Volume de revolução em torno do eixo y - Exercícios

O volume de revolução formado quando rodamos uma área por 2π em relação ao eixo y pode ser encontrado utilizando uma integral definida do quadrado da equação da curva e multiplicando o resultado por π. A fórmula para este volume pode ser derivada utilizando limites e integrais.

A seguir, aprenderemos a calcular o volume de revolução em relação ao eixo y. Aprenderemos como derivar a sua fórmula e aplicá-la em alguns exemplos.

CÁLCULO

Fórmula do volume de revolução em relação ao eixo y

Relevante para…

Aprender a calcular o volume de revolução em torno do eixo y.

Ver exercícios

Contenidos

CÁLCULO

Relevante para…

Aprender a calcular o volume de revolução em torno do eixo y.

Ver exercícios

Como encontrar o volume de revolução em torno do eixo y

O volume de um sólido de revolução formado por rotação de uma área por 2π em torno do eixo y pode ser encontrado da mesma forma que quando é rotado em torno do eixo x. Então, temos a seguinte fórmula

$$V=\pi \int_{a}^{b} x^2 d y$$

Neste caso, devemos ter em conta que $latex dy$ indica que os limites $latex a$ e $latex b$ são limites de $latex y$.

Seguimos então o seguinte processo para aplicar corretamente a fórmula:

1. Encontramos uma expressão para x em termos de y.

Por exemplo, se $latex y=x^2$, então $latex x=\sqrt{y}$.

2. A expressão obtida no passo 1 é quadrada.

Ou seja, temos $latex x^2$.

3. Avalie a integral definida $latex \int_{a}^{b} x^2 d y$.

Para isto, substituímos a expressão $latex x^2$ do passo 2.

4. Multiplique o resultado do passo 3 por π para encontrar o volume do sólido formado.

Pode rever integrais definidas neste artigo: Como calcular integrais definidas.

Exercícios resolvidos do volume de revolução em torno do eixo y

EXERCÍCIO 1

Encontrar o volume gerado quando $latex y=\frac{1}{2}x$ é rodado em relação ao eixo y, de $latex y=0$ até $latex y=6$.

Solução

Começamos por recordar a fórmula para o volume de revolução em torno do eixo y:

$$V=\pi \int_{a}^{b} x^2 d y$$

Agora, temos de encontrar uma expressão para $latex x $ em termos de y. Podemos fazer isto, resolvendo para x:

$latex y=\frac{1}{2}x$

$latex x=2y$

Substituir esta equação na fórmula de volume e resolver o integral definido:

$$V=\pi \int_{0}^{6} (2y)^2 d y$$

$$=\pi \int_{0}^{6} 4y^2 d y$$

$$=\pi \left[ \frac{4y^3}{3} \right]_{0}^{6}$$

$$=\pi \left( \frac{864}{3} \right)-(0)$$

$latex V=288\pi $

EXERCÍCIO 2

Qual é o volume gerado quando $latex y=x^2$ é rodado em torno do eixo y, de $latex y=0$ até $latex y=9$?

Solução

A fórmula para o volume de um sólido obtido através da rotação de uma curva em torno do eixo y é:

$$V=\pi \int_{a}^{b} x^2 d y$$

Precisamos de uma expressão para $latex x $ em termos de y. Encontramo-la da seguinte forma:

$latex y=x^2$

$latex x=\sqrt{y}$

Usando a fórmula de volume com a expressão encontrada e resolvendo a integral definida, temos:

$$V=\pi \int_{0}^{9} (\sqrt{y})^2 d y$$

$$=\pi \int_{0}^{9} y d y$$

$$=\pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{9}$$

$$=\pi \left( \frac{81}{2} \right)-(0)$$

$$V=\frac{81\pi}{2} $$

EXERCÍCIO 3

Se tivermos a curva $latex y=x^3$, qual é o volume gerado pela rotação em torno do eixo y, de $latex y=1$ até $latex y=8$?

Solução

Temos a curva $latex y=x^3$. Depois, $latex x^2$ é igual a:

$latex y=x^3$

$latex x^2=y^{\frac{2}{3}}$

Portanto, quando substituímos $latex x^2$ na fórmula de volume e resolvemos a integral definida, temos:

$$V=\pi \int_{a}^{b} x^2 d y$$

$$=\pi \int_{1}^{8} y^{\frac{2}{3}} d y$$

$$=\pi \left[ \frac{3y^{\frac{5}{3}}}{5} \right]_{1}^{8}$$

$$=\pi \left[ \frac{3(8)^{\frac{5}{3}}}{5}-\frac{3(1)^{\frac{5}{3}}}{5} \right]$$

$$V=\frac{93\pi}{5} $$

EXERCÍCIO 4

Encontrar o volume gerado quando a curva $latex y=\sqrt{x}$ é rodada em torno do eixo y, de $latex y=0$ até $latex y=3$.

Solução

Podemos encontrar uma expressão para $latex x$ ao quadrar ambos os lados da equação:

$latex y=\sqrt{x}$

$latex x=y^2$

Quando usamos esta expressão na fórmula de volume e resolvemos a integral definida, temos:

$$V=\pi \int_{a}^{b} x^2 d y$$

$$V=\pi \int_{0}^{3} y^4 d y$$

$$=\pi \left[ \frac{y^5}{5} \right]_{0}^{3}$$

$$=\pi \left( \frac{243}{5}\right)-(0)$$

$$V=\frac{243\pi}{5} $$

EXERCÍCIO 5

Qual é o volume gerado quando $latex y=x^4$ é rodado em torno do eixo y, de $latex y=1$ até $latex y=4$?

Solução

Neste caso, temos a equação $latex y=x^4$. Podemos encontrar uma expressão para $latex x^2$ tomando a raiz quadrada de ambos os lados:

$latex y=x^4$

$latex x^2=\sqrt{y}$

$latex x^2=y^{\frac{1}{2}}$

Usando esta expressão na fórmula de volume, podemos resolver para a integral definida:

$$V=\pi \int_{a}^{b} x^2 d y$$

$$=\pi \int_{1}^{4} y^{\frac{1}{2}} d y$$

$$=\pi \left[ \frac{2y^{\frac{3}{2}}}{3} \right]_{1}^{4}$$

$$=\pi \left( \frac{16}{3} \right)-\left( \frac{2}{3} \right)$$

$$V= \frac{14\pi}{3} $$

EXERCÍCIO 6

Encontrar o volume de revolução de $latex y=x-1$ em relação ao eixo x de $latex y=2$ até $latex y=5$.

Solução

Começamos por encontrar uma expressão para x em termos de y. Então, temos:

$latex y=x-1$

$latex x=y+1$

Agora, usamos essa expressão na fórmula para o volume de revolução e resolvemos a integral definida:

$$V=\pi \int_{a}^{b} x^2 d y$$

$$=\pi \int_{2}^{5} (y+1)^2 d y$$

$$=\pi \int_{2}^{5} (y^2+2y+1) d y$$

$$=\pi \left[ \frac{y^3}{3}+y^2+y \right]_{2}^{5}$$

$$=\pi \left( \frac{125}{3}+25+5 \right)-\left( \frac{8}{3}+4+2 \right)$$

$$=\pi \left( \frac{215}{3} \right)-\left( \frac{26}{3} \right)$$

$$=\pi \left( \frac{249}{3} \right)$$

$latex V=63\pi $