Integração por frações parciais – Exercícios resolvidos

Este caso corresponde a um integrando da forma $latex \frac{P(x)}{Q(x)}$ onde o grau de $latex P(x)$ é maior ou igual ao grau de $latex Q( x)$.

In such a case, the first thing to do is perform the division of polynomials. In this way, the quotient $latex \frac{P(x)}{Q(x)}$ is expressed as:

$$ \dfrac{P(x)}{Q(x)}=q(x)+\dfrac{r(x)}{Q(x)}$$

Onde $latex q(x)$ é o quociente e $latex r(x)$ é o resto. Para a integral do exemplo, obtemos:

$$ (x^2+x+3)\,\div\, (x-2)= (x+3) + \dfrac{9}{x-2}$$

Com isto em mente, a integral a ser resolvida é reescrita da seguinte forma:

$$\int \left(\frac{x^2+x+3}{x-2}\right)dx=\int \left[(x+3) + \frac{9}{x-2}\right]dx$$

Obtendo três integrais imediatas:

$$\int \left(\frac{x^2+x+3}{x-2}\right)dx=\int x\,dx+3\int dx +9\int \frac{dx}{x-2}$$

$$\int \left(\frac{x^2+x+3}{x-2}\right)dx=\frac{x^2}{2}+3x +9\ln|x-2|+C$$

Como o grau do denominador é maior do que o grau do numerador, não é necessário dividir, e passamos diretamente à fatoração do denominador, o qual é muito simples, uma vez que é uma diferença de quadrados perfeitos:

$$x^2-9=(x+3)(x-3)$$

Assim, a integral proposta seria a seguinte:

$$\int \frac{dx}{x^2-9}=\int \frac{dx}{(x+3)(x-3)}$$

Uma vez que o denominador é o produto de dois factores lineares, a integral pode ser expressa desta forma:

$$ \frac{dx}{x^2-9}=\frac{1}{(x+3)(x-3)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-3}$$

Resolvendo a soma das fracções algébricas, temos:

$$ \frac{1}{(x+3)(x-3)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-3}$$

$$=\frac{A(x-3)+B(x+3)}{(x+3)(x-3)}$$

$$=\frac{Ax-3A+Bx+3B}{(x+3)(x-3)}$$

$$=\frac{x(A+B)-3A+3B}{(x+3)(x-3)}$$

Uma vez que o denominador é sempre o mesmo, temos:

$$x(A+B)-3A+3B = 1$$

Equalizando os coeficientes respectivos de cada potência de $latex x$, conduz às seguintes equações:

$latex \phantom{-3}A+\phantom{3}B=0$

$latex -3A+3B=1$

Somando as duas equações termo a termo, deduzimos que:

$latex 2B=1\Rightarrow B=\dfrac{1}{2}$

Como $latex A=-B$, então:

$latex A=-\dfrac{1}{2}$

Portanto:

$$ \frac{1}{(x+3)(x-3)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-3}$$

$$=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+3}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-3}\right)$$

E a integral procurada é transformada em:

$$\int \frac{dx}{x^2-9}=-\frac{1}{2}\int\frac{dx}{x+3}+\frac{1}{2}\int\frac{dx}{x-3}$$

$$=-\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1}{x+3}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1}{x-3}\right| +C$$

Portanto:

$$\int \frac{dx}{x^2-9}=-\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1}{x+3}\right|+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1}{x-3}\right| +C$$

O grau do numerador é inferior ao grau do denominador, portanto, o denominador é fatorado, o que se revela ser o cubo de uma soma:

$$x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3$$

A integral é então escrito com o denominador já fatorado:

$$\int\frac{3x+2}{x^3+3x^2+3x+1}dx=\int\frac{3x+2}{(x+1)^3}dx$$

Note-se que o denominador consiste num único factor linear elevado para o cubo, cuja forma é $latex (px+q)^m$, com $latex m=3$.

