Reta normal à curva – Exercícios resolvidos

Podemos encontrar a equação da reta normal usando a forma geral $latex y=mx+b$, onde m é o declive e b é a interseção com y.

Agora, o declive da normal é igual a $latex -\frac{1}{m_{1}}$, onde $latex m_{1}$ é o declive da reta tangente. Por sua vez, o declive da reta tangente é igual a $latex f'(1)$ (avaliamos a derivada no ponto dado). Então temos:

$latex f(x)=x^2$

$latex f'(x)=2x$

$latex m_{1}=f'(1)=2(1)$

$latex m_{1}=2$

∴ $latex m=-\frac{1}{2}$

Isso significa que temos a equação $latex y=-\frac{1}{2}x+b$. Portanto, usamos o ponto (1, 2) na equação para determinar o valor de b:

$latex y=-\frac{1}{2}x+b$

$latex 2=-\frac{1}{2}(1)+b$

$latex b=\frac{5}{2}$

A equação da reta normal no ponto (1, 2) é $latex y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$.

Para encontrar a equação da reta normal, temos que começar encontrando a derivada da função. Então temos:

$latex f(x)=x^3-6x$

$latex f'(x)=3x^2-6$

Agora, podemos usar a derivada para encontrar o declive da reta tangente no ponto (-1, 1) avaliando $latex f'(-1)$:

$latex m_{1}=f'(-1)=3(-1)^2-6$

$latex m_{1}=-3$

O declive da reta normal é igual a $latex m=\frac{1}{3}$. Então, temos a equação $latex y=\frac{1}{3}x+b$. Agora, encontramos o valor de b, usando o ponto (-1, 1) na equação:

$latex y=\frac{1}{3}x+b$

$latex 1=\frac{1}{3}(-1)+b$

$latex b=\frac{4}{3}$

A equação da reta normal no ponto (-1, 1) é $latex y=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$.

Começamos encontrando o declive da reta tangente. Para isso, obtemos a derivada da função:

$latex f(x)=2x^3-7x^2$

$latex f'(x)=6x^2-14x$

O declive da reta tangente no ponto (2, 3) é dada por $latex f'(2)$:

$latex m_{1}=f'(2)=6(2)^2-14(2)$

$latex m_{1}=24-28$

$latex m_{1}=-4$

O declive da reta normal é $latex m=\frac{1}{4}$. Assim, temos a equação $latex y=\frac{1}{4}x+b$. Agora, usamos esta equação com o ponto (2, -3) para encontrar o valor de b:

$latex y=\frac{1}{4}x+b$

$latex -3=\frac{1}{4}(2)+b$

$latex b=-\frac{7}{2}$

A equação da reta normal no ponto (2, -3) é $latex y=\frac{1}{4}x-\frac{7}{2}$.

A derivada da função é:

$latex f(x)=x^3+6x^{-1}$

$latex f'(x)=3x^2-6x^{-2}$

$latex f'(x)=3x^2-\frac{6}{x^2}$

Agora, usamos a derivada para encontrar o declive da tangente no ponto (1, -2). Isso é igual a $latex f'(1)$:

$latex m_{1}=f'(1)=3(1)^2-\frac{6}{1^2}$

$latex =3-6$

$latex m_{1}=-3$

O declive da reta normal é $latex m=\frac{1}{3}$. Então, temos a equação $latex y=\frac{1}{3}x+b$. Em seguida, usamos o ponto (1, -2) para encontrar o valor de b:

$latex y=\frac{1}{3}x+b$

$latex -2=\frac{1}{3}(1)+b$

$latex b=-\frac{7}{3}$

A equação da reta normal no ponto (1, -2) é $latex y=\frac{1}{3}x-\frac{7}{3}$.

Temos que começar encontrando a derivada da função dada:

$latex f(x)=-x^{-2}+x^{\frac{1}{2}}$

$$f'(x)=2x^{-3}+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$

$$f'(x)=\frac{2}{x^3}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Agora, usamos a derivada para encontrar o declive da tangente no ponto (1, -2). Isso é igual a $latex f'(1)$:

$$m_{1}=f'(1)=\frac{2}{(1)^3}+\frac{1}{2\sqrt{1}}$$

$latex =2+\frac{1}{2}$

$latex m_{1}=\frac{5}{2}$

O declive da reta normal é $latex m=-\frac{2}{5}$. Então, temos a equação $latex y=-\frac{2}{5}x+b$, então usamos o ponto (1, -2) para encontrar o valor de b:

$$y=-\frac{2}{5}x+b$$

$$-2=-\frac{2}{5}(1)+b$$

$latex b=-\frac{8}{5}$

A equação da reta normal no ponto (1, -2) é $latex y=-\frac{2}{5}x-\frac{8}{5}$.

