Integração por substituição – Exercícios resolvidos

O sucesso de uma mudança de variável consiste em transformar a integral numa integral mais simples, como uma potência, ou a integral de alguma função elementar. Neste exemplo, é feita a seguinte substituição:

$latex u =1+2x$

$latex du =2dx$

Por conseguinte:

$latex dx =\dfrac {du}{2}$

A ideia é fazer com que a nova variável e a sua derivada apareça na integral original. Substituindo os resultados anteriores, e tendo em conta que os coeficientes numéricos deixam de fora do integral por serem constantes, obtemos:

$$ \int 3(1+2x)^4dx=3 \int u^4\cdot\left(\dfrac {du}{2}\right)=\frac{3}{2} \int u^4du$$

A regra da potência para a integração é então aplicada:

$$\int kx^ndx=k\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right)+C$$

Onde $latex n \neq -1$

Além disso, $latex k $ é o coeficiente e $latex C $ é a constante de integração.

Neste exemplo, $latex n = 4$, portanto:

$$ \int 3(1+2x)^4dx=\frac{3}{2} \int u^4du=\frac{3}{2}\left(\dfrac{u^{4+1}}{4+1}\right)+C$$

$$ \frac{3}{2} \int u^4du=\frac{3}{2}\left(\dfrac{u^5}{5}\right)+C$$

$$ \frac{3}{2} \int u^4du=\frac{3u^5}{10}+C$$

Finalmente, substituir $latex u =1+2x$ no resultado:

$$ \int 3(1+2x)^4dx=\frac{3(1+2x)^5}{10}+C$$

Neste tipo de integral, dá bons resultados tomar a quantidade radical como a variável $latex u$, uma vez que ao derivar, aparece uma expressão semelhante ao numerador da fracção:

$latex u =1+x^2$

$latex du =2xdx$

Em substituição da alteração proposta, obtemos:

$$ \int \frac {4x}{\sqrt{1+x^2}}dx=\int \frac {2du}{\sqrt{u}}$$

Agora o integrando é escrito como uma potência:

$$\int \frac {2du}{\sqrt{u}}=2\int \left(u^{-\frac{1}{2}}\right)du$$

Aplicando a regra da potência com $latex n=-\dfrac{1}{2}$:

$$2\int \left(u^{-\frac{1}{2}}\right)du=2\Big[\dfrac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}\Big]+C=2\Big[\dfrac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\Big]+C$$

$$2\int \left(u^{-\frac{1}{2}}\right)du=4u^{\frac{1}{2}}+C$$

Finalmente, substituímos de volta:

$$ \int \frac {4x}{\sqrt{1+x^2}}dx=4(1+x^2)^{\frac{1}{2}}+C$$

$$ \int \frac {4x}{\sqrt{1+x^2}}dx=4\sqrt{1+x^2}+C$$

A seguinte substituição pode ser aplicada:

$latex u = 2x+1$

$latex du =2dx$

Isto resulta em:

$latex x =\dfrac{ u-1}{2}$

$latex dx =\dfrac{ du}{2}$

Agora toda a integral é transformada para a variável $latex u$:

$$ \int \left[\dfrac{ (u-1)\sqrt{u}}{2}\right]\dfrac{ du}{2}=\frac{1}{4}\int(u-1)\sqrt{u}du$$

$$=\frac{1}{4}\int(u-1)u^\frac{1}{2}du$$

Depois, a propriedade distributiva é aplicada a integrando:

$$ \frac{1}{4}\int(u-1)u^\frac{1}{2}du=\frac{1}{4}\int \left(u^\frac{3}{2}-u^\frac{1}{2}\right) du$$

Isso leva a dois integrais simples resolvidas com a regra da potência:

$$ \frac{1}{4}\int \left(u^\frac{3}{2}-u^\frac{1}{2}\right) du=\frac{1}{4}\int u^\frac{3}{2}du-\frac{1}{4}\int u^\frac{1}{2}du$$

$$\frac{1}{4}\int u^\frac{3}{2}du-\frac{1}{4}\int u^\frac{1}{2}du=\frac{1}{4}\left[\dfrac{u^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}\right]-\frac{1}{4}\left[\dfrac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]+C$$

$$=\frac{1}{4}\left[\dfrac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}\right]-\frac{1}{4}\left[\dfrac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]+C$$

$$=\frac{1}{10}u^{\frac{5}{2}}-\frac{1}{6}u^{\frac{3}{2}}+C$$

O resultado é agora devolvido à variável original:

$$ \int x\sqrt{2x+1}dx=\frac{1}{10}(2x+1)^{\frac{5}{2}}-\frac{1}{6}(2x+1)^{\frac{3}{2}}+C$$