Neste caso, a decomposição em fracções simples do integrando assume a seguinte forma:

$$\frac{3x+2}{x^3+3x^2+3x+1}=\frac{3x+2}{(x+1)^3}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{(x+1)^3}$$

E agora seguimos um processo semelhante ao do exemplo anterior, a fim de encontrar os coeficientes $latex A$, $latex B$ e $latex C$:

$$\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{(x+1)^3}=\frac{A(x+1)^2+B(x+1)+C}{(x+1)^3}$$

Depois, o numerador é cuidadosamente desenvolvido:

$$A(x+1)^2+B(x+1)+C =A(x^2+2x+1)+Bx+B+C$$

$$Ax^2+2Ax+A+Bx+B+C=Ax^2+(2A+B)x+B+C=3x+2$$

Ao igualar os coeficientes das potências iguais em ambos os lados da igualdade, as seguintes equações são obtidas:

$latex A=0$

$latex 2A+B=3\Rightarrow B=3$

$latex B+C=2\Rightarrow C=-1$

Com estes valores, o integrando é o seguinte:

$$\frac{3x+2}{x^3+3x^2+3x+1}=\frac{0}{x+1}+\frac{3}{(x+1)^2}-\frac{1}{(x+1)^3}$$

$$\frac{3x+2}{x^3+3x^2+3x+1}=\frac{3}{(x+1)^2}-\frac{1}{(x+1)^3}$$

Agora a integral original é transformada na soma de dois integrais de fácil resolução através de uma simples mudança de variável:

$$\int\frac{3x+2}{x^3+3x^2+3x+1}dx=3\int\frac{dx}{(x+1)^2}-\int\frac{dx}{(x+1)^3}$$

A mudança de variável é $latex u =x+1$, $latex du=dx$:

$$\int\frac{3x+2}{x^3+3x^2+3x+1}dx=3\int\frac{du}{u^2}-\frac{du}{u^3}$$

Aplicando a regra da potência para a integração, obtemos:

$$\int\frac{3x+2}{x^3+3x^2+3x+1}dx=3\int\frac{du}{u^2}-\frac{du}{u^3}$$

$$=3\int u^{-2}du-\int u^{-3}du$$

$$=\frac{3u^{-1}}{(-1)}-\frac{u^{-2}}{(-2)}+C=-\frac{3}{x+1}+\frac{1}{2(x+1)^{2}}+C$$

Finalmente:

$$\int\frac{3x+2}{x^3+3x^2+3x+1}dx=-\frac{3}{x+1}+\frac{1}{2(x+1)^{2}}+C$$

Observa-se que o grau do denominador é maior que o do numerador, pelo que o denominador é fatorado:

$$\int\frac{x^2+2x-1}{x^3+x^2-2x}dx=\int\frac{x^2+2x-1}{x(x^2+x-2)}dx$$

O trinômio $latex x^2+x-2$ pode ser facilmente factorado:

$$x^2+x-2=(x+2)(x-1)$$

Substituída no denominador do integrando:

$$\int\frac{x^2+2x-1}{x^3+x^2-2x}dx=\int\frac{x^2+2x-1}{x(x^2+x-2)}dx$$

$$=\int\frac{x^2+2x-1}{x(x+2)(x-1)}dx$$

Uma vez que existem factores lineares no denominador, a fracção algébrica pode ser expressa da seguinte forma:

$$\frac{x^2+2x-1}{x(x+2)(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x-1}$$

Onde os coeficientes $latex A$, $latex B$ e $latex C$ são números reais a serem determinados por álgebra simples:

$$\frac{x^2+2x-1}{x(x+2)(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x-1}$$

$$=\frac{A(x+2)(x-1)+Bx(x-1)+Cx(x+2)}{x(x+2)(x-1)}$$

$$=\frac{A( x^2+x-2)+B(x^2-x)+C(x^2+2x)}{x(x+2)(x-1)}$$

$$=\frac{ x^2(A+B+C)+x(A-B+2C)-2A}{x(x+2)(x-1)}$$

O que resulta no seguinte:

$$x^2(A+B+C)+x(A-B+2C)-2A =x^2+2x-1$$

Igualando os coeficientes das potências semelhantes, obtemos as seguintes equações:

$latex A+B+C=1$

$latex A-B+2C=2$

$latex-2A=-1$

A partir deste último, é fácil deduzir isso:

$latex A = \dfrac{1}{2}$

E adicionando as duas primeiras equações, $latex B$ cancela e deixa:

$latex 2A+3C=3$

Substituindo $latex A = \dfrac{1}{2}$ aqui, resulta em:

