A integral de um polinômio pode ser encontrada adicionando 1 aos expoentes da variável de cada termo do polinômio. Em seguida, multiplicamos cada termo pelo inverso do novo expoente. Finalmente, simplificamos a expressão obtida e adicionamos a constante de integração.
A seguir, vamos resolver 10 exercícios sobre integrais de polinômios. Depois, você pode testar suas habilidades com 5 exercícios práticos.
Processo usado para encontrar a integral de uma função polinomial
Para encontrar a integral de uma função polinomial, usamos um processo inverso ao usado para derivar um polinômio.
Por exemplo, suponha que queremos encontrar a integral de $latex \int x^4 dx$. Para isso, observamos que a derivada de $latex x^5$ é igual a $latex 5x^4$ e teríamos a mesma potência de x.
No entanto, neste caso não precisamos da constante 5, então multiplicamos $latex x^5$ por $latex \frac{1}{5}$. Então temos
A derivada de $latex \frac{1}{5} x^5$ é $latex x^4$
Portanto,
$$\int x^4 dx =\frac{1}{5}x^5+c$$
Em geral, temos a seguinte fórmula:
$$\int ax^n dx =\frac{ax^{n+1}}{n+1}+c$$
onde, $latex n \neq -1$.
Podemos usar os seguintes passos para encontrar a integral de qualquer polinômio:
Passo 1: Adicione 1 aos expoentes de cada termo do polinômio.
Nota: Termos constantes são equivalentes a ter a variável $latex x^0$, então adicionar 1 nos dá $latex x^1=x$.
Passo 2: Multiplique cada termo pelo inverso do novo expoente.
Nota: O recíproco de um número é igual a 1 sobre um número. Por exemplo, o recíproco de 5 é $latex \frac{1}{5}$.
Pasao 3: Simplifique a integral resultante e adicione o termo constante $latex c$.
10 Exercícios resolvidos de integrais de polinômios
EXERCÍCIO 1
Encontre a integral do polinômio $latex 3x^2+1$
Solução
Para resolver este exercício, temos que começar formando a integral com o polinômio dado:
$latex \int 3x^2+1 dx$
Agora, podemos obter a integral considerando o seguinte:
- O expoente de cada variável a ser integrada deve ser somado a 1.
- Cada termo do polinômio deve ser dividido pelo novo expoente.
Aplicando isso, temos:
$$\int 3x^2+1 dx=\frac{3x^3}{3}+1x$$
Simplificando e adicionando a constante de integração, temos:
$$\int 3x^2+1 dx=x^3+x+c$$
EXERCÍCIO 2
Qual é a integral do polinômio $latex x^3+2x$?
Solução
Começamos formando a integral com o polinômio dado:
$latex \int x^3+2x dx$
Agora, podemos resolver a integral do polinômio seguindo os passos abaixo.
- Adicionamos 1 ao expoente de cada termo.
- Cada termo deve ser dividido pelo novo expoente.
Então temos:
$$\int x^3+2x dx=\frac{x^4}{4}+\frac{2x^2}{2}$$
Quando simplificamos e adicionamos a constante de integração, temos:
$$\int x^3+2x dx=\frac{x^4}{4}+x^2+c$$
EXERCÍCIO 3
Determine a integral da função polinomial $latex f(x)=-x^3-3x^2$.
Solução
Formando a integral com a função polinomial dada, temos:
$latex \int -x^3-3x^2 dx$
Agora, aplicamos o seguinte:
- Cada expoente da variável a ser integrada deve ser somado por 1.
- Cada termo deve ser dividido pelo valor do novo expoente.
Então temos:
$$\int -x^3-3x^2 dx=-\frac{x^4}{4}-\frac{3x^3}{3}$$
Quando simplificamos e adicionamos a constante de integração, obtemos:
$$\int -x^3-3x^2 dx=-\frac{x^4}{4}-x^3+c$$
EXERCÍCIO 4
Qual é a integral da função polinomial $latex f(x)=5x^3-3x-2$?
Solução
A integral a ser avaliada é:
$latex \int 5x^3-3x -2 dx$
Resolvemos a integral usando os seguintes passos:
- Adicionamos 1 ao expoente de cada termo do polinômio.
- Dividimos cada termo pelo novo expoente.
Aplicando isso, temos:
$$\int 5x^3-3x -2 dx=\frac{5x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}-2x$$
Simplificando e adicionando a constante de integração, temos:
$$\int 5x^3-3x -2 dx=\frac{5x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}-2x+c$$
EXERCÍCIO 5
Encontre a integral do polinômio $latex 2x^3-6x^2+5x$.
Solução
Formando a integral a ser avaliada, temos:
$latex \int 2x^3-6x^2+5x dx$
Agora, podemos aplicar o seguinte para resolver a integral:
- O expoente de x de cada termo deve ser adicionado a 1.
