Volume de revolução em torno do eixo x - Exercícios

O volume de revolução em torno do eixo x pode ser encontrado avaliando uma integral definida em relação ao quadrado da equação da curva e multiplicando o resultado por π. Podemos derivar uma fórmula para calcular este volume utilizando limites e integrais.

Neste artigo, aprenderemos como calcular o volume de revolução em relação ao eixo x. Aprenderemos a derivar a sua fórmula e a utilizá-la em alguns exemplos práticos.

CÁLCULO

Relevante para…

Aprender a calcular o volume de revolução em torno do eixo x.

Ver exercícios

Conteúdo

CÁLCULO

Relevante para…

Aprender a calcular o volume de revolução em torno do eixo x.

Ver exercícios

Como encontrar o volume de revolução em torno do eixo x

Para encontrar o volume de revolução de um sólido em relação ao eixo x, podemos aplicar a seguinte fórmula:

$$V=\pi \int_{a}^{b} y^2 d x$$

Depois, podemos seguir o seguinte processo para utilizar corretamente a fórmula:

1. Encontrar o quadrado da equação da curva que forma o volume de revolução.

Ou seja, começamos por encontrar $latex y^2$.

2. Encontrar o valor da integral definida $latex \int_{a}^{b} y^2 d x$.

Para isto, substituímos a expressão por $latex y^2$ do passo 1.

3. Multiplique o resultado do passo 2 por π para encontrar o volume do sólido formado.

Se precisar de rever como resolver integrais definidas, pode visitar o nosso artigo: Como calcular integrais definidas.

Prova da fórmula para o volume de revolução em torno do eixo x

Para encontrar uma fórmula para o volume de revolução com o eixo x, começamos por considerar a área sob a curva $latex y=x^2$ de $latex x=1$ até $latex x=2$, como mostra o diagrama:

Agora, considere o sólido formado quando esta área é girada 2π em torno do eixo x, como mostra o diagrama abaixo. Podemos calcular o seu volume utilizando o cálculo integral.

Pegamos numa faixa muito pequena de comprimento $latex x$ sob a curva $latex f(x)$, como mostra o diagrama abaixo:

Quando esta pequena área é girada em 2π radianos em torno do eixo x, formamos um disco com um raio igual a $latex y$ e uma largura de $latex \delta x$. O volume deste disco é:

$latex \delta V= \pi y^2 \delta x$

Para encontrar o volume de todo o sólido, temos de encontrar a soma de todos os discos de $latex x=a$ até $latex x=b$. Então, temos:

$$V=\sum_{x=a}^{b}\pi y^2 \delta x$$

Como $latex \delta \to 0$, esta soma se aproxima do valor de $latex V$, então temos:

$$V=\lim_{\delta x \to 0} \pi \sum_{x=a}^{b} y^2 \delta x$$

que é igual a

$$V=\pi \int_{a}^{b} y^2 d x$$

Exercícios resolvidos do volume de revolução em torno do eixo x

EXERCÍCIO 1

Encontrar o volume gerado quando a área abaixo de $latex y=x$ de $latex x=0$ até $latex x=6$ é rodada em relação ao eixo x.

Solução

Começamos por escrever a fórmula para o volume de revolução:

$$V=\pi \int_{a}^{b} y^2 d x$$

Agora, substituímos a expressão por $latex y $ e resolvemos a integral definida:

$$V=\pi \int_{0}^{6} x^2 d x$$

$$=\pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{6}$$

$$=\pi \left( \frac{216}{3} \right)-(0)$$

$latex V=72 \pi $

EXERCÍCIO 2

Qual é o volume gerado quando a área abaixo de $latex y=x^2$ de $latex x=0$ até $latex x=5$ é rodada em relação ao eixo x?

Solução

A fórmula para o volume de revolução em torno do eixo x é:

$$V=\pi \int_{a}^{b} y^2 d x$$

Neste caso, temos $latex y=x^2$, pelo que substituímos na fórmula e avaliamos a integral definida:

$$V=\pi \int_{0}^{5} x^4 d x$$

$$=\pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{5}$$

$$=\pi \left( \frac{3125}{5} \right)-(0)$$

$latex V=625 \pi $

EXERCÍCIO 3

Encontrar o volume do sólido formado quando a área abaixo de $latex y=x^2+2$ de $latex x=1$ até $latex x=3$ é rodada em relação ao eixo x.

Solução

O volume do sólido é dado pela seguinte fórmula:

$$V=\pi \int_{a}^{b} y^2 d x$$

Ao quadrar $latex y$, temos $latex y^2=(x^2+2)^2$, que é igual a $latex y^2=x^4+4x^2+4$. Então, temos:

$$V=\pi \int_{1}^{3} (x^4+4x^2+4) d x$$

$$=\pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{4x^3}{3}+4x \right]_{1}^{3}$$

$$=\pi \left( \frac{483}{5}- \frac{83}{15} \right)$$

$$ V=\frac{1366 \pi}{15} $$

EXERCÍCIO 4

Encontre o volume de revolução da área sob $latex y=3\sqrt{x}$ de $latex x=2$ até $latex x=4$ em relação ao eixo x.

Solução

Começamos com a seguinte fórmula para encontrar o volume:

$$V=\pi \int_{a}^{b} y^2 d x$$

Quando temos $latex y $ ao quadrado, obtemos $latex y^2=9x$. Depois, utilizamos isto na fórmula para resolver a integral definida:

$$V=\pi \int_{2}^{4} 9x d x$$

$$=\pi \left[ \frac{9x^2}{2} \right]_{2}^{4}$$

$latex =\pi (72 )-( 18)$

$latex V=54\pi $

EXERCÍCIO 5

Encontre o volume de revolução quando a área sob $latex y=\sqrt{x^2+3x}$ de $latex x=2$ eté $latex x=6$ é girada no eixo x.

Solução

Começamos por escrever a fórmula para o volume de revolução com o eixo x:

$$V=\pi \int_{a}^{b} y^2 d x$$

Quando elevamos ao quadrado $latex y $, temos $latex y^2=(\sqrt{x^2+3x})^2$, que é igual a $latex y^2=x^2+3x$. Então temos:

$$V=\pi \int_{2}^{6} (x^2+3x) d x$$

$$=\pi \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_{2}^{6}$$

$$=\pi [72 + 54 ]-\left[ \frac{8}{3} + 6 \right]$$

$$=\pi \left( \frac{352}{3} \right)$$

$$ V=\frac{352\pi}{3} $$

EXERCÍCIO 6

A área delimitada entre a curva $latex y=4-x^2$ e a recta $latex y=4-2x$ é rodada em relação ao eixo x. Encontrar o volume do sólido gerado.

Solução

Neste caso, temos uma área entre duas curvas. Depois, podemos desenhar um gráfico simples para visualizar essa área:

Agora, vemos que a área a ser rodada é uma área entre duas curvas. Por isso, resolvemos da seguinte forma:

$$V=\pi \int_{0}^{2} (4-x^2)^2 d x-\pi \int_{0}^{2} (4-2x)^2 d x$$

$$=\pi \int_{0}^{2} (4-x^2)^2 – (4-2x)^2 d x$$

$$=\pi \int_{0}^{2} (x^4-12x^2+16x) d x$$

$$=\pi \left[ \frac{x^5}{5}-4x^3+8x^2 \right]_{0}^{2}$$

$$=\pi \left[ \frac{32}{5}-32+32 \right]-[0]$$

$latex V=\frac{32\pi}{5} $