$latex 2\left(\frac{1}{2}\right)+3C=3$

$latex 1+3C=3$

$latex 3C=2$

$latex C = \dfrac{2}{3}$

Conhecendo os valores de $latex A$ e $latex C$, o valor de $latex B$ é removido de qualquer uma das equações em que aparece:

$$A+B+C=1\Longrightarrow B=1-A-C=1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{6}$$

$latex B= -\dfrac{1}{6}$

Uma vez obtidos os coeficientes, estes são substituídos na integral da seguinte forma:

$$\int\frac{x^2+2x-1}{x(x+2)(x-1)}dx=\int\left[\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x-1}\right]dx$$

$$=\int\left[\frac{1}{2x}-\frac{1}{6(x+2)}+\frac{2}{3(x-1)}\right]dx$$

$$=\int\frac{dx}{2x}-\int\frac{dx}{6(x+2)}+\int\frac{2dx}{3(x-1)}$$

$$=\frac{1}{2}\ln|x|-\frac{1}{6}\ln|x+2|+\frac{2}{3}\ln|x-1|+C$$

Portanto:

$$\int\frac{x^2+2x-1}{x^3+x^2-2x}dx=\frac{1}{2}\ln|x|-\frac{1}{6}\ln|x+2|+\frac{2}{3}\ln|x-1|+C$$

Neste caso, o denominador já está fatorizado, e consiste num fator linear e num fator quadrático e irredutível. Quando isto acontece, a decomposição em fracções simples tem este aspecto:

$$\frac{2}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$$

Seguindo um processo semelhante ao dos exemplos anteriores, é efetuada a adição de fracções:

$$\frac{A(x^2+1)+(x-1)(Bx+C)}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{Ax^2+A+Bx^2-Bx+Cx-C}{(x-1)(x^2+1)}$$

$$=\frac{(A+B)x^2+(-B+C)x+A-C}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{2}{(x-1)(x^2+1)}$$

Formando uma equação com os numeradores, temos:

$$(A+B)x^2+(-B+C)x+A-C=2$$

O sistema de três equações com três incógnitas é obtido:

$latex \phantom{-}A+B=0\\-B+C=0\\\phantom{-}A-C=2\\$

E a sua solução é: $latex A=1$, $latex B=-1$, $latex C=-1$.

Assim, a fracção algébrica torna-se:

$$\frac{2}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$$

$$\frac{1}{x-1}+\frac{(-x-1)}{x^2+1}=\frac{1}{x-1}-\frac{(x+1)}{x^2+1}$$

E o resultado da integral é:

$$\int\frac{2}{(x-1)(x^2+1)}dx=\int\frac{dx}{x-1}-\int\frac{xdx}{x^2+1}-\int\frac{dx}{x^2+1}\Rightarrow$$

$$\int\frac{2}{(x-1)(x^2+1)}dx=\ln\left|x-1\right|-\frac{1}{2}\ln(x^2+1)-\arctan x+C$$

No denominador desta integral aparece um polinômio de 3º grau, que pode ser fatorado pelo método de Ruffini.

$$\begin{array}{r|rrrr}  & 1 & 0 & -2 & -4\\ 2 &  & 2 & 4 & 4\\ \hline  & 1 & 2 & 2 & 0\end{array}$$

O polinômio resultante não pode ser tido em conta, pelo que o denominador se assemelha a este:

$$x^3-2x-4 = (x-2)(x^2+2x+2)$$

Depois, a integrand é reescrita como:

$$\int\frac{3x+4}{x^3-2x-4}dx=\int\frac{3x+4}{(x-2)(x^2+2x+2)}dx$$

Uma vez que o denominador consiste num fator linear e num fator quadrático e irredutível, a fracção algébrica pode ser decomposta desta forma:

$$\frac{3x+4}{x^3-2x-4}=\frac{A}{(x-2)}+\frac{Bx+C}{(x^2+2x+2)}$$

$$=\frac{A(x^2+2x+2)+(Bx+C)(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+2)}$$

$$=\frac{Ax^2+2Ax+2A+Bx^2-2Bx+Cx-2C}{(x-2)(x^2+2x+2)}$$

$$=\frac{(A+B)x^2+(2A-2B+C)x+2A-2C}{(x-2)(x^2+2x+2)}$$

Formando uma equação com os numeradores:

$$(A+B)x^2+(2A-2B+C)x+2A-2C=3x+4$$

O sistema de equações é obtido:

$$\phantom{2}A+\phantom{2}B\phantom{+C} = 0\\ 2A-2B+C = 3\\ 2A\phantom{-2B}-C = 4\\$$

Que tem esta solução: $latex A=1$, $latex B=-1$, $latex C=-1$.

