A equação vetorial de um plano nos permite descrever a posição de cada ponto em um plano. Existem dois métodos principais para descrever um plano, com um ponto no plano e um vetor perpendicular ao plano ou com três pontos no plano.
A seguir, conheceremos como encontrar a equação vetorial do plano usando os dois métodos mencionados. Depois, veremos alguns exercícios onde aplicaremos esses casos.
Como encontrar a equação vetorial de um plano?
Para encontrar a equação vetorial de um plano, podemos usar dois métodos principais dependendo da informação que temos:
- Um ponto no plano e um vetor perpendicular ao plano
- Três pontos no plano que não estão em uma reta
Primeiro caso
Começamos com um ponto $latex A $ e um vetor $latex \vec{n}$, que é normal (perpendicular) ao plano:
Todo vetor paralelo ao plano é perpendicular a $latex \vec{n}$. Isso significa que se algum ponto $latex P$ estiver no plano, devemos ter:
$latex \overrightarrow{AP}\cdot \vec{n}=0$
(o produto escalar de dois vetores perpendiculares é 0)
No diagrama, vemos que $latex \vec{r}$ é a soma de $latex \vec{a}$ e $latex \overrightarrow{AP}$. Então, temos $latex \overrightarrow{AP}=\vec{r}-\vec{a}$, então a equação do plano é:
$latex \overrightarrow{AP}\cdot \vec{n}=0$
$latex (\vec{r}-\vec{a})\cdot \vec{n}=0$
Isso também pode ser escrito como $latex \vec{r}\cdot \vec{n}=\vec{a}\cdot \vec{n}$.
Para converter em coordenadas cartesianas, podemos usar $latex \vec{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$.
Segundo caso
Neste caso, suponha que temos três pontos que estão no plano e não fazem parte da mesma reta.
Podemos usar o produto vetorial para criar um vetor ortogonal (perpendicular) ao plano e proceder com o mesmo processo usado no primeiro caso.
Por exemplo, se sabemos que os pontos A, B e C estão no plano, podemos escrever:
$latex \vec{n}=\overrightarrow{AB}~\times ~\overrightarrow{AC}$
Então usamos a equação $latex (\vec{r}-\vec{a})\cdot \vec{n}=0$.
Exercícios resolvidos de equação vetorial de um plano
EXERCÍCIO 1
Encontre a equação do plano que passa pelo ponto $latex A(1, ~0,~2)$ e no qual, $latex \vec{n}=\hat{i}-\hat{j}+\hat {k}$ é um vetor perpendicular ao plano.
Solução
Aqui, temos um ponto no plano e um vetor perpendicular. Então, podemos usar a seguinte equação:
$latex \vec{r}\cdot \vec{n}=\vec{a}\cdot \vec{n}$
Neste caso, temos $latex \vec{a}=\hat{i}+2\hat{k}$, então
$latex \vec{a}\cdot \vec{n}=1+0+2=3$
Além disso, como $latex \vec{n}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$, temos:
$latex \vec{r}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}=3$
Para converter para coordenadas cartesianas, consideramos $latex (x,~y,~z)$ como as coordenadas de qualquer ponto $latex P$ no plano.
Então temos $latex \vec{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ e $latex \vec{r}\cdot \vec{n}=x-y+z$:
$latex \vec{r}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}=3$
$latex x-y+z=3$
EXERCÍCIO 2
O ponto $latex A(3, ~2,~1)$ está em um plano e o vetor $latex \vec{n}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k} $ é um vetor perpendicular ao plano. Encontre a equação do plano.
Solução
Utilizaremos a seguinte fórmula:
$latex \vec{r}\cdot \vec{n}=\vec{a}\cdot \vec{n}$
Como temos o vetor posição $latex \vec{a}=3\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$, podemos escrever:
$latex \vec{a}\cdot \vec{n}=6-4+1=3$
Como o vetor perpendicular ao plano é $latex \vec{n}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$, temos:
$latex \vec{r}\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}=3$
Usando $latex (x,~y,~z)$ como as coordenadas de um ponto $latex P$ no plano, temos $latex \vec{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$:
$latex \vec{r}\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}=3$
$latex 2x-2y+z=3$
EXERCÍCIO 3
Dado um ponto $latex A(5,~ -2,~ 3)$ em um plano e o vetor perpendicular $latex \vec{n} = 2\hat{i} -3\hat{j} +1\hat{ k}$, encontre a equação do plano.
Solução
Vamos utilizar a seguinte fórmula para encontrar a equação do plano:
$latex \vec{r}\cdot \vec{n}=\vec{a}\cdot \vec{n}$
Como temos o vetor posição $latex \vec{a}=5\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$, podemos escrever:
$latex \vec{a}\cdot \vec{n}=10+6+3=19$
Usando o vetor perpendicular $latex \vec{n}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$, temos:
$latex \vec{r}\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}=19$
Usamos $latex \vec{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ para escrever em coordenadas cartesianas:
$latex \vec{r}\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}=19$
$latex 2x-3y+z=19$
EXERCÍCIO 4
Encontre a equação vetorial do plano que passa pelo ponto A(-1, 3, 2) e no qual o vetor $latex \vec{n} = 2\hat{i} -2\hat{j} -3 \hat{k}$ é perpendicular.
