângulo adicionando um múltiplo de 360° ou um múltiplo de 2π ao ângulo original.
Ângulos coterminais positivos ou negativos
No exemplo acima, descobrimos que 405° e -315° são os ângulos coterminais de 45°. Então nós temos:
- 405° é o ângulo coterminal positivo de 45°
- -315° é o ângulo coterminal negativo de 45°
Assim, podemos decidir se queremos somar ou subtrair múltiplos de 360° ou 2π dependendo se queremos obter um ângulo coterminal positivo ou negativo.
Exercícios resolvidos de ângulos coterminais
As fórmulas dos ângulos coterminais são aplicadas para resolver os exercícios a seguir. Cada exercício tem sua respectiva solução, onde você pode ver o processo e o raciocínio utilizado.
EXERCÍCIO 1
Encontre dois ângulos coterminais de 30°.
Solução
O ângulo dado é $latex \theta=30^{\circ}$. A fórmula para encontrar os ângulos coterminais é:
$latex \theta \pm 360n$
n pode ser qualquer número inteiro. Podemos usar $latex n=1$ e $latex n=-1$ para encontrar dois ângulos coterminais diferentes. Então temos:
$latex \theta \pm 360n$
$latex =30^{\circ} + 360(1)$
$latex =390^{\circ}$
Agora, usando $latex n=-1$, temos:
$latex \theta \pm 360n$
$latex =30^{\circ} + 360(-1)$
$latex =-330^{\circ}$
EXERCÍCIO 2
Encontre dois ângulos coterminais de $latex \frac{\pi}{4}$.
Solução
Temos o ângulo $latex \theta=\frac{\pi}{4}$. Este ângulo está em radianos, então usamos a seguinte fórmula para encontrar os ângulos coterminais:
$latex \theta \pm 2\pi n$
n pode ser qualquer número inteiro. Neste caso, vamos usar $latex n=2$ e $latex n=-1$. Então temos:
$latex \theta \pm 2\pi n$
$latex =\frac{\pi}{4} + 2\pi(2)$
$latex =\frac{17\pi}{4}$
Agora, usando $latex n=-1$, temos:
$latex \theta \pm 2\pi n$
$latex =\frac{\pi}{4} + 2\pi(-1)$
$latex =-\frac{7\pi}{4}$
EXERCÍCIO 3
Encontre um ângulo coterminal positivo para o ângulo de -1500°.
Solução
Podemos fazer a seguinte divisão:
$latex \frac{1500}{360}=4,17$
Isso significa que temos 4 ângulos completos de 360° no ângulo de -1500°. Então, temos que adicionar 5 vezes 360° para obter um ângulo positivo. Usando a fórmula para ângulos coterminais com $latex n=5$:
$latex \theta \pm 360n$
$latex -1500^{\circ} + 360(5)$
$latex =300^{\circ}$
EXERCÍCIO 4
O que é um ângulo coterminal positivo para o ângulo $latex -\frac{10\pi}{3}$?
Solução
Semelhante ao exercício anterior, realizamos a seguinte divisão:
$latex \frac{\frac{10\pi}{3}}{2\pi}=1,67$
Vemos que temos 1 ângulo completo de 2π, então temos que somar pelo menos 2 vezes 2π para obter um ângulo positivo. Usando a fórmula para ângulos coterminais em radianos com $latex n=2$, temos:
$latex \theta \pm 2\pi$
$latex -\frac{10\pi}{3} + 2\pi(2)$
$latex =\frac{2\pi}{3}$
Exercícios de ângulo coterminal para resolver
Aplique as fórmulas dos ângulos coterminais para resolver os exercícios a seguir. Selecione uma resposta e verifique-a para ter certeza de que acertou.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