A integral proposta é reescrita como se segue:

$$\int\frac{3x+4}{x^3-2x-4}dx=\int\left[\frac{1}{x-2}+\frac{-x-1}{x^2+2x+2}\right]dx$$

$$=\int\frac{dx}{x-2}-\int\frac{(x+1)dx}{x^2+2x+2}$$

A primeira integral é direta:

$$\int\frac{dx}{x-2}=\ln|x-2|+C$$

A segunda é facilmente resolvida através de uma mudança de variável:

$latex u = x^2+2x+2$

$latex du = (2x+2)dx=2(x+1)dx$

$$\int\frac{(x+1)dx}{x^2+2x+2}=\int\frac{du}{2u}+C=\frac{1}{2}\ln|x^2+2x+2|+C$$

Juntando os dois resultados:

$$\int\frac{3x+4}{x^3-2x-4}dx=\ln|x-2|-\frac{1}{2}\ln|x^2+2x+2|+C$$

À primeira vista, não parece que o método das fracções simples seja aplicável, no entanto, a seguinte mudança de variável torna-a possível:

$latex u =e^t$

$latex du=e^t dt$

Assim, a integral é reescrito como:

$$\int\frac{e^t dt}{e^{2t}+3e^t+2}=\int \frac {du}{u^2+3u+2}$$

O denominador é tido em conta como:

$$u^2+3u+2=(u+2)(u+1)$$

E a integral é expressa da seguinte forma:

$$\int\frac{e^t dt}{e^{2t}+3e^t+2}=\int \frac {du}{u^2+3u+2}=\int\frac {du}{(u+2)(u+1)}$$

Imediatamente, o integrando é escrito como:

$$\frac {1}{(u+2)(u+1)}=\frac {A}{u+2}+\frac{B}{u+1}$$

$$=\frac {A(u+1)+B(u+2)}{(u+2)(u+1)}=\frac {Au+A+Bu+2B}{(u+2)(u+1)}$$

$$=\frac {u(A+B)+A+2B}{(u+2)(u+1)}$$

O sistema de equações obtido pela equação dos numeradores é:

$latex A+\phantom{2}B=0\\A+2B=1\\$

E sua solução é: $latex A= -1$, $latex B =1 $.

Portanto:

$$\int\frac {du}{(u+2)(u+1)}=-\int \frac{du}{x+2}+\int \frac{du}{x+1}$$

$$=-\ln|u+2|+\ln|u+1|+C$$

$$=\ln\left| \frac{u+1}{u+2}\right|+C$$

Finalmente, devolvendo a mudança de variável feita no início, temos:

$$\int\frac{e^t dt}{e^{2t}+3e^t+2}=\ln\left( \frac{e^t+1}{e^t+2}\right)+C$$

Tal como no caso anterior, é conveniente alterar a variável:

$latex u = \cos x$

$latex du=-\sin x dx$

Desta forma:

$$\int\frac{\sin x dx}{\cos x(\cos x-1)}=\int\frac{-du}{u(u-1)}=-\int\frac{du}{u(u-1)}$$

O integrando torna-se:

$$\frac{1}{u(u-1)}=\frac{A}{u}+\frac{B}{u-1}=\frac{A(u-1)+Bu}{u(u-1)}$$

$$=\frac{Au-A+Bu}{u(u-1)}=\frac{u(A+B)-A}{u(u-1)}$$

O sistema de equações resultante é:

$latex A+B=0\\\phantom{+}-A=1\\$

Então: $latex A =-1 $, $latex B =1 $.