Solução
Semelhante aos exercícios anteriores, usamos a seguinte fórmula:
$latex \vec{r}\cdot \vec{n}=\vec{a}\cdot \vec{n}$
O vetor posição do ponto dado é $latex \vec{a}=-\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}$. Então temos:
$latex \vec{a}\cdot \vec{n}=-2-6-6=-14$
Usando o vector perpendicular $latex \vec{n}=2\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}$, temos:
$latex \vec{r}\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}=-14$
Usamos $latex \vec{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ para escrever em coordenadas cartesianas:
$latex \vec{r}\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}=-14$
$latex 2x-2y-3z=-14$
EXERCÍCIO 5
Encontre a equação do plano que passa pelos pontos A(1, 1, 1), B(2, 1, 0) e C(1, 2, −1).
Solução
Nos exercícios anteriores vimos como encontrar a equação do plano quando temos um ponto e um vetor perpendicular $latex \vec{n}$.
Então, temos que encontrar um vetor $latex \vec{n}$. Para isso podemos considerar que o vetor perpendicular é igual ao produto vetorial de dois vetores:
$latex \vec{n}=\overrightarrow{AB}~\times ~\overrightarrow{AC}$
$latex \vec{n}=(\hat{i}-\hat{k})\times (\hat{j}-2\hat{k})$
$latex \vec{n}=\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$
Agora, usamos a seguinte fórmula:
$latex \vec{r}\cdot \vec{n}=\vec{a}\cdot \vec{n}$
O vetor posição de A é $latex \vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$. Então temos:
$latex \vec{a}\cdot \vec{n}=1+2+1=4$
E a equação é
$latex \vec{r}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=4$
Na forma cartesiana, temos:
$latex x+2y+z=4$
EXERCÍCIO 6
Dados os pontos $latex A(1,~ 2,~ 3)$, $latex B(2, ~1, ~0)$ e $latex C(0,~ 3,~ 1)$, qual é o vetor equação do plano que passa por esses pontos?
Solução
Para encontrar o vector perpendicular $latex \vec{n}$, utilizamos o seguinte:
$latex \vec{n}=\overrightarrow{AB}~\times ~\overrightarrow{AC}$
$latex \vec{n}=(\hat{i}-\hat{j}-3\hat{k})\times (-\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})$
$latex \vec{n}=5\hat{i}+5\hat{j}$
Agora, usamos a fórmula da equação vetorial de um plano:
$latex \vec{r}\cdot \vec{n}=\vec{a}\cdot \vec{n}$
Podemos usar qualquer um dos pontos. O vetor posição de A é $latex \vec{a}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$. Então temos:
$latex \vec{a}\cdot \vec{n}=5+10+0=15$
E a equação do plano é
$latex \vec{r}\cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}=15$
Na forma cartesiana, temos:
$latex 5x+5y=15$
EXERCÍCIO 7
Se um plano passa pelos pontos $latex A(2,~ 0, ~1)$, $latex B(0,~ 3,~ -1)$ e $latex C(1,~ -1,~ 3) $, qual é a sua equação vetorial?
Solução
Começamos encontrando o vetor perpendicular $latex \vec{n}$ usando o produto vetorial:
$latex \vec{n}=\overrightarrow{AB}~\times ~\overrightarrow{AC}$
$latex \vec{n}=(-2\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k})\times (-\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})$
$latex \vec{n}=4\hat{i}+6\hat{j}+5\hat{k})$
Agora, podemos aplicar a fórmula da equação vetorial de um plano:
$latex \vec{r}\cdot \vec{n}=\vec{a}\cdot \vec{n}$
O vetor posição de A é $latex \vec{a}=2\hat{i}+\hat{k}$. Então temos:
$latex \vec{a}\cdot \vec{n}=8+0+5=13$
E a equação do plano é
$latex \vec{r}\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}=13$
Na forma cartesiana, temos:
$latex 4x+6y+5z=13$
EXERCÍCIO 8
Encontre a equação vetorial do plano que passa pelos pontos $latex A(1, ~1, ~1)$, $latex ~B(-1, ~2, ~0)$ e $latex C(2,~ 3 ,~ -1)$.
Solução
O vetor perpendicular, $latex \vec{n}$, ao plano é:
$latex \vec{n}=\overrightarrow{AB}~\times ~\overrightarrow{AC}$
$latex \vec{n}=(-2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})\times (\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k})$
$latex \vec{n}=-5\hat{j}-5\hat{k})$
Agora, usamos a seguinte fórmula:
$latex \vec{r}\cdot \vec{n}=\vec{a}\cdot \vec{n}$
Usando o vetor posição de A, $latex \vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, temos:
$latex \vec{a}\cdot \vec{n}=0-5-5=-10$
E a equação do plano é
$latex \vec{r}\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \\ -5 \end{pmatrix}=-10$
Na forma cartesiana, temos:
$latex -5y-5z=-10$
Equação vetorial de um plano – Exercícios para resolver
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
