Regra da cadeia para integrais com exercícios

A regra da cadeia para integrais é uma regra de integração obtida a partir da regra da cadeia para derivadas. Esta regra é usada para integrar funções da forma f'(x)[f(x)]n.

A seguir, vamos aprender como encontrar integrais de funções usando a regra da cadeia para integrais. Depois, veremos alguns exemplos onde aplicaremos esta regra.

CÁLCULO
Fórmula da Regra da Cadeia das integrais

Relevante para

Aprender sobre a regra da cadeia de integrais.

Ver exercícios

CÁLCULO
Fórmula da Regra da Cadeia das integrais

Relevante para

Aprender sobre a regra da cadeia de integrais.

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Fórmula de regra da cadeia de integrais

A fórmula para a regra da cadeia de integrais é a seguinte:

$$\int f'(x)[f(x)]^ndx=\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}+c$$

Podemos entender esta fórmula considerando a função $latex f(x)=(x^2+1)^4$. Usando a regra da cadeia de derivadas, descobrimos que a sua derivada é:

$latex f'(x)=8x(x^2+1)^3$

Isto significa que podemos escrever da seguinte forma:

$$\int 8x(x^2+1)^3dx=(x^2+1)^4+c$$

Agora, podemos reconhecer que o integrando $latex 8x(x^2+1)^3$ é da forma $latex f'(x)[f(x)]^n$.

Neste exemplo temos $latex f(x)=x^2+1$, $latex f'(x)=2x$ e $latex n=3$.

Para ver outro exemplo, vamos considerar o $latex \int x(3x^2-2)^5dx$. Neste caso, observamos que a derivada de $latex (3x^2-2)$ é $latex 6x$. Além disso, temos o termo $latex x$ fora da função principal $latex (3x^2-2)^5$.

Isto significa que consideramos $latex (3x^2-2)^6$, que quando diferenciado nos dá $latex 36x(3x^2-2)^5$. Então, temos:

$$\int x(3x^2-2)^5=\frac{1}{36}(3x^2-2)^6+c$$


Exercícios resolvidos sobre a regra da cadeia das integrais

EXERCÍCIO 1

Encontre a seguinte integral:

$$\int (x-2)^2dx$$

Solução

EXERCÍCIO 2

Resolva a seguinte integral:

$$\int x(3x^2+6)^4dx$$

Solução

EXERCÍCIO 3

Encontre a seguinte integral:

$$\int 4x^2(x^3-3)^5dx$$

Solução

EXERCÍCIO 4

Qual é o resultado da seguinte integral?

$$\int (x+2)(x^2+4x-1)^3dx $$

Solução

EXERCÍCIO 5

Encontre a seguinte integral:

$$ \int \frac{4x}{(3-x^2)^2}dx$$

Solução

EXERCÍCIO 6

Qual é o resultado da seguinte integral?

$$ \int \frac{x}{\sqrt{x^2+3}}dx$$

Solução

Regra da cadeia de integrais – Exercícios para resolver

Prática da eegra da cadeia de integrais
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Ao resolver a seguinte integral, o resultado pode ser expresso como uma fração. Qual é o numerador? $$\int \frac{25x^4}{(3-x^5)^2}dx$$

Escreva o numerador na caixa.

$latex =$

Veja também

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Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

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