Opcionalmente, a expressão acima pode ser tida em conta:

$$ \int x\sqrt{2x+1}dx=(2x+1)^{\frac{3}{2}}\left[\left(\frac{2x+1}{10}\right)-\frac{1}{6}\right]+C$$

$$ \int x\sqrt{2x+1}dx=\sqrt{(2x+1)^3}\left(\frac{x}{5}-\frac{1}{15}\right)+C$$

$$ \int x\sqrt{2x+1}dx=\sqrt{(2x+1)^3}\left(\frac{3x-1}{15}\right)+C$$

A seguinte mudança de variável é apropriada uma vez que tanto o logaritmo natural como a sua derivada aparecem no integrando:

$latex u =5\ln x+1$

$latex du =\dfrac {5dx}{x}$

Note-se que:

$latex \dfrac {du}{5}=\dfrac {dx}{x}$

Isto é substituído na integral original, levando a:

$$ \int \frac{(5\ln x+1)^2}{x}dx=\int u^2 \left(\frac {du}{5}\right)$$

$$=\frac{1}{5}\int u^2 du$$

Aplicando a regra da potência

$$ \frac{1}{5}\int u^2 du=\frac{1}{5}\left[\dfrac{u^{2+1}}{2+1}\right]+C=\dfrac{u^3}{15}+C$$

Finalmente, substituímos de volta:

$$ \int \frac{(5\ln x+1)^2}{x}dx=\dfrac{(5\ln x+1)^3}{15}+C$$

Se o argumento do cosseno for tomado como variável $latex u$, sua derivada está presente, vejamos:

$latex u = x^4+2$

$latex du =4x^3dx$

$latex \dfrac{du}{4}=x^3dx$

Fazer as substituições correspondentes na integral original:

$$ \int x^3\cos(x^4+2)dx=\frac{1}{4}\int \cos u du$$

Esta é uma integral imediata que aparece em tabelas:

$latex \int \cos u du= \sin u + C$

Portanto:

$$\frac{1}{4}\int \cos u du=\frac{1}{4}\sin u + C$$

Retornar a mudança de variáveis:

$$ \int x^3\cos(x^4+2)dx=\frac{1}{4}\sin (x^4+2)+ C$$

A mudança variável apropriada é:

$latex u =3x-5$

$latex du =3dx$

Substituindo:

$$ \int e^{3x-5}dx=\int e^u\left(\frac{du}{3}\right)$$

$$=\frac{1}{3}\int e^udu$$

Esta integral é imediata:

$$ \frac{1}{3}\int e^udu=\frac{1}{3}e^u+C$$

Portanto:

$$ \int e^{3x-5}dx=\frac{1}{3}e^{3x-5}+C$$

Se tomarmos $latex u$ como o polinômio no denominador, vemos imediatamente que a sua derivada aparece no numerador, levando a uma simples integral.

Então, temos:

$latex 2x^2+3x-1$

$latex du = (4x+3)dx$

Portanto:

$$ \int \frac{(4x+3)dx}{2x^2+3x-1}=\int\frac{du}{u}$$

$$=ln\left | 2x^2+3x-1 \right | +C$$

Primeiro, a integral proposto é reescrita como se segue:

$$\int \frac {dx}{x^2+9}=\int \frac {dx}{9\left(\dfrac{x^2}{9}+1\right)}$$

Onde 9 é retirado como o fator comum, e agora é fácil de ver isso:

$$\int \frac {dx}{9\left(\dfrac{x^2}{9}+1\right)}=\frac{1}{9}\int \frac {dx}{\left[\left(\dfrac{x}{3}\right)^2+1\right]}$$

$$=\frac{1}{9}\int \dfrac {dx}{\left[1+\left(\dfrac{x}{3}\right)^2\right]}$$

A mudança de variável é a seguinte:

