Integração por partes – Exercícios resolvidos

Para resolver esta integral, na qual aparece o produto de duas funções, é utilizada a regra da integração por partes:

$$\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int g(x)f'(x)dx$$

Se especificarmos o seguinte:

• $latex f(x)=u$
• $latex g'(x)dx=dv\Rightarrow v=g(x)$

A expressão no início é reescrita como se segue:

$$\int udv=uv -\int vdu$$

Agora, resta apenas selecionar qual das funções é $latex v$ e qual é $latex u$. Por exemplo, se escolher:

• $latex u =x$
• $latex du =dx$
• $latex dv =\cos x dx$
• $latex v =\int \cos x dx = \sin x$

Então:

$$\int x\cos x dx= x\sin x-\int \sin xdx =x\sin x+\cos x + C $$

$$\int x\cos x dx=x\sin x+\cos x + C $$

Em geral, é aconselhável tomar $latex dv$ como a parte da integral mais facilmente integrada, e $latex u$ como a que é mais fácil de derivar. A prática facilita a decisão, tendo como objectivo que $latex vdu$ seja fácil de calcular.

Selecionando:

• $latex u =x$
• $latex du =dx$
• $latex dv =e^x dx$
• $latex v =\int e^x dx = e^x$

Com a fórmula:

$$\int udv=uv -\int vdu$$

Temos:

$$\int xe^x dx=xe^x-\int e^xdx$$

$$=xe^x-e^x+C$$

Este resultado pode ser tido em conta e obtemos:

$$\int xe^x dx=e^x(x-1)+C$$

Neste caso, especificamos:

• $latex u =x$
• $latex du =dx$
• $latex dv = \sqrt{x-1}\:dx$
• $latex v =\int \sqrt{x-1}\:dx =\dfrac{2}{3} (x-1)^\frac{3}{2}$

Usando a fórmula:

$$\int udv=uv -\int vdu$$

Temos:

$$\int x \sqrt{x-1}dx=x\cdot\dfrac{2}{3} (x-1)^\frac{3}{2}-\int \dfrac{2}{3} (x-1)^\frac{3}{2}dx$$

A integral obtida no último passo está agora resolvida:

$$\int \dfrac{2}{3} (x-1)^\frac{3}{2}dx=\dfrac{2}{3}\int (x-1)^\frac{3}{2}dx$$

Por meio de uma simples mudança de variável:

• $latex dw=dx$
• $latex w=x-1$

Temos:

$$\int (x-1)^\frac{3}{2}dx=\int w^\frac{3}{2}dw=\left[\dfrac{w^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}\right]$$

$$=\dfrac{2}{5}w^{\frac{5}{2}}+C=\dfrac{2}{5}(x-1)^{\frac{5}{2}}+C$$

Finalmente, este resultado é aqui substituído:

$$\int x \sqrt{x-1}dx=x\cdot\dfrac{2}{3} (x-1)^\frac{3}{2}-\dfrac{2}{3}\int (x-1)^\frac{2}{3}dx$$

$$=\dfrac{2x}{3} (x-1)^\frac{3}{2}-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{5}(x-1)^{\frac{5}{2}}+C$$

$$=\dfrac{2x}{3} (x-1)^\frac{3}{2}-\dfrac{4}{15}(x-1)^{\frac{5}{2}}+C$$

$$=2 (x-1)^\frac{3}{2}\left[\dfrac{x}{3} -\dfrac{2}{15}(x-1)\right]+C$$

$$=2 (x-1)^\frac{3}{2}\left[\dfrac{x}{3} -\dfrac{2x}{15}+\dfrac{1}{15}\right]+C$$

$$=2 (x-1)^\frac{3}{2}\left[\dfrac{3x}{15} +\dfrac{2}{15}\right]+C$$

$$=\frac{2}{15}(x-1)^\frac{3}{2}\left(3x +2\right)+C$$

Então, a integral procurada é:

$$\int x \sqrt{x-1}dx=\frac{2}{15}(x-1)^\frac{3}{2}\left(3x +2\right)+C$$

Fica como exercício para o leitor verificar que derivando este resultado usando a regra do produto para derivadas, e fazendo um pouco de álgebra, obtemos $latex x \sqrt{x-1}$$.

