As integrais definidas são caracterizadas por resultar em um valor específico ou definido. Para encontrar a integral definida de uma função, temos que calcular a integral usando os limites de integração. A integral no limite inferior é subtraída da integral no limite superior.
A seguir, vamos resolver 10 exercícios sobre integrais definidas de funções. Em seguida, veremos alguns exercícios práticos para aplicar tudo o que aprendemos sobre esse tipo de integral.
Processo usado para encontrar a integral definida de uma função
Suponha que temos a integral $latex F=\int f(x) dx$. Quando resolvemos essa integral, não obtemos um valor específico, mas obtemos uma função de x.
Se quisermos obter um valor específico para $latex F$, temos que avaliá-la em intervalos específicos. Então temos:
$$ F= (\text{Área até }x=b)-(\text{Área até }x=a)$$
$latex =F(b)-F(a)$
Isso é escrito como
$$F= \int_{a}^{b} f(x)dx$$
$latex F= \int_{a}^{b} f(x)dx$ é uma integral definida, pois nos dá uma resposta definitiva.
- $latex dx$ indica que a função deve ser integrada em relação a x.
- A constante $latex a$ é o limite inferior da integral.
- A constante $latex b$ é o limite superior da integral.
Então, se quisermos resolver a integral $latex \int_{0}^{1} 2xdx$, seguimos estes passos:
Passo 1: Encontre a integral da função e use colchetes para incluir a expressão integrada e expressar os limites de integração. Neste caso, temos:
$latex \int_{0}^{1} 2xdx=[x^2+c]_{0}^{1}$
Passo 2: Avalie a função em seus limites superior e inferior. A função no limite superior é subtraída da função no limite inferior. Então temos:
$latex [x^2+c]_{0}^{1}=[(1)^2+c]-[(0)^2+c]$
Passo 3: Simplifique para um único valor numérico:
$latex =[(1)^2+c]-[(0)^2+c]$
$latex =[1+c]-[0+c]$
$latex =1$
Observamos que as constantes de integração foram canceladas. Por esta razão, é normal excluir constantes de integração quando estamos trabalhando com integrais definidas.
10 Exercícios resolvidos de integrais definidas
EXERCÍCIO 1
Encontre o resultado da integral definida $latex \int_{0}^{2} 4x^3dx$.
Solução
Para resolver essa integral definida, temos que começar integrando a expressão e usar colchetes para indicar os limites de integração:
$$\int_{0}^{2} 4x^3dx=[x^4+c]_{0}^{2}$$
Agora, podemos avaliar os limites. A expressão avaliada no limite inferior é subtraída da expressão avaliada no limite superior:
$$[x^4+c]_{0}^{2}=[(2)^4+c]-[(0)^4+c]$$
Quando simplificamos temos:
$latex =[(2)^4+c]-[(0)^4+c]$
$latex =[16+c]-[0+c]$
$latex =16$
Podemos ver que a constante de integração foi removida, então podemos omiti-la quando estivermos trabalhando com integrais definidas.
EXERCÍCIO 2
Resolva a integral definida $latex \int_{2}^{3} (6x^2-1) dx$.
Solução
Começamos encontrando a integral a ser avaliada. Mantemos os limites de integração usando colchetes e ignoramos a constante de integração:
$$\int_{2}^{3} (6x^2-1)dx=[2x^3-x]_{2}^{3}$$
Agora que temos a integral, podemos calcular nos limites dados da seguinte forma:
$$[2x^3-x]_{2}^{3}=[2(3)^3-(3)]-[2(2)^3-(2)]$$
Por fim, simplificamos da seguinte forma:
$latex =[2(3)^3-(3)]-[2(2)^3-(2)]$
$latex =[54-3]-[16-2]$
$latex =[51]-[14]$
$latex =37$
EXERCÍCIO 3
Encontre o valor da integral $latex \int_{4}^{5} (4x+3)dx$.
Solução
Integrando a expressão dada e mantendo os limites de integração, temos:
$$\int_{4}^{5} (4x+3)dx=[2x^2+3x]_{4}^{5}$$
Avaliando os limites, temos:
$$[2x^2+3x]_{4}^{5}=[2(5)^2+3(5)]-[2(4)^2+3(4)]$$
Finalmente, simplificamos para obter:
$latex =[2(5)^2+3(5)]-[2(4)^2+3(4)]$
$latex =[50+15]-[32+12]$
$latex =[65]-[44]$
$latex =21$
EXERCÍCIO 4
Qual é o valor da integral definida $latex \int_{2}^{3} (4-3x^2)dx$?
Solução
Para encontrar o valor da integral, temos que começar integrando a expressão mantendo os limites de integração:
$$\int_{2}^{3} (4-3x^2)dx=[4x-x^3]_{2}^{3}$$
Agora, vamos avaliar os limites. Subtraímos o limite inferior do limite superior:
$$[4x-x^3]_{2}^{3}=[4(3)-(3)^3]-[4(2)-(2)^3]$$
Podemos simplificar para obter um único valor:
$latex =[4(3)-(3)^3]-[4(2)-(2)^3]$
$latex =[12-27]-[8-8]$
$latex =[-15]-[0]$
$latex =-15$
EXERCÍCIO 5
Encontre o resultado da integral definida $latex \int_{2}^{8} \frac{1}{x^2} dx$.
