A reta tangente à curva é encontrada usando a forma y=mx+b, onde m é o declive da reta e b é a interseção com y. Por outro lado, o declive é calculado usando a derivada da função. Da mesma forma, encontramos a equação da reta normal considerando que seu declive é um recíproco negativo da reta tangente.
A seguir, aprenderemos sobre retas tangentes e normais à curva. Saberemos como obter suas equações e resolveremos alguns exemplos práticos.
CÁLCULO
Relevante para…
Aprender a encontrar as equações das retas tangentes e normais a uma curva.
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Como encontrar a equação da reta tangente à curva?
A equação da reta tangente à curva pode ser encontrada se conhecermos a função que produz a curva e as coordenadas do ponto tangencial, como podemos ver no diagrama a seguir:
Assim, podemos usar a forma declive-interseção de uma função linear, $latex y=mx+b$, onde m é o declive da reta e b é a interseção em y.
Se conhecemos a função que produz a curva e as coordenadas do ponto $latex P=(x_{1},~y_{1})$, podemos seguir estes passos:
Passo 1: Obtenha a derivada da função que produz a curva.
Passo 2: Determine o declive da reta tangente usando a derivada.
Como conhecemos o ponto tangencial $latex (x_{1},~y_{1})$, podemos calcular a derivada da função na coordenada x do ponto para obter o declive. Ou seja, temos $latex m=f'(x_{1})$.
Passo 3: Encontre o valor de b usando a equação $latex y=mx+b$ com o valor do declive encontrado no passo 2.
Podemos conseguir isso usando as coordenadas $latex (x_{1},~y_{1})$ do ponto dado na forma $latex y=mx+b$ e resolvendo para b. Ou seja, temos $latex y_{1}=mx_{1}=b$.
Passo 4: Use os valores de m e b na forma $latex y=mx+b$ para obter a equação da reta tangente.
Como encontrar a equação da reta normal à curva?
A equação da reta normal à curva é encontrada da mesma forma que encontramos a equação da reta tangente. A diferença é que consideramos a reta normal perpendicular à reta tangente, como mostra o diagrama:
Assim, o declive da reta normal é igual ao recíproco negativo da reta tangente. Ou seja, se o declive da tangente é $latex m$, então o declive da normal é igual a $latex -\frac{1}{m}$.
Se conhecemos a função que representa a curva e as coordenadas do ponto $latex (x_{1},~y_{1})$, podemos seguir estes passos:
Passo 1: Determine a derivada da função.
Passo 2: Use a derivada para encontrar o declive da reta tangente à curva no ponto $latex (x_{1},~y_{1})$. Para isso, temos $latex m_{1}=f'(x_{1})$.
Passo 3: Determine o declive da reta normal usando o declive do passo 2. O declive da reta normal é igual a $latex m=-\frac{1}{m_{1}}$, onde $latex m_{1}$ é o declive da reta tangente.
Passo 4: Usando a forma $latex y=mx+b$ e o declive do passo 3, determine o valor de b. Para isso, usamos as coordenadas do ponto $latex (x_{1},~y_{1})$. Ou seja, temos $latex y_{1}=mx_{1}=b$.
Passo 5: Substituímos os valores de m e b na forma $latex y=mx+b$ para obter a equação da reta normal.
Exemplos da reta tangente e da reta normal à curva
EXEMPLO 1
Se tivermos a função $latex f(x)=3x^2-3x$, encontre a equação da reta tangente no ponto (1, 3).
Solução
Passo 1: Começamos encontrando a derivada da função que representa a curva:
$latex f(x)=3x^2-3x$
$latex f'(x)=6x-3$
Passo 2: Avaliamos $latex f'(1)$ para encontrar o declive da reta tangente no ponto (1, 3):
$latex m=f'(1)=6(1)-3$
$latex m=3$
Passo 3: O declive do passo 2 dá a equação $latex y=3x+b$. Então, usamos o ponto (1, 3) na equação para encontrar o valor de b:
$latex y=3x+b$
$latex 3=3(1)+b$
$latex b=0$
Passo 4: A equação da reta tangente no ponto (1, 3) é $latex y=3x$.
EXEMPLO 2
Temos a função $latex f(x)=x^2$. Determine a equação da reta normal no ponto P=(3, 2).
Solução
Passo 1: A derivada da função é:
$latex f(x)=x^2$
$latex f'(x)=2x$
Passo 2: Avaliamos $latex f'(3)$ para encontrar o declive da reta tangente no ponto (3, 2). Então temos:
$latex m_{1}=f'(3)=2(3)$
$latex m_{1}=6$
Passo 3: Usamos o declive da reta tangente para encontrar o declive da reta normal, o qual é $latex m=-\frac{1}{6}$.
Passo 4: Usando o declive da normal, temos a equação $latex y=-\frac{1}{6}x+b$. Agora, usamos o ponto (3, 2) na equação para determinar o valor de b:
$latex y=-\frac{1}{6}x+b$
$latex 2=-\frac{1}{6}(3)+b$
$latex b=\frac{5}{2}$
Passo 5: A equação da reta normal no ponto (3, 2) é $latex y=-\frac{1}{6}x+\frac{5}{2}$.
