Os integrais das funções trigonométricas são outras funções trigonométricas. Por exemplo, a integral da função cosseno é igual à função seno e a integral da função seno é igual à função cosseno negativa.
A seguir, vamos aprender as fórmulas mais importantes para as integrais das funções trigonométricas. Depois, aplicaremos estas fórmulas para resolver alguns exercícios práticos.
Fórmulas para integrais de funções trigonométricas
Integral da função seno
A integral da função seno padrão é:
$$\int \sin(x) dx=-\cos(x)+c$$
A integral da função seno de um ângulo da forma $latex nx$ é:
$$\int \sin(nx) dx=-\frac{1}{n}\cos(nx)+c$$
Podemos integrar composições da função seno, tais como $latex \sin(2x)$ ou $latex \sin^2(x)$ usando a regra da cadeia para integrais.
Integral da função cosseno
A integral da função cosseno padrão é:
$$\int \cos(x) dx=\sin(x)+c$$
A integral da função cosseno de um ângulo da forma $latex nx$ é:
$$\int \cos(nx) dx=\frac{1}{n}\sin(nx)+c$$
Integral da função tangente
A integral da função tangente padrão é:
$$\int \tan(x) dx=\ln| \sec(x)|+c$$
A integral da função tangente multiplicada pela secante é:
$$\int \sec(x) \tan(x) dx=\sec(x)+c$$
Integral da função cossecante
A integral da função cossecante padrão é:
$$\int \cosec(x) dx=\ln\left| \tan\left(\frac{x}{2} \right)\right| +c$$
A integral da função cossecante ao quadrado é:
$$\int \cosec^2(x) dx=-\cot(x) +c$$
Integral da função secante
A integral da função secante padrão é:
$$\int \sec(x) dx=\ln| \tan(x)+\sec(x)| +c$$
A integral da função secante ao quadrado é:
$$\int \sec^2(x) dx=\tan(x) +c$$
Integral da função cotangente
A integral da função cotangente padrão é:
$$\int \cot(x)dx=\ln|\sin(x)|+c$$
A integral da função cotangente multiplicada pelo cossecante é:
$$\int \cosec(x) \cot(x)dx=-\cosec(x)+c$$
Exercícios resolvidos sobre integrais de funções trigonométricas
EXERCÍCIO 1
Resolva o seguinte integral:
$$ \int \sin(4x) dx$$
Solução
Podemos usar a regra da cadeia das integrais para resolver esta integral.
Então, sabemos que a integral de $latex \sin(x)$ é igual a $latex -cos(x)$. Além disso, notamos que a derivada de $latex 4x$ é 4, por isso temos:
$$ \int \sin(4x) dx=-\frac{1}{4}\cos(4x)+c$$
EXERCÍCIO 2
Resolva a seguinte integral:
$$ \int \sin(x) \cos(x)dx$$
Solução
Para resolver esta integral, podemos utilizar a seguinte identidade trigonométrica:
$$\sin(2x) \equiv 2 \sin(x) \cos(x)$$
$$\sin(x)\cos(x) \equiv \frac{1}{2}\sin(2x)$$
Então, temos:
$$ \int \sin(x) \cos(x)dx =\int \frac{1}{2}\sin(2x) dx$$
$$=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2} \cos(2x)\right)+c$$
$$=-\frac{1}{4}\cos(2x)+c$$
EXERCÍCIO 3
Encontre a seguinte integral:
$$ \int x^2 \cos(x^3-2)dx$$
Solução
Podemos resolver esta integral observando que a derivada de $latex x^3-2$ é $latex 3x^2$ e que temos um termo $latex x^2$ fora da função principal.
Então, usamos a regra da cadeia para integrais e temos:
$$ \int x^2 \cos(x^3-2)dx=\frac{1}{3}\sin(x^3-2)+c$$
EXERCÍCIO 4
Encontre a seguinte integral:
$$ \int \cos(x) \sin^2(x)dx$$
Solução
Esta integral é encontrada observando que a derivada de $latex \sin(x)$ é $latex \cos$ e que a função $latex \cos(x)$ está fora da função principal.
Então, temos:
$$ \int \cos(x) \sin^2(x)dx =\frac{(\sin(x))^3}{3}+c$$
$$ =\frac{\sin^3(x)}{3}+c$$
EXERCÍCIO 5
Encontre a seguinte integral:
$$ \int 2\sec(3x) \tan(3x)dx$$
Solução
Para resolver esta integral, usaremos a fórmula $latex \sec(x) \tan(x) dx=\sec(x)+c$.
Além disso, observamos que a derivado de $latex 3x$ é 3:
$$ \int 2\sec(3x) \tan(3x)dx=\frac{2}{3}\sec(3x)+c$$
EJERCICIO 6
Qual é o resultado da seguinte integral?
$$ \int x\sec^2(1-x^2) dx$$
Solução
Vamos usar a integral $$\int \sec^2(x) dx=\tan(x) +c$$ para resolver este exercício.
Portanto, observamos que a derivada de $latex (1-x^2)$ é $latex -2x$ e temos um termo $latex x$ fora da função principal. Então, temos:
$$ \int x\sec^2(1-x^2) dx=\frac{\tan(1-x^2)}{2}+c$$
Integrais de funções trigonométricas – Exercícios para resolver
Encontre a integral $latex \int 12\cosec(4x)\cot(4x) dx$
Escreva a resposta na caixa.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
