A equação vectorial de uma recta é utilizada para descrever a posição de cada ponto de uma recta em termos de um único parâmetro, geralmente denotado por t. Podemos encontrar a equação vectorial de uma recta se conhecermos dois pontos na recta ou um ponto e uma direção.
A seguir, aprenderemos a encontrar a equação vetorial de uma reta usando os dois casos mencionados. A seguir, veremos alguns exercícios onde aplicaremos esses casos.
Como encontrar a equação vectorial de uma recta?
Existem dois métodos principais que podemos usar para encontrar a equação vetorial de uma reta, dependendo da informação que temos disponível:
- Um ponto sobre uma reta e a direção da reta
- Dois pontos na recta
Primeiro caso
Dado um ponto $latex A $ e uma direção $latex \vec{u}$, podemos encontrar o vetor posição $latex \vec{r}=\overrightarrow{OP}$ de um ponto geral $latex P$ na reta:
Usando a adição de vetores, vemos que:
$latex \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}$
Aqui temos $latex \vec{a}=\overrightarrow{OA}$, e como $latex \overrightarrow{AP}$ é paralelo a $latex =\vec{u}$, podemos escrever:
$latex \vec{r}=\vec{a}+t~\vec{u}$
onde $latex t$ é um parâmetro ou quantidade escalar. Nesta equação, diferentes valores de $latex t$ nos dão todos os pontos da reta.
Segundo caso
Quando conhecemos dois pontos $latex A$ e $latex B$ na reta, podemos expressar a equação vetorial da reta em termos dos vetores posição dos pontos.
Semelhante ao caso anterior, temos $latex \vec{a}=\overrightarrow{OA}$. Além disso, neste caso, $latex \overrightarrow{AB}$ é paralelo à reta, então $latex \vec{u}=\overrightarrow{AB}$ e temos:
$latex \vec{r}=\overrightarrow{OA}+t~\overrightarrow{AB}$
Exercício resolvidos de equação vetorial da reta
EXERCÍCIO 1
Dados dois pontos A(1, 2, 3) e B(4, 6, 9), encontrar a equação vectorial da recta que passa por estes pontos.
Solução
Para encontrar a equação vetorial de uma reta, devemos começar encontrando o vetor posição de um ponto na reta ($latex \overrightarrow{OA}$) e o vetor direção ($latex \overrightarrow{AB}$) da reta.
Como o ponto $latex A$ tem coordenadas $latex (1,~ 2,~ 3)$, e o ponto $latex B$ tem coordenadas $latex (4, ~6, ~9)$, seu vetor de posição será:
$$\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$
$$\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix}$$
Agora temos que encontrar o vetor de direção ($latex \vec{AB}$) da reta. Isso pode ser encontrado tomando a diferença entre os vetores de posição dos pontos A e B:
$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}~ – ~\overrightarrow{OA}$$
$$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$
$$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}$$
Agora, podemos escrever a equação vetorial da reta:
$latex \vec{r} = \overrightarrow{OA} + t~\overrightarrow{AB}$
$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}$$
$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 1+3t \\ 2+4t \\ 3+6t \end{pmatrix}$$
EXERCÍCIO 2
Dado um ponto $latex C(2,~ -1,~ 4)$ na reta e o vetor de direção da reta $latex \vec{d} = 4\hat{i}, ~5\hat{j}, ~-2\hat{k}$, encontre a equação vetorial da reta.
Solução
Neste caso, conhecemos o vetor posição do ponto C na reta e o vetor direção ($latex \vec{d}$) da reta.
O vetor posição do ponto C com coordenadas $latex (2,~ -1, ~4)$ é:
$$\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$$
O vetor de direção da reta é dado por:
$$\vec{d} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix}$$
Agora, podemos escrever a equação vectorial da recta:
$latex \vec{r} = \overrightarrow{OC}+ t~\vec{d}$
$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix}$$
$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 2+4t \\ -1+5t \\ 4-2t \end{pmatrix}$$
EXERCÍCIO 3
Dado um ponto $latex A(5,~ -2,~ 3)$ na reta e o vetor de direção da reta $latex \vec{e} = 2\hat{i} -3\hat{j} +1 \hat{k}$, encontre a equação vetorial da reta.
Solução
Semelhante ao exercício anterior, conhecemos o vetor posição do ponto R na reta e o vetor direção ($latex \vec{e}$) da reta.
O vetor posição do ponto A com coordenadas $latex (5,~ -2, ~3)$ é:
$$\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$$
Além disso, temos que o vetor de direção da reta é:
$$\vec{e} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$$
Assim, podemos escrever a equação vetorial da reta usando esta informação:
$latex \vec{r} = \overrightarrow{OA}+ t~\vec{e}$
$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$$
$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 5+2t \\ -2-3t \\ 3+t \end{pmatrix}$$
EXERCÍCIO 4
Encontre a equação vetorial da reta que passa pelos dois pontos P(-1, 3, 2) e Q(3, 7, -1).
Solução
Precisamos começar encontrando os vetores de posição ($latex \overrightarrow{OP}$) e ($latex \overrightarrow{OQ}$).