EXEMPLO 3
Qual é a equação da reta tangente à função $latex f(x) = -x^{-2}+\sqrt{x}$ no ponto (1, 3)?
Solução
Passo 1: Para encontrar a derivada, usamos as leis dos expoentes para escrever a raiz quadrada como um expoente numérico:
$latex f(x)=-x^{-2}+x^{\frac{1}{2}}$
$$f'(x)=2x^{-3}+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
$$f'(x)=\frac{2}{x^3}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
Passo 2: Usando a derivada, avaliamos $latex f'(1)$ para encontrar o declive da reta tangente em (1, 3):
$$m=f'(1)=\frac{2}{(1)^3}+\frac{1}{2\sqrt{1}}$$
$latex =2+\frac{1}{2}$
$latex m=\frac{5}{2}$
Passo 3: O declive do passo 2 dá a equação $latex y=\frac{5}{2}x+b$. Então, usamos o ponto (1, 3) na equação para encontrar o valor de b:
$$y=\frac{5}{2}x+b$$
$$3=\frac{5}{2}(1)+b$$
$latex b=\frac{1}{2}$
Passo 4: A equação da reta tangente no ponto (1, 3) é $latex y=\frac{5}{2}x+\frac{1}{2}$.
EXEMPLO 4
Se tivermos a função $latex f(x)=x^3+\frac{8}{x}$, determine a equação da reta normal no ponto (2, -2).
Solução
Passo 1: Usamos as leis dos expoentes para escrever a função apenas com expoentes numéricos e, assim, calcular sua derivada:
$latex f(x)=x^3+8x^{-1}$
$latex f'(x)=x^2-8x^{-2}$
$latex f'(x)=x^2-\frac{8}{x^2}$
Passo 2: O declive da tangente em (2, 4) é encontrada avaliando $latex f'(2)$:
$latex m_{1}=f'(2)=(2)^2-\frac{8}{2^2}$
$latex =4-2$
$latex m_{1}=2$
Passo 3: Usamos o declive do passo 2 para determinar a inclinação da normal e temos $latex m=-\frac{1}{2}$.
Passo 4: Usando o declive do passo 3, temos a equação $latex y=-\frac{1}{2}x+b$. Agora, usamos o ponto (2, -2) na equação para encontrar o valor de b,:
$latex y=-\frac{1}{2}x+b$
$latex -2=-\frac{1}{2}(2)+b$
$latex b=-1$
Passo 5: A equação da reta normal no ponto (2, 4) é $latex y=-\frac{1}{2}x-1$.
EXEMPLO 5
Se tivermos a função $latex f(x)=x^2-3x+1$, encontre a equação da reta tangente no ponto onde a curva intercepta o eixo y.
Solução
Passo 1: A derivada da função é:
$latex f(x)=x^2-3x+1$
$latex f'(x)=2x-3$
Passo 2: Não temos as coordenadas do ponto tangencial, mas sabemos que a reta é tangente no ponto onde a curva cruza o eixo y.
Quando uma função intercepta o eixo y, as coordenadas x são iguais a 0. Então, temos:
$latex y=x^2-3x+1$
$latex y=0^2-3(0)+1$
$latex y=1$
Então o ponto é (0, 1). Agora, calculamos $latex f'(0)$ para encontrar o declive da tangente e temos:
$latex m=f'(0)=2(0)-3$
$latex m=-3$
Passo 3: Usando o declive do passo 3, temos a equação $latex y=-3x+b$. Então, usamos o ponto (0, 1) na equação para encontrar o valor de b:
$latex y=-3x+b$
$latex 1=-3(0)+b$
$latex b=1$
Passo 4: A equação da reta tangente no ponto (0, 1) é $latex y=-3x+1$.
EXEMPLO 6
Encontre a reta normal para a função $latex f(x)=\sin(x)-\cos(x)$ no ponto (0, 1).
Solução
Passo 1: A derivada da função trigonométrica dada é:
$latex f(x)=\sin(x)-\cos(x)$
$latex f'(x)=\cos(x)+\sin(x)$
Passo 2: Avaliamos $latex f'(0)$ para encontrar o declive da reta tangente no ponto (0, 1):
$latex m=f'(0)=\cos(0)+\sin(0)$
$latex m_{1}=1+0$
$latex m_{1}=1$
Passo 3: O declive da reta normal é igual a $latex m=-1$.
Passo 4: Usando o declive do passo 3, temos a equação $latex y=-x+b$. Então, usamos o ponto (0, 1) na equação para encontrar o valor de b:
$latex y=-x+b$
$latex 1=-0+b$
$latex b=1$
Passo 5: A equação da reta normal no ponto (0, 1) é $latex y=-x+1$.
Reta tangente e reta normal a uma curva – Exercícios para resolver
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