• $latex u=e^{x}$
• $latex du=e^{x}dx$
• $latex dv=\sin x dx$
• $latex v=-\cos x$

Seguindo a fórmula de integração por partes $latex \int udv=uv -\int vdu$, segue:

$$\int e^{x}\sin x dx=-e^{x}\cos x-\int -e^{x}\cos x\, dx$$

$$=-e^{x}\cos x+\int e^{x}\cos x\, dx$$

Para esta nova integral, a técnica de integração por partes é aplicada novamente, com esta escolha para $latex u$ e $latex dv$:

• $latex u=e^{x}$
• $latex du=e^{x}dx$
• $latex dv=\cos x dx$
• $latex v=\sin x$

Portanto:

$$\int e^{x}\cos x\, dx=e^{x}\sin x-\int e^{x}\sin x\,dx$$

Este resultado é substituído na integral anteriormente mencionada:

$$\int e^{x}\sin x dx=-e^{x}\cos x+\int e^{x}\cos x\, dx$$

$$\int e^{x}\sin x dx+\int e^{x}\sin x\,dx=-e^{x}\cos x+e^{x}\sin x$$

$$2\int e^{x}\sin x dx=e^{x}(\sin x-\cos x+)+C$$

$$\int e^{x}\sin x dx=\frac{e^{x}(\sin x-\cos x+)}{2}+C$$

• $latex u=x$
• $latex du=dx$
• $latex dv=sec ^2xdx$
• $latex v=\tan x$

Usando $latex \int udv=uv -\int vdu$, temos:

$$\int x\sec ^2xdx=x\tan x-\int\tan xdx$$

$$=x\tan x-\ln(\cos x)+C$$

• $latex u=ln\,x$
• $latex du=\dfrac{dx}{x}$
• $latex dv=dx$
• $latex v=x$

Usando $latex \int udv=uv -\int vdu$, temos:

$$\int lnx\,dx=xln\,x-\int x\left(\dfrac{dx}{x}\right)$$

$$=xln\,x-\int dx$$

$$\int lnx\,dx=xln\,x-x=x(ln\,x-1)$$

O primeiro passo consiste em determinar os valores de $latex u$ e $latex v$:

• $latex u=lnx$
• $latex du=\dfrac{dx}{x}$
• $latex dv=\int x^2\;dx$
• $latex v=\dfrac{x^3}{3}$

Agora, aplicamos a fórmula: $latex \int udv=uv -\int vdu$

E temos:

$$\int x^2 lnx\;dx=lnx\left(\frac{x^3}{3}\right)-\int \left(\frac{x^3}{3}\right)\left(\frac{dx}{x}\right)$$

$$=\frac{x^3lnx}{3}-\frac{1}{3}\int x^2dx=\frac{x^3lnx}{3}-\frac{x^3}{9}+C$$

$$=\frac{x^3}{3}\left(lnx-\frac{1}{3}\right)+C=\frac{x^3}{9}\left(3lnx-1\right)+C$$

Portanto:

$$\int x^2 lnx\;dx=\frac{x^3}{9}\left(3lnx-1\right)+C$$

A seguinte identidade trigonométrica é substituída na integral:

$latex \sin 2x=2\sin x\cos x$

E temos:

$$\int x\sin\, x\cos x \,dx=\dfrac{1}{2}\int x\sin 2x\,dx$$

Especificamos o seguinte:

• $latex u =x$
• $latex du =dv$
• $latex dv=\sin 2x\,dx$
• $latex v=-\dfrac{cos\,2x}{2}$

