Área sob uma curva – Exercícios resolvidos

Para resolver este exercício, temos que começar formando uma integral definida com as informações fornecidas. Então temos:

$$A=\int_{1}^{3} x^2 dx$$

Agora, encontramos a integral da expressão e mantemos os limites de integração usando colchetes:

$$A=\left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3}$$

Quando avaliamos os limites de integração, temos:

$$A=\left[ \frac{(3)^3}{3} \right]-\left[ \frac{(1)^3}{3} \right]$$

Por fim, podemos simplificar:

$$A=\left[ \frac{27}{3} \right]-\left[ \frac{1}{3} \right]$$

$$A=[9]-\left[ \frac{1}{3} \right]$$

$$A= \frac{26}{3}$$

Com as informações dadas, podemos formar a seguinte integral definida:

$$A=\int_{0}^{3} \frac{1}{3} x^2+2 dx$$

Agora, integramos à expressão dada e mantemos os limites de integração:

$$A=\left[ \frac{1}{9} x^3+2x \right]_{0}^{3}$$

Quando avaliamos os limites de integração na expressão integrada, temos:

$$A=\left[\frac{1}{9}(3)^3+2(3) \right]-\left[\frac{1}{9}(0)^3+2(0) \right]$$

Simplificando, temos:

$$A=[3+6]-[0]$$

$$A=9$$

Começamos formando uma integral definida com as informações fornecidas:

$$A=\int_{-2}^{0} x^3-4x dx$$

Agora, integramos a expressão e mantemos os limites de integração:

$$A=\left[ \frac{x^4}{4} -2x^2 \right]_{-2}^{0}$$

Quando avaliamos os limites de integração, temos:

$$A=\left[ \frac{(0)^4}{4} -2(0)^2 \right]-\left[ \frac{(-2)^4}{4} -2(-2)^2 \right]$$

Simplificamos para obter um único valor para a área:

$$A=[ 0 -0]-\left[ \frac{16}{4} -2(4) \right]$$

$latex A=-[ 4-8]$

$latex A= 4$

Formando uma integral com a informação dada, temos:

$$A=\int_{-1}^{2} x^2+x+2 dx$$

Agora, podemos integrar a expressão mantendo os limites de integração:

$$A=\left[ \frac{x^3}{3} +\frac{x^2}{2}+2x \right]_{-1}^{2}$$

Avaliando isso, temos:

$$A=\left[ \frac{(2)^3}{3} +\frac{(2)^2}{2}+2(2) \right]-\left[ \frac{(-1)^3}{3} +\frac{(-1)^2}{2}+2(-1) \right]$$

Quando simplificamos, temos:

$$A=\left[ \frac{8}{3} +2+4 \right]-\left[ -\frac{1}{3} +\frac{1}{2}-2 \right]$$

$$A=\left[ \frac{26}{3}\right]-\left[ -\frac{11}{6} \right]$$

$latex A=\frac{63}{6}$

$latex A= 10~\frac{1}{2}$

Neste caso, a região que queremos está abaixo do eixo x. No entanto, podemos seguir o mesmo processo e encontrar uma integral definida com as informações fornecidas:

$$A=\int_{-2}^{0} x^2 +4x dx$$

Determinando a integral da expressão e mantendo os limites de integração, temos:

$$A=\left[ \frac{x^3}{3} +2x^2 \right]_{-2}^{0}$$

Avaliando os limites de integração, temos:

$$A=\left[ \frac{(0)^3}{3} +2(0)^2 \right]-\left[ \frac{(-2)^3}{3} +2(-2)^2 \right]$$

Quando simplificamos, obtemos o seguinte:

$$A=[ 0 +0]-\left[ \frac{-8}{3} +8 \right]$$

$$A=-\left[ \frac{16}{3} \right]$$

Vemos que obtivemos um valor negativo. A razão para isso é que a área que queremos está sob o eixo x. Então, ignoramos o sinal de menos e a área é igual a $latex A= \frac{16}{3} $.

Neste exercício, podemos entender por que é útil desenhar um gráfico simples quando queremos encontrar a área sob uma curva.

Este exercício é semelhante ao anterior. Portanto, devemos usar o mesmo processo e ignorar o sinal negativo resultante.

Formando a integral definida, temos:

$$A=\int_{-1}^{2} 3x^2-3x-6 dx$$

Determinando a integral da expressão e mantendo os limites de integração, temos:

$$A=\left[ x^3 -\frac{3x^2}{2}-6x \right]_{-1}^{2}$$

Quando avaliamos os limites de integração, temos:

$$A=\left[ (2)^3 -\frac{3(2)^2}{2}-6(2) \right]-\left[ (-1)^3 -\frac{3(-1)^2}{2}-6(-1) \right]$$

Simplificando, temos:

$$A=[ 8 -6-12 ]-\left[ -1 -\frac{3}{2}+6 \right]$$

$$A=[ -10 ]-\left[ \frac{7}{2} \right]$$

$$A=-\frac{27}{2}=-13,5$$

A área é igual a $latex A= 13,5 $.

Podemos resolver isso encontrando as áreas abaixo do eixo x e acima do eixo x separadamente. No entanto, neste caso, vemos que o gráfico é simétrico e ambas as regiões possuem a mesma área.

Portanto, podemos encontrar a área de uma região e depois multiplicá-la por 2. Então, começamos formando a seguinte integral definida:

$$A=\int_{-2}^{0} 2x^3-8x dx$$

Agora, escrevemos da seguinte forma:

$$A=\left[ \frac{x^4}{2}-4x^2 \right]_{-2}^{0}$$

Avaliando isso, temos:

$$A=\left[ \frac{(0)^4}{2}-4(0)^2 \right]-\left[ \frac{(-2)^4}{2}-4(-2)^2 \right]$$

Finalmente, simplificamos para obter um único valor:

$latex A=[0-0]-[ 8 -16]$

$latex A= 8$

Portanto, a área da região de $latex x=-2$ a $latex x=2$ é 16.

Nesse caso, a área necessária tem duas partes, $latex A_{1}$, a área acima do eixo x, e $latex A_{2}$, a área abaixo do eixo x. Então, vamos encontrar essas áreas separadamente.

Para a área $latex A_{1}$, temos a seguinte integral definida:

$$A_{1}=\int_{0}^{1} (x^3-4x^2+3x) dx$$

Podemos resolver essa integral da seguinte forma:

$$A_{1}=\left[ \frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{3}+\frac{3x^2}{2} \right]_{0}^{1}$$

$$A_{1}=\left[ \frac{1}{4}-\frac{4}{3}+\frac{3}{2} \right]-[ 0]$$

$$A_{1}=\frac{5}{12}$$

Para a área $latex A_{2}$, temos a seguinte integral definida:

$$A_{2}=\int_{1}^{3} (x^3-4x^2+3x) dx$$

E resolvemos da seguinte forma:

$$A_{2}=\left[ \frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{3}+\frac{3x^2}{2} \right]_{1}^{3}$$

$$A_{2}=\left[ \frac{81}{4}-36+\frac{27}{2} \right]-\left[ \frac{1}{4}-\frac{4}{3}+\frac{3}{2} \right]$$

$$A_{2}=-\frac{9}{4}-\frac{5}{12}$$

$$A_{2}=-\frac{8}{3}$$

Finalmente, calculamos a área total $latex A$ da seguinte forma:

$$A=A_{1}+A_{2}$$

$$A=\frac{5}{12}+\frac{8}{3}$$

$$A=\frac{37}{12}$$