- Cada termo deve ser dividido pelo valor do novo expoente.
Quando aplicamos isso, temos:
$$\int 2x^3-6x^2+5x dx=\frac{2x^4}{4}-\frac{6x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}$$
Quando simplificamos e adicionamos a constante de integração, temos:
$$\int 2x^3-6x^2+5x dx=\frac{x^4}{2}-2x^3+\frac{5x^2}{2}+c$$
EXERCÍCIO 6
Se tivermos a função $latex f(x)=2x^4+3x^3-2x^2$, qual é a sua integral?
Solução
A integral a ser avaliada é:
$latex \int 2x^4+3x^3-2x^2 dx$
Quando calculamos essa integral, temos:
$$\int 2x^4+3x^3-2x^2 dx=\frac{2x^5}{5}+\frac{3x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}$$
Simplificando e adicionando a constante de integração, temos:
$$\int 2x^4+3x^3-2x^2 dx=\frac{2x^5}{5}+\frac{3x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}+c$$
EXERCÍCIO 7
Encontre a integral da função $latex f(x)=3x^3+(x-2)^2$.
Solução
Podemos começar expandindo o binômio e simplificando a função polinomial dada:
$latex f(x)=3x^3+(x-2)^2$
$latex f(x)=3x^3+x^2-4x+4$
Formando a integral, temos:
$latex \int 3x^3+x^2-4x+4 dx$
Resolvendo a integral, temos:
$$\int 3x^3+x^2-4x+4 dx=\frac{3x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-\frac{4x^2}{2}+4x$$
Quando simplificamos e adicionamos a constante de integração, temos:
$$\int 3x^3+x^2-4x+4 dx=\frac{3x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-2x^2+4x+c$$
EXERCÍCIO 8
Encontre a integral de $latex f(x)=2x^3+(x+4)^2-2x^2$.
Solução
Expandindo o polinômio dado e simplificando, temos:
$latex f(x)=2x^3+(x+4)^2-2x^2$
$latex f(x)=2x^3+x^2+8x+16-2x^2$
$latex f(x)=2x^3-x^2+8x+16$
A integral a ser avaliada é:
$latex \int 2x^3-x^2+8x+16 dx$
Então temos:
$$\int 2x^3-x^2+8x+16 dx=\frac{2x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{8x^2}{2}+16x$$
Simplificando e adicionando a constante de integração, temos:
$$\int 2x^3-x^2+8x+16 dx=\frac{x^4}{2}-\frac{x^3}{3}+4x^2+16x+c$$
EXERCÍCIO 9
Se a derivada de uma curva é $latex g(x)=4x^3-2$ e a curva passa pelo ponto $latex (-1, ~2)$. Encontre a equação da curva.
Solução
Neste problema, precisamos encontrar a função da curva com uma derivada igual a $latex g(x)=4x^3-2$. Ou seja, temos que encontrar a integral da derivada dada.
Então, formando a integral a ser avaliada, temos:
$latex \int 4x^3-2 dx$
Resolvendo isso, temos:
$$\int 4x^3-2 dx=\frac{1}{4}4x^4-2x+c$$
$$\int 4x^3-2 dx=x^4-2x+c$$
Podemos determinar o valor da constante de integração usando o ponto $latex (-1, ~2)$. Então temos:
$latex y=x^4-2x+c$
$latex 2=(-1)^4-2(-1)+c$
$latex 2=1+2+c$
$latex c=-1$
Então a equação da curva é $latex y=x^4-2x-1$.
EXERCÍCIO 10
Uma curva tem um declive representado por $latex 20x^4-10x$. Se a curva passa pelo ponto (1, 3), qual é a sua equação?
Solução
Neste caso, conhecemos a equação do declive da curva. No entanto, lembramos que o declive é igual à derivada da função.
Então, semelhante ao exercício anterior, vamos encontrar a integral de $latex 20x^4-10x$, já que a integral representa a equação da curva:
$latex \int 20x^4-10x dx$
Resolvendo essa integral, temos:
$$\int 20x^4-10x dx=\frac{20x^5}{5}-\frac{10x^2}{2}+c$$
$$\int 20x^4-10x dx=4x^5-5x^2+c$$
Se usarmos o ponto (1, 3), podemos determinar o valor da constante:
$latex y=4x^5-5x^2+c$
$latex 3=4(1)^5-5(1)^2+c$
$latex 3=4-5+c$
$latex c=4$
Então a equação da curva é $latex y=4x^5-5x^2+4$.
Exercícios de integrais de polinômios para resolver
Se tivermos $latex F(x)=\int f(x)dx$, encontre o valor de $latex F(2)$ se $latex c=0$ para a função: $$f(x)=4x^3+6x^2-5x-10$$
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
