Integrais indefinidas de funções com expoentes numéricos podem ser resolvidas adicionando 1 ao expoente de cada termo, dividindo depois o termo pelo novo expoente. Finalmente, simplificamos a expressão obtida e adicionamos a constante de integração.
A seguir, veremos alguns exercícios resolvidos de integrais indefinidas. Depois, veremos alguns exercícios práticos para aplicar o que aprendemos.
Processo utilizado para encontrar a integral indefinida de uma função.
A integral indefinida de uma função refere-se ao integral que não é avaliada com qualquer limite sendo expressa em função de x e inclui uma constante de integração.
Para obter a integral indefinida de uma função expressa com expoentes numéricos, podemos utilizar a seguinte fórmula:
$$\int ax^n dx =\frac{ax^{n+1}}{n+1}+c$$
onde, $latex n \neq -1$.
Podemos encontrar a integral indefinida de uma função através da aplicação dos seguintes passos:
1. Escrever raízes quadradas ou expressões racionais usando expoentes numéricos.
Nota: Um exemplo seria escrever $latex \sqrt{x}$ como $latex x^{\frac{1}{2}}$ ou escrever $latex \frac{1}{x^2}$ como $latex x^{-2}$.
2. Adicionamos 1 aos expoentes de cada termo da função.
Nota: Um termo constante pode ser pensado como multiplicado por $latex x^0$, então adicionando 1, temos $latex x^1=x$.
3. Dividimos cada termo pelo novo expoente.
Ou seja, cada termo é dividido por $latex n+1$.
4. Simplificamos a integral resultante e adicionamos o termo constante $latex c$.
Por que é que as integrais indefinidas têm uma constante de integração?
As integrais indefinidas têm uma constante de integração, uma vez que a derivada de um termo constante é igual a zero. Portanto, é possível que não tenhamos em conta um termo constante ao integrar a função.
Por exemplo, suponha que temos a função $latex y=x^2$. Ao diferenciá-la, temos $latex \frac{dy}{dx}=2x$. No entanto, quando diferenciamos $latex y=x^2+1$ e $latex y=x^2+2$, também obtemos $latex \frac{dy}{dx}=2x$.
Ou seja, sem informações adicionais não sabemos se a função original continha um termo constante ou não. Por esta razão, escrevemos $latex y=x^2+c$, onde $latex c$ é a constante de integração.
Para encontrar o valor específico da constante de integração, precisamos de informações adicionais sobre a função integrada. Por exemplo, em muitos casos, conhecer as coordenadas de um ponto através do qual a função integrada passa é suficiente.
10 Exercícios resolvidos sobre integrais indefinidas
EXERCÍCIO 1
Encontrar a integral indefinida da função $latex f(x)=3x^2$.
Solução
Começamos por formar uma integral com a função dada:
$latex \int 3x^2 dx$
Agora, podemos resolver esta integral através da aplicação do seguinte:
- Adicionamos 1 unidade ao expoente de x.
- Dividimos o termo pelo novo expoente (n+1).
- Adicionamos a constante de integração.
Portanto, temos:
$$\int 3x^2 dx=\frac{3x^3}{3}+c$$
$$\int 3x^2 dx=x^3+c$$
EXERCÍCIO 2
Se tivermos a função $latex f(x)=12 x^5$, qual é a sua integral indefinida?
Solução
À semelhança do exercício anterior, começamos por formar a integral com a função dada:
$latex \int 12x^5 dx$
Agora, aplicamos o seguinte:
- Aumentamos o expoente de x em 1.
- Dividimos a expressão pelo novo expoente.
- Adicionamos a constante de integração.
Portanto, temos:
$$\int 12x^5 dx=\frac{12x^6}{6}+c$$
$$\int 12x^5 dx=2x^6+c$$
EXERCÍCIO 3
Encontrar a integral indefinida da função $latex f(x)=\frac{1}{x^3}$.
Solução
Neste caso, temos uma função racional. Então, podemos utilizar as leis dos expoentes para escrever como se segue:
$$f(x)=\frac{1}{x^3}=x^{-3}$$
Agora, podemos formar a integral com esta função:
$latex \int x^{-3} dx$
Quando integramos a função, temos:
$$\int x^{-3} dx=\frac{x^{-2}}{-2}+c$$
$$\int x^{-3} dx=-\frac{1}{2x^2}+c$$
EXERCÍCIO 4
O que é a integral indefinida de $latex f(x)=-\frac{1}{x^5}$?
