Taxa de variação com derivadas – Exercícios resolvidos

Os exercícios de taxa de variação são resolvidos encontrando a derivada de uma equação em relação à variável principal. Geralmente, a regra da cadeia é usada para encontrar a taxa de variação necessária.

A seguir, vamos analisar alguns exercícios de taxa de variação resolvidos usando derivadas. Depois, veremos alguns exercícios práticos para aplicar o que aprendemos.

CÁLCULO
Taxa de variação com derivadas

Relevante para

Resolver exercícios sobre de taxa de variação com derivadas.

Ver exercícios

CÁLCULO
Taxa de variação com derivadas

Relevante para

Resolver exercícios sobre de taxa de variação com derivadas.

Ver exercícios

O que é a taxa de variação no cálculo?

A taxa de variação representa a relação entre as mudanças na variável dependente em comparação com as mudanças na variável independente.

A seguinte derivada

$$\dfrac{dy}{dx}=\lim_{\delta \to 0} \frac{\delta y }{\delta x}$$

é a taxa de variação de $latex y$ em relação a $latex x$.

Esta taxa de variação mostra como as mudanças em $latex y$ estão relacionadas com as mudanças em $latex x$. Por exemplo, se $latex \dfrac{dy}{dx}=5$, então $latex y$ aumenta 5 vezes mais rápido que $latex x$.

Frequentemente, outras letras além de $latex x$ e $latex y$ são utilizadas. Por exemplo, em física é comum usar $latex s$ para indicar a posição de um objeto. Então:

  • $latex \dfrac{ds}{dt}$ é a velocidade, uma vez que representa a taxa de variação do deslocamento em relação ao tempo.
  • $latex \dfrac{d^2s}{dt^2}$ é aceleração porque representa a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo.

Muitas situações práticas envolvem taxas de variação relacionadas com o uso da regra da cadeia de derivadas, como mostrado nos exemplos seguintes.


Exercícios resolvidos sobre a taxa de variação com derivadas

EXERCÍCIO 1

O lado de uma peça quadrada de metal aumenta a uma taxa de 0,1 cm por segundo quando aquecido. Qual é a taxa de variação da área da superfície quadrada do metal?

Solução

EXERCÍCIO 2

O lado de um quadrado está aumentando à taxa de 5 cm/s. Encontre a taxa de variação de área quando o comprimento de um lado é de 10 cm.

Solução

EXERCÍCIO 3

O raio de um círculo está aumentando a uma taxa de $latex \frac{1}{3}$ cm/s. Encontre a taxa de variação da área quando o raio é de 5 cm.

Solução

EXERCÍCIO 4

A área de um quadrado aumenta a uma taxa de 7 cm2/s. Encontre a taxa de variação do comprimento de um lado quando a área é de 100 cm2.

Solução

EXERCÍCIO 5

A área de um círculo está aumentando a uma taxa de (4π) cm2/s. Encontre a taxa de variação do raio quando este for $latex \frac{1}{2}$ cm.

Solução

EXERCÍCIO 6

O volume de um cubo aumenta ao ritmo de 18 cm3/s. Encontre a taxa de variação do comprimento de um lado quando o volume é de 125 cm3.

Solução

EXERCÍCIO 7

Um balão completamente esférico está sendo inflado a uma taxa de 3 cm3/s. Encontre a taxa de variação do raio quando o raio é de 2 cm.

Solução

EXERCÍCIO 8

A área de superfície de uma esfera está aumentando a uma taxa de 2 cm2/s. Encontre a taxa de variação de raio quando a área de superfície é (100π) cm2.

Solução

EXERCÍCIO 9

Um balão esférico está sendo inflado a uma taxa de 10 cm3/s. Encontre a taxa de variação de área de superfície quando o raio é de 5 cm.

Solução

EXERCÍCIO 10

Um recipiente tem a forma de um cone oco com um ângulo semi-vertical de 30° e o seu vértice apontando para baixo.

Se a água for despejada no cone a uma taxa de 5 cm3/s, encontre a velocidade a que a profundidade da água no cone aumenta quando a sua profundidade é de 10 cm.

Solução

Exercícios de taxa de variação com derivadas para resolver

Prática de taxa de variação com derivadas
Logo
Você concluiu os exercícios!

Um cone oco com base de 10 cm de raio e 10 cm de altura tem seu vértice apontando para baixo.
O cone está inicialmente vazio quando a água é despejada a uma taxa de 4π cm3/ s. Encontre a taxa na qual a profundidade da água aumenta 18 segundos depois de começar a encher.

Escreva a resposta na caixa.

$latex ~~=$ $latex \frac{cm}{s}$

Veja também

Interessado em aprender mais sobre derivadas? Você pode olhar para estas páginas:

Foto de perfil do autor Jefferson Huera Guzman

Jefferson Huera Guzman

Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.

Aprenda matemática com nossos recursos adicionais em diferentes tópicos

APRENDER MAIS