A derivada da função é:

$latex f(x)=\sin(x)-\cos(x)$

$latex f'(x)=\cos(x)+\sin(x)$

O declive da reta tangente no ponto (0, 1) é igual a $latex f'(0)$. Então temos:

$latex m_{1}=f'(0)=\cos(0)+\sin(0)$

$latex m_{1}=1+0$

$latex m_{1}=1$

O declive da reta normal é igual a $latex m=-1$. Então, temos a equação $latex y=-x+b$ e agora usamos essa equação com o ponto (0, 1) para encontrar o valor de b:

$latex y=-x+b$

$latex 1=-0+b$

$latex b=1$

A equação da reta normal no ponto (0, 1) é $latex y=-x+1$.

A derivada da função é:

$latex f(x)=-2\sin(2x)+\cos(3x)$

$latex f'(x)=-4\cos(2x)-3\sin(3x)$

Usando a derivada, podemos encontrar o declive da reta tangente em (0, 1) avaliando $latex f'(0)$:

$latex m_{1}=f'(0)=-4\cos(2(0))-3\sin(3(0))$

$latex m_{1}=-4+0$

$latex m_{1}=-4$

O declive da reta normal é $latex m=\frac{1}{4}$. Assim, temos a equação $latex y=\frac{1}{4}x+b$. Agora, usamos esta equação com o ponto (0, 1) para determinar o valor de b:

$latex y=\frac{1}{4}x+b$

$latex 1=0+b$

$latex b=1$

A equação da reta normal no ponto (0, 1) é $latex y=\frac{1}{4}x+1$.

Começamos encontrando a derivada da função:

$latex f(x)=x^2-3x+1$

$latex f'(x)=2x-3$

Não conhecemos as coordenadas do ponto diretamente, mas sabemos que a reta é normal ao ponto onde a curva cruza o eixo y. Isso acontece quando as coordenadas em x são iguais a 0. Então, temos:

$latex y=x^2-3x+1$

$latex y=0^2-3(0)+1$

$latex y=1$

Portanto, o ponto é (0, 1). Agora, usamos a derivada da função para calcular $latex f'(0)$ e encontrar o declive da tangente:

$latex m_{1}=f'(0)=2(0)-3$

$latex m_{1}=-3$

O declive da reta normal é $latex m=\frac{1}{3}$. Então, temos a equação $latex y=\frac{1}{3}x+b$. Usando o ponto (0, 1) encontramos o valor de b:

$latex y=\frac{1}{3}x+b$

$latex 1=\frac{1}{3}(0)+b$

$latex b=1$

A equação da reta normal no ponto (0, 1) é $latex y=\frac{1}{3}x+1$.

Temos que começar encontrando os pontos onde a função intercepta o eixo x. Isso acontece quando o valor de y é 0. Então, temos:

$latex x^2-5x+4=0$

$latex (x-4)(x-1)=0$

A função corta o eixo x quando $latex x=4$ e $latex x=1$. Isso significa que temos os pontos (4, 0) e (1, 0).

Agora, usamos a derivada da função para encontrar os declives das retas tangentes avaliando $latex f'(4)$ e $latex f'(1)$:

$latex f(x)=x^2-5x+4$

$latex f'(x)=2x-5$

$latex f'(4)=2(4)-5=3$

$latex f'(1)=2(1)-5=-3$

Os declives das retas normais são $latex m_{1}=-\frac{1}{3}$ e $latex m_{2}=\frac{1}{3}$. Assim, usamos a forma $latex y=mx+b$ com os declives encontradas e as coordenadas de cada ponto para determinar os valores de b:

$latex 0=\frac{1}{3}(4)+b_{1}$

$latex b_{1}=-\frac{4}{3}$

$latex 0=-\frac{1}{3}(1)+b_{2}$

$latex b_{2}=\frac{1}{3}$

Assim, as equações das retas normais são $latex y=-\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$ e $latex y=\frac{1}{3}x+\frac{ 1}{3}$.

Temos que as retas são normais nos pontos onde $latex y=9$. Isso significa que temos que encontrar os valores de x quando $latex y=9$:

$latex x^2=9$

$latex x=\pm \sqrt{9}$

$latex x=3~~$ ou $latex ~~x=-3$

Agora que conhecemos as coordenadas dos pontos, usamos a derivada da função para encontrar os declives das retas tangentes avaliando $latex f'(3)$ e $latex f'(-3)$.

$latex f(x)=x^2$

$latex f'(x)=2x$

$latex f'(3)=2(3)=6$

$latex f'(-3)=2(-3)=-6$

Os declives das retas normais são $latex m_{1}=-\frac{1}{6}$ e $latex m_{2}=\frac{1}{6}$.

Agora, usamos a forma $latex y=mx+b$ com os declives encontrados e as coordenadas de cada ponto (os valores de y são 9 em ambos os casos) para encontrar os valores de b:

$latex 9=-\frac{1}{6}(3)+b_{1}$

$latex b_{1}=\frac{19}{2}$

$latex 9=\frac{1}{6}(-3)+b_{2}$

$latex b_{2}=\frac{19}{2}$

Assim, as equações das retas normais são $latex y=-\frac{1}{6}x+\frac{19}{2}$ e $latex y=\frac{1}{6}x+\frac{19 }{2}$.