As identidades trigonométricas são equações, que são verdadeiras para qualquer ângulo usado. As identidades trigonométricas são usadas para reescrever expressões trigonométricas e simplificá-las ou resolvê-las. Essas identidades são derivadas das funções trigonométricas fundamentais, seno, cosseno e tangente. Além disso, o círculo unitário e o teorema de Pitágoras são usados para obter mais identidades.
A seguir, conheceremos as fórmulas das identidades trigonométricas fundamentais. Em seguida, usaremos essas identidades para resolver alguns exercícios práticos.
TRIGONOMETRIA
Relevante para…
Aprender sobre as identidades trigonométricas fundamentais.
TRIGONOMETRIA
Relevante para…
Aprender sobre as identidades trigonométricas fundamentais.
Quais são as identidades trigonométricas fundamentais?
Existem várias identidades trigonométricas que podem ser derivadas das definições das funções trigonométricas. Além disso, o círculo unitário e o teorema de Pitágoras são usados para obter mais identidades.
Finalmente, as mesmas identidades trigonométricas são usadas para derivar e obter variações das identidades trigonométricas que podem ser aplicadas em outras situações.
Isso significa que existem várias fórmulas para identidades trigonométricas, porém as mais importantes são as identidades recíprocas, as identidades de quociente, as identidades dos ângulos complementares, as identidades dos ângulos negativos e as identidades pitagóricas.
Identidades recíprocas
Essas identidades são definidas a partir das funções trigonométricas seno, cosseno e tangente. Um recíproco de uma fração é igual ao numerador e denominador trocados de lugar. Podemos formar uma recíproca escrevendo 1 sobre o valor original. Assim, definimos as funções cossecante, secante e cotangente:
$latex \csc(\theta)=\frac{1}{\sin(\theta)}$
$latex \sec(\theta)=\frac{1}{\cos(\theta)}$
$latex \cot(\theta)=\frac{1}{\tan(\theta)}$
Identidades de quociente
Essas identidades são encontradas escrevendo a tangente e a cotangente em termos de seno e cosseno. Então temos:
$latex \tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$
$latex \cot(\theta)=\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$
Identidades de ângulos complementares
Ângulos complementares são ângulos que somam 90°. Podemos usar esses ângulos para definir identidades trigonométricas relacionadas às funções trigonométricas:
$latex \sin(\theta)=\cos(90^{\circ} -\theta)$
$latex \cos(\theta)=\sin(90^{\circ} -\theta)$
$latex \tan(\theta)=\cot(90^{\circ} -\theta)$
$latex \cot(\theta)=\tan(90^{\circ} -\theta)$
Identidades de ângulos negativos
Usando as definições de funções pares e ímpares, podemos encontrar identidades para ângulos negativos e escrevê-los como ângulos positivos.
$latex \sin(-\theta)=-\sin(\theta)$
$latex \cos(-\theta)=\cos(\theta)$
$latex \tan(-\theta)=-\tan(\theta)$
Identidades Pitagóricas
A primeira identidade de Pitágoras é derivada usando o teorema de Pitágoras em um círculo unitário. As outras duas variações são encontradas dividindo a identidade pitagórica principal por seno ou cosseno e simplificando.
$latex {{\sin}^2}(\theta)+{{\cos}^2}(\theta)=1$
$latex {{\tan}^2}(\theta)+1={{\sec}^2}(\theta)$
$latex {{\cot}^2}(\theta)+1={{\csc}^2}(\theta)$
Exercícios resolvidos de identidades trigonométricas fundamentais
Os exercícios a seguir são resolvidos aplicando as identidades trigonométricas fundamentais vistas acima. Cada exercício tem sua respectiva solução, onde você pode observar o processo utilizado.
EXERCÍCIO 1
Use as identidades pitagóricas para simplificar a expressão trigonométrica $latex \sin(x){{\cos}^2}(x)-\sin(x)$.
Solução
Observamos que a expressão tem o seno e o cosseno. Isso significa que podemos usar a identidade $latex {{\sin}^2}(x)+{{\cos}^2}(x)=1$. No entanto, temos que começar por fatorar a expressão dada:
$$\sin(x){{\cos}^2}(x)-\sin(x)=\sin(x)({{\cos}^2}(x)-1)$$
Além disso, vamos reescrever a identidade $latex {{\sin}^2}(x)+{{\cos}^2}(x)=1$ da seguinte forma: $latex {{\cos}^2 } (x)-1=-{{\sin}^2}(x)$ e para simplificar:
$$\sin(x)({{\cos}^2}(x)-1)=\sin(x)(-{{\sin}^2}(x))$$
$latex ={{\sin}^3}(x)$
EXERCÍCIO 2
Calcule o valor de $latex \tan(\theta)$ usando os valores $latex \cos(\theta)=\frac{3}{11}$ e $latex \sin(\theta)=\frac{5 }{ 11}$.
Solução
Nesse caso, podemos usar a identidade de quociente da tangente e escrevê-la em termos de seno e cosseno. Assim, o valor da tangente é:
$latex \tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$
$latex \tan(\theta)=\frac{\frac{5}{11}}{\frac{3}{11}}$
$latex \tan(\theta)=\frac{5}{3}$
EXERCÍCIO 3
Determine o valor de $latex \tan(\theta)$ usando $latex \cot(\theta)=\frac{5}{3}$.
Solução
Podemos resolver este exercício usando a identidade tangente recíproca. Cotangente é a função recíproca da tangente, então encontramos o valor da tangente “invertendo” o valor da cotangente. Então temos:
$latex \cot(\theta)=\frac{5}{3}$
⇒ $latex \tan(\theta)=\frac{3}{5}$
EXERCÍCIO 4
Use as identidades trigonométricas para simplificar a expressão: $$({{\sec}^2}(x))(1-{{\sin}^2}(x))-(\frac{\sin(x)} {\csc(x)}+\frac{\cos(x)}{\sec(x)})$$
Solução
Podemos começar usando as identidades recíprocas $latex \sec(x)=\frac{1}{\cos(x)}$ e $latex \csc(x)=\frac{1}{\sin(x)} $. Então temos:
$$({{\sec}^2}(x))(1-{{\sin}^2}(x))-(\frac{\sin(x)}{\csc(x)}+\frac{\cos(x)}{\sec(x)})$$
$$=({{\sec}^2}(x))(1-{{\sin}^2}(x))-({{\sin}^2}(x)+{{\cos}^2}(x))$$
Agora, vamos usar a identidade pitagórica principal para resolver completamente:
$latex =({{\sec}^2}(x))({{\cos}^2}(x))-(1)$
$latex =1-1$
$latex =0$
Exercícios fundamentais de identidades trigonométricas para resolver
Use as fórmulas das identidades trigonométricas fundamentais vistas acima para resolver os exercícios a seguir. Selecione uma resposta e clique em “Verificar” para verificar se você acertou.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