A integral original torna-se:

$$\int\frac{\sin x dx}{\cos x(\cos x-1)}=-\left[\int\frac{-du}{u}+\int\frac{du}{u-1}\right]$$

$$=\ln|u|-\ln|u-1|+C=\ln\left| \frac{u}{u-1}\right|+C$$

Portanto:

$$\int\frac{\sin x dx}{\cos x(\cos x-1)}=\ln\left| \frac{\cos x}{\cos x-1}\right|+C$$

Como sempre, o primeiro passo é encontrar a fatoração do denominador:

$$x^4+4x^2+3=u^2+4u+3$$

Com $latex u=x^2$, temos:

$$u^2+4u+3=(u+3)(u+1)=(x^2+3)(x^2+1)$$

Portanto:

$$\frac{x^3+x^2+x+3}{x^4+4x^2+3}=\frac{Ax+B}{x^2+3}+\frac{Cx+D}{x^2+1}=$$

$$\frac{(Ax+B)(x^2+1)+(Cx+D)(x^2+3)}{(x^2+1)(x^2+3)}=$$

$$\frac{(Ax^3+Ax+Bx^2+B)+(Cx^3+3Cx+Dx^2+3D)}{(x^2+1)(x^2+3)}=$$

$$\frac{(A+C)x^3+(B+D)x^2+(A+3C)x+B+3D}{(x^2+1)(x^2+3)}$$

São obtidas as seguintes equações:

$latex A + \phantom{3}C = 1\\B +\phantom{3}D= 1\\A+3C=1\\B+3D=3\\$

Subtraindo a terceira equação da primeira, temos:

$latex 2C=0\Rightarrow C=0$

$latex A=1$

E subtraindo a quarta da segunda:

$latex 2D=2\Rightarrow D =1$

$latex B=0$

Então:

$$\frac{x^3+x^2+x+3}{x^4+4x^2+3}=\frac{x}{x^2+3}+\frac{1}{x^2+1}$$

E a integral torna-se:

$$\int\frac{x^3+x^2+x+3}{x^4+4x^2+3}dx=\int\frac{x}{x^2+3}dx+\int\frac{1}{x^2+1}dx$$

Uma vez que o grau do numerador é maior do que o grau do denominador, é necessário primeiro efetuar a divisão dos polinômios e depois aplicar o algoritmo de divisão:

$$ (x^4-6x^3+12x^2+6)\,\div\, (x^3-6x^2+12x-8)=$$

$$= x + \dfrac{8x+6}{x^3-6x^2+12x-8}$$

O denominador da fracção algébrica é o cubo de uma diferença; por isso, é fatorado desta forma:

$$x^3-6x^2+12x-8=(x-2)^3$$

Tudo o que foi mencionado acima leva a:

$$\int\frac{x^4-6x^3+12x^2+6}{x^3-6x^2+12x-8}dx=\int xdx+\int \frac{8x+6}{x^3-6x^2+12x-8}dx=$$

$$=\int xdx+\int\frac{8x+6}{(x-2)^3}dx$$

O integrando da segunda integral é decomposta em fracções simples como se segue:

$$\frac{8x+6}{(x-2)^3}=\frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x-2)^2}+\frac{C}{(x-2)^3}$$

Resolvendo a soma das fracções do lado direito e formando uma equação com os numeradores, temos:

$latex A((x-2)^2+B(x-2)+C=8x+6$

$latex A(x^2-4x+4)+Bx-2B+C=8x+6$

$latex Ax^2-4Ax+4A+Bx-2B+C=8x+6$

O sistema de equações resultante é:

$$\phantom{-4}A\phantom{+B}\phantom{+C;} = 0 \\ -4A+B\phantom{+C;} = 8 \\\phantom{-}4A-2B+C = 6\\$$

Portanto: $latex B = 8$

E temos $latex -16+C=6\Rightarrow C =22$

Depois:

$$\frac{8x+6}{(x-2)^3}=\frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x-2)^2}+\frac{C}{(x-2)^3}$$

$$=\frac{0}{(x-2)}+\frac{8}{(x-2)^2}+\frac{22}{(x-2)^3}$$

O que leva a:

$$\int\frac{x^4-6x^3+12x^2+6}{x^3-6x^2+12x-8}dx=\int xdx+\int\frac{8x+6}{(x-2)^3}dx$$

$$=\int xdx+\int\frac{8}{(x-2)^2}dx+\int\frac{22}{(x-2)^3}dx$$

$$=\int xdx+8\int(x-2)^{-2}dx+22\int (x-2)^{-3}dx$$

$$=\frac{x^2}{2}-\frac{8}{x-2}-\frac{11}{(x-2)^2}+C$$

E a resposta é:

$$\int\frac{x^4-6x^3+12x^2+6}{x^3-6x^2+12x-8}dx=\frac{x^2}{2}-\frac{8}{x-2}-\frac{11}{(x-2)^2}+C$$