Como o ponto $latex P$ tem coordenadas $latex (-1,~ 3,~ 2)$, e o ponto $latex Q$ tem coordenadas $latex (3, ~7, ~-1)$, temos:
$$\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$$
$$\overrightarrow{OQ} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}$$
Agora, vamos encontrar o vetor de direção ($latex \vec{PQ}$) da reta. Este vetor é igual à diferença entre os vetores posição dos pontos P e Q:
$$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} ~-~ \overrightarrow{OP}$$
$$\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$$
$$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$$
Agora, podemos escrever a equação vetorial da reta:
$latex \vec{r} = \overrightarrow{OP} + t~\overrightarrow{PQ}$
$$\vec{r} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$$
$$\vec{r} = \begin{pmatrix} -1+4t \\ 3+4t \\ 2-3t \end{pmatrix}$$
EXERCÍCIO 5
Dado um ponto U(-3, 5, 2) na reta e o vetor de direção da reta $latex \vec{f} = -1\hat{i}+ 4\hat{j} +3\hat{k }$, encontre a equação vetorial da reta.
Solução
Começamos encontrando o vetor posição do ponto U com as coordenadas $latex (-3,~ 5, ~2)$:
$$\overrightarrow{OU} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$$
Neste caso, o vetor de direção da reta é:
$$\vec{f} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$$
Agora, escrevemos a equação vetorial da reta usando esta informação:
$latex \vec{r} = \overrightarrow{OU}+ t~\vec{f}$
$$\vec{r} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$$
$$\vec{r} = \begin{pmatrix} -3-t \\ 5+4t \\ 2+3t \end{pmatrix}$$
EXERCÍCIO 6
Dados dois pontos $latex S(6,~ 4,~ -1)$ e $latex T(0,~ -2, ~3)$, qual é a equação vetorial da reta que passa por esses pontos?
Solução
Os vetores de posição ($latex \overrightarrow{OS}$) e ($latex \overrightarrow{OT}$) são:
$$\overrightarrow{OS} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$$
$$\overrightarrow{OT} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$$
Agora, vamos encontrar o vetor de direção ($latex \vec{ST}$) da reta:
$$\overrightarrow{ST} = \overrightarrow{OT} ~-~ \overrightarrow{OS}$$
$$\overrightarrow{ST} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$$
$$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -6 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}$$
Assim, a equação vetorial da reta é:
$latex \vec{r} = \overrightarrow{OS} + t~\overrightarrow{ST}$
$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -6 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}$$
$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 6+-6t \\ 4-6t \\ -1+4t \end{pmatrix}$$
EXERCÍCIO 7
Encontre a equação vetorial da reta que passa pelos dois pontos A(1, 2, -1) e B(1, 1, 2) e determine se o ponto P(1, 3, 1) está na reta.
Solução
Os vectores de posição dos pontos dados são:
$$\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$
$$\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$
O vetor de direção ($latex \vec{AB}$) da reta é:
$$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$
$$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$$
Então, a equação vectorial da recta é:
$latex \vec{r} = \overrightarrow{OA} + t~\overrightarrow{AB}$
$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$$
$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2-t \\ -1+3t \end{pmatrix}$$
Para determinar se P está na reta, precisamos encontrar o valor de $latex t$. Comparando os componentes da equação vetorial e a posição do ponto, temos:
$latex 1=1$
$latex 2-t=3~~(t=-1)$
$latex -1+3t=1~~(t=\frac{2}{3})$
As duas últimas equações não são compatíveis, pelo que o ponto P não está na recta.
EXERCÍCIO 8
Encontre as equações vetoriais das retas $latex \overrightarrow{AB}~$ e $latex ~\overrightarrow{CD}$, com os pontos $latex A(1, ~2,~ -1)$, $latex B(1 , ~1,~ 2)$, $latex C(0, ~1, ~2)~$ e $latex ~D(-1,~ 3,~ -4)$.
Encontre o ponto de intersecção das retas.
Solução
A equação vetorial para ($latex \overrightarrow{AB}$) foi encontrada no exercício anterior. Então, temos:
$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2-t \\ -1+3t \end{pmatrix}$$
A linha $latex \overrightarrow{CD}$ é dada por $latex \vec{r}=\overrightarrow{OC}+s~\overrightarrow{CD}$. Então temos:
$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}$$
$$\vec{r} = \begin{pmatrix} -s\\ 1+2s \\ 2-6s \end{pmatrix}$$
As retas $latex \overrightarrow{AB}~$ e $latex ~\overrightarrow{CD}$ se cruzam se os parâmetros $latex s$ e $latex t$ satisfazem o seguinte:
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 2-t \\ -1+3t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -s\\ 1+2s \\ 2-6s \end{pmatrix}$$
Da primeira reta, temos $latex 1=-s$. Então, para que as retas se cruzem, devemos ter $latex s=-1$.
Da segunda fila:
$latex 2 − t = 1 + 2s$
$latex 2 − t = −1$
$latex t = 3$
Substituindo $latex s=-1$ e $latex t=3$ na terceira reta $latex −1 + 3t = 2 − 6s$, obtemos $latex 8 = 8$. Então, os valores de $latex s$ e $latex t$ satisfazem todas as três equações.
O ponto de interseção é encontrado substituindo $latex s=-1$ ou $latex t=3$ em $latex \overrightarrow{AB}~$ ou $latex ~\overrightarrow{CD}$ respectivamente.
O ponto de interseção é $latex (1,~ −1, ~8)$.
Equação vetorial da reta – Exercícios para resolver
Veja também
Interessado em aprender mais sobre vetores? Você pode olhar para estas páginas:
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