Solução
Para facilidade de resolução, começamos por escrever a função da seguinte forma:
$$f(x)=-\frac{1}{x^5}=-x^{-5}$$
Formando a integral indefinida, temos:
$latex \int -x^{-5} dx$
Resolvendo a integral, temos:
$$\int -x^{-5} dx=-\frac{x^{-4}}{-4}+c$$
$$\int -x^{-5} dx=\frac{1}{4x^4}+c$$
EXERCÍCIO 5
Encontrar a integral indefinida de $latex f(x)=x^2-5x+3$.
Solução
Formando a integral indefinida com a função dada, temos:
$latex \int x^2-5x+3 dx$
Neste caso, temos 3 termos. No entanto, podemos encontrar a sua integral aplicando o seguinte a cada termo:
- Adicionar 1 ao expoente de x para cada termo.
- Dividir cada termo pelo novo expoente.
Então, quando aplicamos isto e adicionamos a constante de integração, temos:
$$\int x^2-5x+3 dx=\frac{x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}+3x+c$$
EXERCÍCIO 6
Encontrar a integral indefinida de $latex f(x)= 2x^6+\frac{8}{x^5} $.
Solução
Começamos por escrever a função como se segue:
$$f(x)=2x^6+\frac{8}{x^5}$$
$$f(x)=2x^6+8x^{-5}$$
Formando a integral indefinida, temos:
$latex \int 2x^6+8x^{-5} dx$
Resolvendo, temos:
$$\int 2x^6+8x^{-5} dx=\frac{2x^7}{7}+\frac{8x^{-4}}{-4}+c$$
$$\int 2x^6+8x^{-5} dx=\frac{2x^7}{7}-\frac{2}{x^4}+c$$
EXERCÍCIO 7
Encontrar a integral indefinida da função $latex f(x)=3\sqrt{x}-4$.
Solução
Temos uma raiz quadrada, por isso usamos as leis dos expoentes para escrever como se segue:
$$f(x)=3\sqrt{x}-4=3x^{\frac{1}{2}}-4$$
Formando uma integral com a função dada, temos:
$$\int 3x^{\frac{1}{2}}-4 dx$$
Resolvendo isto, temos:
$$\int 3x^{\frac{1}{2}}-4 dx=\frac{(2)3x^{\frac{3}{2}}}{3}-4x+c$$
$$=2x^{\frac{3}{2}}-4x+c$$
$$=2\sqrt{x^3}-4x+c$$
EXERCÍCIO 8
Se tivermos a função $latex f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$, qual é a sua integral indefinida?
Solução
Utilizaremos as leis dos expoentes para escrever a função como se segue:
$$f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$$
$$f(x)=x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}$$
Formando uma integral com esta função, temos:
$$\int x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}} dx$$
Na resolução, temos:
$$\int x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}} dx=\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}+2x^{\frac{1}{2}}+c$$
$$=\frac{2\sqrt{x^3}}{3}+2\sqrt{x}+c$$
EXERCÍCIO 9
Qual é a integral indefinida de $latex f(x)=4\sqrt{x}-\frac{2}{3x^2}$?
Solução
Vamos escrever a função na seguinte forma, utilizando as leis dos expoentes:
$$f(x)=4\sqrt{x}-\frac{2}{3x^2}=4x^{\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}x^{-2}$$
Formando um integral indefinida com a função, temos:
$$\int 4x^{\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}x^{-2} dx$$
Resolvendo isto, temos:
$$\int 4x^{\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}x^{-2} dx=\frac{(2)4x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{2x^{-1}}{3(-1)}+c$$
$$=\frac{8}{3}\sqrt{x^3}+\frac{2}{3x}+c$$
EXERCÍCIO 10
Encontre a integral indefinida de $latex f(x)=2\sqrt[3]{x}- \frac{6}{\sqrt{x}}$.
Solução
Começamos por escrever a função como se segue:
$$f(x)=2\sqrt[3]{x}- \frac{6}{\sqrt{x}}$$
$$f(x)=2x^{\frac{1}{3}}- 6x^{-\frac{1}{2}}$$
Quando formamos a integral, temos:
$$\int 2x^{\frac{1}{3}}- 6x^{-\frac{1}{2}} dx$$
Na resolução, temos:
$$\int 2x^{\frac{1}{3}}- 6x^{-\frac{1}{2}} dx=\frac{(3)2x^{\frac{4}{3}}}{4}-(2)6x^{\frac{1}{2}}+c$$
$$=\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^4}-12\sqrt{x}+c$$
Exercícios de integral indefinida para resolver
Se temos $latex F(x)=\int f(x)dx$, encontre o valor de $latex F(4)$ para: $$f(x)= 2x^3-2x^2+2x^{\frac{1}{2}}$$
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