Solução
Temos que começar encontrando a integral da expressão dada. Neste caso, vamos usar as leis dos expoentes para escrever da seguinte forma:
$$\int_{2}^{8} \frac{1}{x^2} dx=\int_{2}^{8} x^{-2} dx$$
$$=[-x^{-1}]_{2}^{8}$$
Agora que temos a integral, vamos calcular os limites:
$$[-x^{-1}]_{2}^{8}=[-(8)^{-1}]-[-(2)^{-1}]$$
Finalmente, simplificamos para obter um valor definido:
$latex =[-(8)^{-1}]-[-(2)^{-1}]$
$$=-\frac{1}{8}+\frac{1}{2}$$
$$=\frac{3}{8}$$
EXERCÍCIO 6
Encontre o valor da integral $latex \int_{1}^{2} \frac{4}{x^3} dx$.
Solução
Para integrar esta expressão, temos que usar as leis dos expoentes para escrevê-la sem a fração. Então temos:
$$\int_{1}^{2} \frac{4}{x^3} dx=\int_{1}^{2} 4x^{-3} dx$$
$$=[-2x^{-2}]_{1}^{2}$$
Agora, vamos avaliar a expressão dada com os limites de integração dados:
$$[-2x^{-2}]_{1}^{2}=[-2(2)^{-2}]-[-2(1)^{-2}]$$
Quando simplificamos temos:
$latex =[-2(2)^{-2}]-[-2(1)^{-2}]$
$$=-\frac{1}{2}+2$$
$$=\frac{3}{2}$$
EXERCÍCIO 7
Se tivermos a integral definida $latex \int_{4}^{9} \sqrt{x} dx$, qual é o seu valor?
Solução
Neste caso, temos uma raiz quadrada. Então, escrevemos com um expoente numérico usando as leis dos expoentes:
$$\int_{4}^{9} \sqrt{x} dx=\int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} dx$$
$$=\left[\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3}}\right]_{4}^{9}$$
Agora, avaliamos a expressão usando os limites de integração:
$$=\left[\frac{2}{3} (9)^{\frac{3}{2}}\right]-\left[\frac{2}{3} (4)^{\frac{3}{2}}\right]$$
Podemos simplificar considerando que o expoente $latex \frac{3}{2}$ é equivalente a tirar a raiz quadrada e o resultado ao cubo.
$$=\left[\frac{2}{3} (9)^{\frac{3}{2}}\right]-\left[\frac{2}{3} (4)^{\frac{3}{2}}\right]$$
$$=\left[\frac{2}{3} (27)\right]-\left[\frac{2}{3} (8)\right]$$
$$=18-\frac{16}{3}$$
$$=\frac{38}{3}=12~\frac{2}{3}$$
EXERCÍCIO 8
Encontre o resultado da integral definida $latex \int_{1}^{4} \left( 3- \frac{1}{\sqrt{x}}\right) dx$.
Solução
Começamos escrevendo a expressão com um expoente numérico para encontrar sua integral:
$$\int_{1}^{4} \left( 3- \frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx=\int_{1}^{4} ( 3- x^{-\frac{1}{2}})dx$$
$$=\left[ 3x-2 x^{\frac{1}{2}}\right]_{0}^{2}$$
Avaliando a expressão usando os limites de integração, temos:
$$=\left[ 3(4)-2 (4)^{\frac{1}{2}}\right]-\left[ 3(1)-2 (1)^{\frac{1}{2}}\right]$$
Finalmente, podemos simplificar considerando que o expoente $latex \frac{1}{2}$ é equivalente à raiz quadrada:
$$=\left[ 3(4)-2 (4)^{\frac{1}{2}}\right]-\left[ 3(1)-2 (1)^{\frac{1}{2}}\right]$$
$$=[ 12-4]-\left[ 3-2\right]$$
$latex =8-1$
$latex =7$
EXERCÍCIO 9
Qual é o valor da integral $latex \int_{\frac{1}{2}}^{1} 1+\frac{1}{x^2} dx$?
Solução
Reescrevemos os expoentes usando as leis dos expoentes e encontramos a integral da expressão:
$$\int_{\frac{1}{2}}^{1} 1+\frac{1}{x^2} dx=\int_{\frac{1}{2}}^{1} 1+x^{-2} dx$$
$$=\left[x-x^{-1} \right]_{\frac{1}{2}}^{1}$$
Agora, avaliamos a expressão obtida usando os limites de integração:
$$=\left[1-(1)^{-1} \right]-\left[\frac{1}{2}-(\frac{1}{2})^{-1} \right]$$
Simplificando, podemos obter um único valor:
$$=\left[1-1 \right]-\left[\frac{1}{2}-2 \right]$$
$$=-\left[\frac{1}{2}-2 \right]$$
$$=\frac{3}{2}$$
EXERCÍCIO 10
Resolva a integral definida $latex \int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} dx$.
Solução
Vamos encontrar a integral da expressão escrevendo a raiz cúbica como um expoente numérico:
$$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} dx=\int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} dx$$
$$=\left[\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} \right]_{1}^{8}$$
Avaliando os limites de integração, temos:
$$=\left[\frac{3}{4}(8)^{\frac{4}{3}} \right]-\left[\frac{3}{4}(1)^{\frac{4}{3}} \right]$$
Podemos simplificar isso considerando o expoente $latex \frac{4}{3}$ equivalente a tirar a raiz cúbica do número e elevar o resultado à quarta:
$$=\left[\frac{3}{4}(16) \right]-\left[\frac{3}{4}(1) \right]$$
$$=12-\frac{3}{4}$$
$$=\frac{45}{4}=11~\frac{1}{4}$$
Exercícios de integrais definidas para resolver
Encontre o resultado da seguinte integral definida: $$\int_{1}^{4} 4x^3-6x^2+x^{-\frac{1}{2}} dx$$
Escribe la respuesta en la casilla.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
