Reta tangente à curva – Exercícios resolvidos

Para encontrar a equação da tangente, podemos usar a forma $latex y=mx+b$, onde m é o declive e b é a interseção com y.

O declive da reta tangente é encontrada calculando a derivada da função no ponto dado. Ou seja, o declive é igual a $latex f'(1)$. Então temos:

$latex f(x)=x^2$

$latex f'(x)=2x$

$latex m=f'(1)=2(1)$

$latex m=2$

Até agora, temos a equação $latex y=2x+b$. Encontramos o valor de b usando o ponto (1, 3) na equação:

$latex y=2x+b$

$latex 3=2(1)+b$

$latex b=1$

A equação da reta tangente no ponto (1, 3) é $latex y=2x+1$.

Precisamos da derivada da função para encontrar o declive da reta tangente. Então temos:

$latex f(x)=x^3-10x$

$latex f'(x)=3x^2-10$

Para encontrar o declive da reta tangente no ponto (2, 1), avaliamos $latex f'(2)$:

$latex m=f'(2)=3(2)^2-10$

$latex m=2$

Formamos a equação $latex y=2x+b$. Agora, encontramos o valor de b, usando o ponto (2, 1) na equação:

$latex y=2x+b$

$latex 1=2(1)+b$

$latex b=-1$

A equação da reta tangente no ponto (2, 1) é $latex y=2x-1$.

A derivada da função nos permite encontrar o declive da reta tangente. Então a derivada é:

$latex f(x)=2x^3-7x^2$

$latex f'(x)=6x^2-14x$

O declive da reta tangente no ponto (2, 3) é igual a $latex f'(2)$. Então temos:

$latex m=f'(2)=6(2)^2-14(2)$

$latex m=24-28$

$latex m=-4$

Usando o declive encontrado, temos a equação $latex y=-4x+b$. Agora, encontramos o valor de b, usando o ponto (2, 3) na equação:

$latex y=-4x+b$

$latex 3=-4(2)+b$

$latex b=11$

A equação da reta tangente no ponto (2, 3) é $latex y=-4x+11$.

Começamos encontrando a derivada da função:

$latex f(x)=x^3+8x^{-1}$

$latex f'(x)=3x^2-8x^{-2}$

$latex f'(x)=3x^2-\frac{8}{x^2}$

O declive da tangente no ponto (2, 4) é encontrada avaliando $latex f'(2)$. Então temos:

$latex m=f'(2)=3(2)^2-\frac{8}{2^2}$

$latex =12-2$

$latex m=10$

Temos a equação $latex y=10x+b$. Usamos o ponto (2, 4) para encontrar o valor de b:

$latex y=10x+b$

$latex 4=10(2)+b$

$latex b=-15$

A equação da reta tangente no ponto (2, 4) é $latex y=10x-15$.

Começamos encontrando a derivada da função para determinar o declive da reta tangente:

$latex f(x)=-x^{-2}+x^{\frac{1}{2}}$

$$f'(x)=2x^{-3}+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$

$$f'(x)=\frac{2}{x^3}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

O declive da tangente no ponto (1, 3) é igual a $latex f'(1)$, então temos:

$$m=f'(1)=\frac{2}{(1)^3}+\frac{1}{2\sqrt{1}}$$

$latex =2+\frac{1}{2}$

$latex m=\frac{5}{2}$

Agora que formamos a equação $latex y=\frac{5}{2}x+b$, usamos o ponto (1, 3) para encontrar o valor de b:

$$y=\frac{5}{2}x+b$$

$$3=\frac{5}{2}(1)+b$$

$latex b=\frac{1}{2}$

A equação da reta tangente no ponto (1, 3) é $latex y=\frac{5}{2}x+\frac{1}{2}$.

Começamos encontrando a derivada da função:

$latex f(x)=\sin(x)-\cos(x)$

$latex f'(x)=\cos(x)+\sin(x)$

Agora, sabemos que o declive da reta tangente no ponto (0, 1) é encontrado avaliando $latex f'(0)$. Então temos:

$latex m=f'(0)=\cos(0)+\sin(0)$

$latex m=1+0$

$latex m=1$

Até agora, temos a equação $latex y=x+b$ e podemos usar essa equação com o ponto (0, 1) para encontrar o valor de b, usando o ponto (0, 1) na equação:

$latex y=x+b$

$latex 1=0+b$

$latex b=1$

A equação da reta tangente no ponto (0, 1) é $latex y=x+1$.