Conforme a fórmula de integração por partes: $latex \int udv=uv -\int vdu$, temos:

$$\int x\sin\, x\cos x \,dx=\dfrac{1}{2}\int x\sin 2x\,dx$$

$$=-\dfrac{xcos\,2x}{4}-\int-\dfrac{cos\,2x}{4}dx$$

$$=-\dfrac{xcos\,2x}{4}+\dfrac{1}{4}\int\cos\,2x\,dx$$

A integral obtida no passo anterior é imediata:

$$\int\cos\,2x\,dx=\dfrac{1}{2}\sin\,2x+C$$

E substituindo, obtemos:

$$\int x\sin\, x\cos x \,dx=-\dfrac{xcos\,2x}{4}+\dfrac{1}{8}\sin\,2x+C$$

• $latex u=x$
• $latex du=dx$
• $latex dv=\int (2x+5)^{10}dx$
• $latex v=\dfrac{1}{22}(2x+5)^{11}$

Seguindo a fórmula de integração por partes $latex \int udv=uv -\int vdu$, resulta:

$$\int x (2x+5)^{10} dx=\dfrac{x}{22}(2x+5)^{11}-\int\dfrac{1}{22}(2x+5)^{11}dx$$

A nova integral é resolvida com uma simples mudança de variável, especificando:

• $latex t = 2x+5$
• $latex dt = 2dx$

Então:

$$\int\dfrac{1}{22}(2x+5)^{11}dx=\dfrac{1}{44}\int t^{11}dt$$

$$=\frac{t^{12}}{528}+C$$

Substituindo de volta, obtemos:

$$\int x (2x+5)^{10} dx=\dfrac{x}{22}(2x+5)^{11}-\frac{(2x+5)^{12}}{528}+C$$

O resultado pode ser fatorado:

$$\int x (2x+5)^{10} dx=\dfrac{x}{22}(2x+5)^{11}\left(1-\frac{2x+5}{24}\right)+C$$

$$\int x (2x+5)^{10} dx=\dfrac{x}{528}(2x+5)^{11}\left({19-2x}\right)+C$$

Para resolver esta integral, são aplicados dois métodos de integração. Primeiro, $latex v$ é determinado por substituição, e depois é aplicada a fórmula de integração por partes:

• $latex u=x^2$
• $latex du=2xdx$
• $latex dv=x\sqrt{4-x^2}dx$
• $latex v=\int x\sqrt{4-x^2}dx=\int x({4-x^2})^\frac{1}{2}dx$
• $latex v=-\dfrac{1}{2}\int t^\frac{1}{2}dt=-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{ t^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}\right]=-\dfrac{1}{3}(4-x^2)^\frac{3}{2}$

A integração por partes é agora aplicada:

$$ \int udv=uv -\int vdu=-\dfrac{x^2}{3}(4-x^2)^\frac{3}{2}-\int-\dfrac{2x}{3}(4-x^2)^\frac{3}{2}dx$$

$$ =-\dfrac{x^2}{3}(4-x^2)^\frac{3}{2}+\dfrac{2}{3}\int x(4-x^2)^\frac{3}{2}dx$$

A nova integral é resolvida pela mesma substituição utilizada anteriormente:

$$ \int x(4-x^2)^\frac{3}{2}dx=-\dfrac{1}{2}\int t^\frac{3}{2}dt=-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{ t^\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}}\right]$$

$$=-\dfrac{1}{5}(4-x^2)^\frac{5}{2}$$

Este resultado é substituído imediatamente:

$$ \dfrac{2}{3}\int x(4-x^2)^\frac{3}{2}dx=\dfrac{2}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{5}\right)(4-x^2)^\frac{5}{2}+C$$

$$ =-\dfrac{2}{15}(4-x^2)^\frac{5}{2}+C$$

Com isto, a integral pode ser resolvida:

$$\int x^3\sqrt{4-x^2}dx=-\dfrac{x^2}{3}(4-x^2)^\frac{3}{2}-\dfrac{2}{15}(4-x^2)^\frac{5}{2}+C$$