A soma dos ângulos internos de qualquer polígono pode ser calculada usando uma fórmula. A fórmula é derivada considerando que podemos dividir qualquer polígono em triângulos. Se o polígono for regular, podemos encontrar a medida de um de seus ângulos internos dividindo a soma total pelo número de lados do polígono.
A seguir, aprenderemos mais sobre os ângulos internos de um polígono.
Soma dos ângulos internos de um polígono
Podemos encontrar a soma dos ângulos internos de qualquer polígono usando a seguinte fórmula:
| $latex (n-2)\times 180$° |
onde, n é o número de lados do polígono. Por exemplo, usamos $latex n=5$ para um pentágono.
Esta fórmula funciona independentemente de o polígono ser regular ou irregular. Isso ocorre porque um polígono sempre tem a mesma soma dos ângulos internos.
Vejamos alguns exemplos. Um quadrado tem quatro lados, então temos $latex n=4$. Quando usamos isso na fórmula, temos:
$latex (n-2)\times 180$°
$latex =(4-2)\times 180$°
$latex =(2)\times 180$°
$latex =360$°
Agora, se considerarmos um hexágono, que tem seis lados, temos:
$latex (n-2)\times 180$°
$latex =(6-2)\times 180$°
$latex =(4)\times 180$°
$latex =720$°
A seguir está uma tabela com a soma dos ângulos internos dos polígonos mais comuns:
| Polígono | Número de lados | Soma de ângulos |
| Triângulo | 3 | 180° |
| Quadrilátero | 4 | 360° |
| Pentágono | 5 | 540° |
| Hexágono | 6 | 720° |
| Heptágono | 7 | 900° |
| Octógono | 8 | 1080° |
| Nonágono | 9 | 1260° |
| Decágono | 10 | 1440° |
Ângulos internos de um polígono regular
Podemos determinar a medida de cada um dos ângulos internos de um polígono regular a partir da soma de todos os ângulos internos. Sabemos que um polígono regular tem todos os seus lados com a mesma medida e todos os seus ângulos com a mesma medida.
Então, usamos a soma dos ângulos internos de um polígono e dividimos pelo número de lados do polígono regular para encontrar a medida de cada ângulo. Usando isso, temos a seguinte fórmula:
| $latex \frac{(n-2)\times 180}{n}$ |
onde, n é o número de lados do polígono regular. Por exemplo, um heptágono regular tem 7 lados.
Vamos ver alguns exemplos. Para um quadrado, usamos $latex n=4$. Anteriormente, vimos que a soma dos ângulos internos de um quadrado é igual a 360°. Então, dividindo por 4, temos:
360°÷4=90°
Cada ângulo interno de um quadrado mede 90°.
Agora, no caso de um hexágono, vimos que a soma de seus ângulos internos é igual a 720°. Então, dividindo por 6, que é o número de lados do hexágono, temos:
720°÷6=120°
Cada ângulo interno de um hexágono mede 120°.
A seguir está uma tabela com as medidas dos ângulos internos de polígonos regulares comuns:
| Polígono | Cada ângulo |
| Triângulo | 60° |
| Quadrado | 90° |
| Pentágono | 108° |
| Hexágono | 120° |
| Heptágono | 128.57° |
| Octógono | 135° |
| Nonágono | 140° |
| Decágono | 144° |
Prova da fórmula dos ângulos internos
Considere o seguinte polígono que tem os vértices $latex V_{1}$ a $latex V_{n}$.
Se anexarmos $latex V_{1}$ a cada vértice exceto $latex V_{2}$ e $latex V_{n}$, podemos formar triângulos $latex (n-2)$, onde, n é o número de lados do polígono.
Agora, sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180°. Então a soma dos ângulos internos de um polígono com n lados é igual a $latex (n-2)\times 180$°.
Exemplos de ângulos internos de um polígono
EXERCÍCIO 1
Qual é a soma dos ângulos internos de um polígono com 11 lados?
Solução: Temos que usar a fórmula da soma dos ângulos internos com $latex n=11$. Então temos:
$latex (n-2)\times 180$°
$latex =(11-2)\times 180$°
$latex =(9)\times 180$°
$latex =1620$°
A soma dos ângulos internos de um polígono de 11 lados é igual a 1620°.
EXERCÍCIO 2
Encontre a medida dos ângulos internos de um polígono regular com 11 lados.
Solução: Como o polígono é regular, podemos usar a soma obtida no exemplo anterior e dividir por 11, já que todos os ângulos são iguais. Então temos:
1620°÷11≈147,27°
Cada ângulo interno de um polígono regular de 11 lados mede 147,27°.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