$latex u =\dfrac{x}{3}$

$latex du =\dfrac{dx}{3}$

$latex dx =3du$

Assim, a integral torna-se:

$$\frac{1}{9}\int \dfrac {dx}{\left[1+\left(\dfrac{x}{3}\right)^2\right]}=\frac{3}{9}\int \dfrac {du}{1+u^2}$$

$$=\frac{1}{3}\int \dfrac {du}{1+u^2}$$

Esta integral aparece em tabelas:

$$\int \dfrac {dx}{1+x^2}=\arctan x + C$$

Portanto:

$$\int \frac {dx}{x^2+9}=\frac{1}{3}\int \dfrac {du}{1+u^2}$$

$$=\left(\frac{1}{3}\right)\arctan u + C$$

E quando substituímos de volta, obtemos:

$$\int \frac {dx}{x^2+9}=\left(\frac{1}{3}\right)\arctan u + C$$

$$=\left(\frac{1}{3}\right)\arctan\left( \dfrac{x}{3} \right)+ C$$

Em geral, integrais da forma $latex \int \frac {dx}{a^2+x^2}$, são resolvidas da seguinte forma:

$$\int \frac {dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan\left( \dfrac{x}{a} \right)+ C$$

Inspirado no exemplo anterior, a integral é reescrita como:

$$\int \frac {dx}{4-x^2}=\int \frac {dx}{4\left(1-\dfrac{x^2}{4}\right)}=\frac{1}{4}\int \frac {dx}{\left[1-\left(\dfrac{x}{2}\right)^2\right]}$$

Desta vez, a mudança de variável seria:

$latex u =\dfrac{x}{2}$

$latex du =\dfrac{dx}{2}$

$latex dx =2du$

E a integral torna-se:

$$\int \frac {dx}{4-x^2}=\frac{2}{4}\int \frac {du}{1-u^2}=\frac{1}{2}\int \frac {du}{1-u^2}$$

Esta integral também aparece em tabelas como:

$$\int \dfrac {dx}{1-x^2}=\frac{1}{2}\ln\left |\dfrac{1+x}{1-x}\right | + C$$

$$\int \frac {dx}{4-x^2}=\frac{1}{2}\int \frac {du}{1-u^2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\ln\left |\dfrac{1+u}{1-u}\right | + C$$

Finalmente, regressa-se à variável original:

$$\int \frac {dx}{4-x^2}=\frac{1}{4}\ln\left |\dfrac{1+\frac{x}{2}}{1-\frac{x}{2}}\right | + C=\frac{1}{4}\ln\left |\dfrac{2+x}{2-x}\right | + C$$

Em geral, integrais da forma $latex \int \frac {dx}{a^2-x^2}$, são resolvidas da seguinte forma:

$$\int \frac {dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\ln\left |\dfrac{a+x}{a-x}\right | + C$$

Em alternativa, por propriedades de logaritmos:

$$\int \frac {dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln\left |\dfrac{x-2}{x+a}\right | + C$$

À primeira vista, esta integral não se parece muito com as anteriores, devido ao termo $latex 6x$, no entanto, ao completar o quadrado no denominador, uma integral como as dos exemplos 8 ou 9 pode ser obtida:

$$\int \frac {dx}{x^2+6x+5}=\int \frac {dx}{(x^2+2\cdot 3x+9)-9+5}$$

Note-se que com esta manipulação algébrica, o denominador não é alterado, mas pode ser reescrito de uma forma completamente equivalente, como se segue:

$$\int \frac {dx}{x^2+6x+5}=\int \frac {dx}{(x+3)^2-4}$$

Então, considere:

$latex u=x+3$

$latex du=dx$

$latex a=2$

A integral proposta resulta como a última variante do exemplo anterior. Então, temos:

$$\int \frac {dx}{x^2+6x+5}=\int \frac {dx}{(x+3)^2-4}$$

$$=\int \frac {du}{u^2-4}=\frac{1}{2}\ln\left |\dfrac{u-2}{u+2}\right | + C$$

E é muito simples substituir de volta e obter:

$$\int \frac {dx}{x^2+6x+5}=\frac{1}{2}\ln\left |\dfrac{(x+3)-2}{(x+3)+2}\right | + C$$

$$\int \frac {dx}{x^2+6x+5}=\frac{1}{2}\ln\left |\dfrac{x+1}{x+5}\right | + C$$