Precisamos da derivada da função para encontrar o declive da tangente. Então temos:

$latex f(x)=-2\sin(2x)+\cos(3x)$

$latex f'(x)=-4\cos(2x)-3\sin(3x)$

Agora, podemos calcular $latex f'(0)$ para determinar o declive da reta tangente no ponto (0, 1):

$latex m=f'(0)=-4\cos(2(0))-3\sin(3(0))$

$latex m=-4+0$

$latex m=-4$

Usando o declive encontrado, temos a equação $latex y=-4x+b$. Usando esta equação com o ponto (0, 1) encontramos o valor de b:

$latex y=-4x+b$

$latex 1=0+b$

$latex b=1$

A equação da reta tangente no ponto (0, 1) é $latex y=-4x+1$.

A derivada da função é:

$latex f(x)=x^2-3x+1$

$latex f'(x)=2x-3$

A declaração nos diz que temos que encontrar a reta tangente no ponto onde a curva intercepta o eixo y. Isso acontece quando as coordenadas em x são iguais a 0. Então, temos:

$latex y=x^2-3x+1$

$latex y=0^2-3(0)+1$

$latex y=1$

Portanto, o ponto da tangente é (0, 1). Agora, calculamos $latex f'(0)$ para encontrar o declive da tangente e temos:

$latex m=f'(0)=2(0)-3$

$latex m=-3$

O declive encontrado nos dá a equação $latex y=-3x+b$. Para encontrar o valor de b, usamos o ponto (0, 1) na equação:

$latex y=-3x+b$

$latex 1=-3(0)+b$

$latex b=1$

A equação da reta tangente no ponto (0, 1) é $latex y=-3x+1$.

Os pontos onde a função intercepta o eixo x são os zeros da função. Então, começamos encontrando os zeros:

$latex x^2-5x+4=0$

$latex (x-4)(x-1)=0$

A função corta o eixo x quando $latex x=4$ e $latex x=1$. Além disso, os valores de y nesses pontos são 0, então temos (4, 0) e (1, 0).

Agora, encontramos a derivada e avaliamos $latex f'(4)$ e $latex f'(1)$ para determinar os declives das retas tangentes.

$latex f(x)=x^2-5x+4$

$latex f'(x)=2x-5$

$latex f'(4)=2(4)-5=3$

$latex f'(1)=2(1)-5=-3$

Agora, encontramos os valores de b usando a forma $latex y=mx+b$ com os declives encontrados e as coordenadas de cada ponto.

$latex 0=3(4)+b_{1}$

$latex b_{1}=-12$

$latex 0=-3(1)+b_{2}$

$latex b_{2}=3$

Assim, as equações das retas tangentes são $latex y=3x-12$ e $latex y=-3x+3$.

A declaração nos diz que as retas são tangentes nos pontos onde $latex y=9$. Então, temos que encontrar os valores de x quando $latex y=9$:

$latex x^2=9$

$latex x=\pm \sqrt{9}$

$latex x=3~~$ ou $latex ~~x=-3$

Agora, usamos a derivada da função para encontrar os declives das retas avaliando $latex f'(3)$ e $latex f'(-3)$.

$latex f(x)=x^2$

$latex f'(x)=2x$

$latex f'(3)=2(3)=6$

$latex f'(-3)=2(-3)=-6$

Usando a forma $latex y=mx+b$ com os declives encontrados e as coordenadas de cada ponto (os valores de y são 9 em ambos os casos), podemos encontrar os valores de b:

$latex 9=6(3)+b_{1}$

$latex b_{1}=-9$

$latex 9=-6(-3)+b_{2}$

$latex b_{2}=-9$

Assim, as equações das retas tangentes são $latex y=6x-9$ e $latex y=-6x-9$.