Área entre uma curva e o eixo y com exercícios

Para resolver isto utilizando retângulos, podemos observar que a área A é dada por:

$$A=(4\times 2)-(1\times 1)-\int_{1}^{2} x^2 dx$$

Os limites da integral $latex x=1$ e $latex x=2$ são o equivalente a $latex y=1$ e $latex y=4$ respectivamente.

Encontrando o valor da integral definida, temos:

$$\int_{1}^{2} x^2 dx=\left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2}$$

$$\int_{1}^{2} x^2 dx=\left[ \frac{8}{3} \right]-\left[ \frac{1}{3} \right]$$

$$\int_{1}^{2} x^2 dx= \frac{7}{3}$$

Portanto, temos:

$$A=8-1-\frac{7}{3}$$

$$A=\frac{14}{3}$$

Para utilizar o segundo método, temos de avaliar a seguinte integral definida:

$$A=\int_{1}^{4} x dy$$

Depois temos de encontrar x em função de y. Então, temos:

$latex y=x^2$

$latex \sqrt{y}=x$

Agora, substituímos e resolvemos a integral:

$$\int_{1}^{4} \sqrt{y} dy=\int_{1}^{4} y^{\frac{1}{2}} dy$$

$$=\left[\frac{2y^{\frac{3}{2}}}{3}\right]_{1}^{4}$$

$$=\left[\frac{2(4)^{\frac{3}{2}}}{3}\right]-\left[\frac{2(1)^{\frac{3}{2}}}{3}\right]$$

$$=\frac{16}{3}-\frac{2}{3}$$

$$A=\frac{14}{3}$$

Vemos que obtivemos a mesma resposta que no exercício anterior, pelo que ambos os métodos são válidos.

Vemos que a área requerida é dada por:

$$A=(5\times 2)-(2\times 1)-\int_{1}^{2} x^2+1 dx$$

Agora, vamos encontrar o valor da integral definida:

$$\int_{1}^{2} x^2+1 dx=\left[ \frac{x^3}{3}+x \right]_{1}^{2}$$

$$=\left[ \frac{8}{3} +2 \right]-\left[ \frac{1}{3} +1 \right]$$

$$= \frac{10}{3}$$

Portanto, temos:

$$A=10-2-\frac{10}{3}$$

$$A=\frac{14}{3}$$

Para resolver o exemplo utilizando o segundo método, temos de resolver a seguinte integral

$$A=\int_{2}^{5} x dy$$

Agora, vamos encontrar uma equação para x em função de y. Portanto, temos:

$latex y=x^2+1$

$latex \sqrt{y-1}=x$

Substituindo esta expressão e resolvendo a integral definida, temos:

$$\int_{2}^{5} \sqrt{y-1} dy=\int_{2}^{5} (y-1)^{\frac{1}{2}} dy$$

$$=\left[\frac{2}{3}(y-1)^{\frac{3}{2}}\right]_{2}^{5}$$

$$=\left[\frac{2}{3}(5-1)^{\frac{3}{2}}\right]-\left[\frac{2}{3}(2-1)^{\frac{3}{2}}\right]$$

$$=\left[\frac{2}{3}(4)^{\frac{3}{2}}\right]-\left[\frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}}\right]$$

$$=\left[\frac{2}{3}(8)\right]-\left[\frac{2}{3}(1)\right]$$

$$=\frac{16}{3}-\frac{2}{3}$$

$$A=\frac{14}{3}$$

Neste caso, o método 2 pode ser mais simples, por isso vamos utilizar esse método. Depois, temos de avaliar a seguinte integral definida:

$$A=\int_{1}^{4} x dy$$

Agora, encontramos uma equação para x em termos de y:

$latex y=x^3+1$

$latex \sqrt[3]{y-1}=x$

Podemos substituir a expressão encontrada e resolver a integral definida:

$$\int_{1}^{4} \sqrt[3]{y-1} dy=\int_{1}^{4} (y-1)^{\frac{1}{3}} dy$$

$$=\left[\frac{3}{4}(y-1)^{\frac{4}{3}}\right]_{1}^{4}$$

$$=\left[\frac{3}{4}(4-1)^{\frac{4}{3}}\right]-\left[\frac{3}{4}(1-1)^{\frac{4}{3}}\right]$$

$$=\left[\frac{3}{4}(4,327)\right]-[0]$$

$$A=3,245$$