O apótema de um prisma hexagonal pode ser definido como o segmento de reta que conecta o centro da base hexagonal a um de seus lados de maneira perpendicular. Podemos calcular o comprimento do apótema usando o volume ou a área da superfície do prisma. Isso é possível porque a área de um hexágono regular pode ser calculada usando o comprimento do apótema e o comprimento de um de seus lados.
A seguir, conheceremos as fórmulas que podemos usar para calcular o comprimento do apótema de um prisma hexagonal. Além disso, usaremos essas fórmulas para resolver alguns exercícios.
GEOMETRIA
Relevante para…
Aprender a encontrar o apótema do prisma hexagonal com exercícios.
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Aprender a encontrar o apótema do prisma hexagonal com exercícios.
Como calcular o comprimento do apótema de um prisma hexagonal?
O comprimento do apótema de um prisma hexagonal pode ser calculado a partir do volume ou da área de superfície do prisma. Isso é possível porque essas duas medidas dependem da área da base hexagonal e, ao mesmo tempo, a área da base hexagonal pode ser calculada usando o comprimento de seu apótema e o comprimento de um dos lados.
Portanto, precisamos saber tanto o comprimento de um dos lados da base hexagonal, quanto a medida de volume ou área do prisma.
Lembre-se de que o volume de um prisma hexagonal é igual à área da base vezes a altura do prisma. Além disso, a área de um hexágono regular é igual a $latex 3al$, onde a é o comprimento do apótema e l é o comprimento de um dos lados. Então, temos:
| $latex V=3alh$ |
onde, a é o comprimento do apótema, l é o comprimento de um dos lados e h é o comprimento da altura do prisma.
Por outro lado, a área do prisma hexagonal é igual à soma das áreas de todas as suas faces. Mencionamos que a área de um hexágono regular é igual a $latex 3al$, então a área de ambas as bases hexagonais é igual a $latex 6al$.
Além disso, temos seis faces laterais retangulares que são iguais. Cada uma dessas faces tem uma área de $latex lh$, então a área total dessas faces é $latex 6lh$. Isso significa que a área de superfície total do prisma é:
| $latex A_{s}=6al+6lh$ |
O comprimento do apótema pode ser calculado usando qualquer uma dessas duas fórmulas que são relevantes para as informações conhecidas e resolvendo para a.
Exercícios do apótema do prisma hexagonal resolvidos
Os exercícios a seguir são resolvidos usando as fórmulas de volume e área de superfície para encontrar o comprimento do apótema dos prismas hexagonais. Tente resolver os exercícios sozinho antes de olhar o resultado.
Nota: Os comprimentos dos apótemas e os comprimentos dos lados do hexágono, dados nos exercícios seguintes, não correspondem a hexágonos regulares reais. Os valores dados foram escolhidos para facilitar o aprendizado dos métodos utilizados para obter o comprimento do apotema.
EXERCÍCIO 1
Um prisma hexagonal tem um volume de 450 m³. Se a altura do prisma é de 6 m e a base tem lados de 5 m de comprimento, qual é o seu apótema?
Solução
Temos as seguintes informações:
- Volume, $latex V=450$
- Altura, $latex h=6$
- Lados, $latex l=5$
Usamos a fórmula de volume com esses dados e resolvemos para a:
$latex V=3alh$
$latex 450=3a(5)(6)$
$latex 450=90a$
$latex a=5$
O comprimento do apótema é de 5 m.
EXERCÍCIO 2
Qual é o apótema de um prisma hexagonal que tem um volume de 1512 m³, uma altura de 9 m e lados de 8 m de comprimento?
Solução
Temos os seguintes dados:
- Volume, $latex V=1512$
- Altura, $latex h=9$
- Lados, $latex l=8$
Usamos esses dados na fórmula do volume e resolvemos para a:
$latex V=3alh$
$latex 1512=3a(8)(9)$
$latex 1512=216a$
$latex a=7$
O comprimento do apótema é de 7 m.
EXERCÍCIO 3
Qual é o comprimento do apótema de um prisma hexagonal que tem uma área de superfície de 264 m², uma altura de 6 m e lados de 4 m de comprimento?
Solução
Temos os seguintes valores:
- Área do prisma, $latex A_{s}=264$
- Altura, $latex h=6$
- Lados, $latex l=4$
Usamos a fórmula da área do prisma com esses dados e resolvemos para a:
$latex A_{s}=6al+6hl$
$latex 264=6a(4)+6(6)(4)$
$latex 264=24a+144$
$latex 24a=264-144$
$latex 24a=120$
$latex a=5$
O comprimento do apótema é de 5 m.
EXERCÍCIO 4
Um prisma tem uma área de superfície de 912 m². Se sua altura é igual a 10 m e o comprimento dos lados de sua base é igual a 8, qual é o comprimento de seu apótema?
Solução
Temos o seguinte:
- Área do prisma, $latex A_{s}=912$
- Altura, $latex h=10$
- Lados, $latex l=8$
Usamos esses valores na fórmula para área do prisma e resolvemos para a :
$latex A_{s}=6al+6hl$
$latex 912=6a(8)+6(10)(8)$
$latex 912=48a+480$
$latex 48a=912-480$
$latex 48a=432$
$latex a=9$
O comprimento do apótema é de 9 m.
Exercícios do apótema do prisma hexagonal para resolver
Pratique o que aprendeu sobre o apótema dos prismas hexagonais e resolva os exercícios a seguir. Selecione a resposta obtida e verifique se está correta.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
