A área entre uma curva e o eixo y pode ser encontrada utilizando dois métodos principais. O primeiro método consiste em utilizar retângulos e subtrair as suas áreas para obtermos a área necessária. O segundo método consiste em expressar x em função de y para obter uma integral definida.
A seguir, aprenderemos sobre os métodos que podemos utilizar para encontrar a área entre uma curva e o eixo y. Depois, utilizaremos estes métodos para resolver alguns exercícios práticos.
Encontrar a área entre uma curva e o eixo y usando retângulos
Considere a área mostrada no diagrama a seguir. Esta área é delimitada pela curva $latex y=f(x)$ e o eixo y entre $latex y_{1}=f(a)$ e $latex y_{2}=f(b)$.
Podemos encontrar esta área usando retângulos. Depois, utilizando o diagrama, podemos determinar que a área $latex A$ é igual a:
$latex A=$(Área de OTUV)$latex -$(Área de OPQR)$latex -$(Área sob $latex f(x)$ entre $latex x=a$ e $latex x=b$)
Portanto, se simplificarmos isto, temos a seguinte fórmula:
$$A=bf(b)-af(a)-\int_{a}^{b} f(x)dx$$
Encontrar a área entre uma curva e o eixo y, expressando x em função de y
A área entre uma curva e o eixo y pode ser calculada expressando x em função de y. Isto significa que temos de avaliar o seguinte:
$$A=\int_{f(a)}^{f(b)} xdy$$
Consideramos então o seguinte
- $latex dy$ indica que os limites $latex f(a) $ e $latex f(b)$ são limites de y.
- $latex f(a)$ é o limite inferior sendo encontrado usando o valor de $latex a$ em $latex f(x)$. Ou seja, encontramos o valor de $latex y_{1}$ no diagrama acima.
- $latex f(b)$ é o limite superior sendo encontrado usando o valor de $latex b$ em $latex f(x)$. Ou seja, encontramos o valor de $latex y_{2}$.
- $latex x $ é uma função de $latex y$. Encontramos essa função resolvendo a função original para $latex x$. Por exemplo, $latex y=3x+1$ torna-se $latex x=\frac{y-1}{3}$.
Depois, podemos calcular a integral definida seguindo os passos vistos neste artigo.
Exercícios resolvidos de área entre uma curva e o eixo y
EXERCÍCIO 1
Encontrar a área entre a curva $latex y=x^2$ e o eixo y de $latex y=1$ até $latex y=4$. Utilizar retângulos para resolver.
Solução
Para resolver isto utilizando retângulos, podemos observar que a área A é dada por:
$$A=(4\times 2)-(1\times 1)-\int_{1}^{2} x^2 dx$$
Os limites da integral $latex x=1$ e $latex x=2$ são o equivalente a $latex y=1$ e $latex y=4$ respectivamente.
Encontrando o valor da integral definida, temos:
$$\int_{1}^{2} x^2 dx=\left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2}$$
$$\int_{1}^{2} x^2 dx=\left[ \frac{8}{3} \right]-\left[ \frac{1}{3} \right]$$
$$\int_{1}^{2} x^2 dx= \frac{7}{3}$$
Portanto, temos:
$$A=8-1-\frac{7}{3}$$
$$A=\frac{14}{3}$$
EXERCÍCIO 2
Utilizar o segundo método para encontrar a área entre a curva $latex y=x^2$ e o eixo y de $latex y=1$ até $latex y=4$.
Solução
Para utilizar o segundo método, temos de avaliar a seguinte integral definida:
$$A=\int_{1}^{4} x dy$$
Depois temos de encontrar x em função de y. Então, temos:
$latex y=x^2$
$latex \sqrt{y}=x$
Agora, substituímos e resolvemos a integral:
$$\int_{1}^{4} \sqrt{y} dy=\int_{1}^{4} y^{\frac{1}{2}} dy$$
$$=\left[\frac{2y^{\frac{3}{2}}}{3}\right]_{1}^{4}$$
$$=\left[\frac{2(4)^{\frac{3}{2}}}{3}\right]-\left[\frac{2(1)^{\frac{3}{2}}}{3}\right]$$
$$=\frac{16}{3}-\frac{2}{3}$$
$$A=\frac{14}{3}$$
Vemos que obtivemos a mesma resposta que no exercício anterior, pelo que ambos os métodos são válidos.
EXERCÍCIO 3
Encontrar a área entre a curva $latex y=x^2+1$ e o eixo y de $latex y=2$ até $latex y=5$ utilizando o primeiro método.
Solução
Vemos que a área requerida é dada por:
$$A=(5\times 2)-(2\times 1)-\int_{1}^{2} x^2+1 dx$$
Agora, vamos encontrar o valor da integral definida:
$$\int_{1}^{2} x^2+1 dx=\left[ \frac{x^3}{3}+x \right]_{1}^{2}$$
$$=\left[ \frac{8}{3} +2 \right]-\left[ \frac{1}{3} +1 \right]$$
$$= \frac{10}{3}$$
Portanto, temos:
$$A=10-2-\frac{10}{3}$$
$$A=\frac{14}{3}$$
EXERCÍCIO 4
Determinar a área entre a curva $latex y=x^2+1$ e o eixo y a partir de $latex y=2$ até $latex y=5$ utilizando o segundo método.
Solução
Para resolver o exemplo utilizando o segundo método, temos de resolver a seguinte integral
$$A=\int_{2}^{5} x dy$$
Agora, vamos encontrar uma equação para x em função de y. Portanto, temos:
$latex y=x^2+1$
$latex \sqrt{y-1}=x$
Substituindo esta expressão e resolvendo a integral definida, temos:
$$\int_{2}^{5} \sqrt{y-1} dy=\int_{2}^{5} (y-1)^{\frac{1}{2}} dy$$
$$=\left[\frac{2}{3}(y-1)^{\frac{3}{2}}\right]_{2}^{5}$$
$$=\left[\frac{2}{3}(5-1)^{\frac{3}{2}}\right]-\left[\frac{2}{3}(2-1)^{\frac{3}{2}}\right]$$
$$=\left[\frac{2}{3}(4)^{\frac{3}{2}}\right]-\left[\frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}}\right]$$
$$=\left[\frac{2}{3}(8)\right]-\left[\frac{2}{3}(1)\right]$$
$$=\frac{16}{3}-\frac{2}{3}$$
$$A=\frac{14}{3}$$
EXERCÍCIO 5
Encontrar a área entre a curva $latex y=x^3+1$ e o eixo y de $latex y=1$ até $latex y=4$ utilizando qualquer método.
Solução
Neste caso, o método 2 pode ser mais simples, por isso vamos utilizar esse método. Depois, temos de avaliar a seguinte integral definida:
$$A=\int_{1}^{4} x dy$$
Agora, encontramos uma equação para x em termos de y:
$latex y=x^3+1$
$latex \sqrt[3]{y-1}=x$
Podemos substituir a expressão encontrada e resolver a integral definida:
$$\int_{1}^{4} \sqrt[3]{y-1} dy=\int_{1}^{4} (y-1)^{\frac{1}{3}} dy$$
$$=\left[\frac{3}{4}(y-1)^{\frac{4}{3}}\right]_{1}^{4}$$
$$=\left[\frac{3}{4}(4-1)^{\frac{4}{3}}\right]-\left[\frac{3}{4}(1-1)^{\frac{4}{3}}\right]$$
$$=\left[\frac{3}{4}(4,327)\right]-[0]$$
$$A=3,245$$
Área entre uma curva e o eixo y – Exercícios para resolver
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
