Ponto mínimo de uma função – Fórmulas e Exercícios

Passo 1: A derivada da função é:

$latex f(x)=x^2+2x$

$latex f'(x)=2x+2$

Passo 2: Usando a derivada da função, formamos uma equação para encontrar o valor de x:

$latex 2x+2=0$

$latex 2x=-2$

$latex x=-1$

Passo 3: O valor de x encontrado corresponde a um ponto estacionário. Agora, temos que verificar se o ponto é um mínimo usando a segunda derivada:

$latex f^{\prime \prime}(x)=2$

Temos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$. Isso significa que o próprio ponto é um ponto mínimo.

Passo 4: Usamos $latex x=-1$ na função para encontrar a coordenada y da função:

$latex y=x^2+2x$

$latex y=(-1)^2+2(-1)$

$latex y=-1$

O ponto mínimo da função é (-1, -1).

Passo 1: Começamos encontrando a derivada da função. Então temos:

$latex f(x)=2x^2+8x+2$

$latex f'(x)=4x+8$

Passo 2: Podemos encontrar o valor de x formando uma equação com a derivada da função:

$latex 4x+8=0$

$latex 4x=-8$

$latex x=-2$

Passo 3: Usamos a segunda derivada para verificar se o ponto que encontramos é um ponto de mínimo:

$latex f^{\prime \prime}(x)=4$

Temos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$, então o ponto em si é um ponto mínimo.

Passo 4: A coordenada y do ponto é:

$latex y=2x^2+8x+2$

$latex y=2(-2)^2+8(-2)+2$

$latex y=-6$

O ponto mínimo da função é (-2, -6).

Passo 1: Começamos encontrando a derivada da função:

$latex f(x)=x^3-3x$

$latex f'(x)=3x^2-3$

Passo 2: Encontramos os valores de x formando uma equação com a derivada:

$latex 3x^2-3=0$

$latex x=\sqrt{1}$

$latex x=\pm 1$

$latex x=1~~$ ou $latex ~~x=-1$

Passo 3: Os dois valores de x encontrados correspondem a pontos estacionários. Então, usamos a segunda derivada para determinar qual é o ponto mínimo:

$latex f^{\prime \prime}(x)=6x$

Quando $latex x=1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$ e quando $latex x=-1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x ) < 0$. Isso significa que $latex x=1$ é o ponto mínimo.

Passo 4: A coordenada y do ponto mínimo é:

$latex y=x^3-3x$

$latex y=(1)^3-3(1)$

$latex y=-2$

O ponto mínimo da função é (1, -2).

Passo 1: Temos a seguinte derivada:

$latex f(x)=2x^3-6x$

$latex f'(x)=6x^2-6$

Passo 2: Os valores x dos pontos estacionários são:

$latex 6x^2-6=0$

$latex x=\sqrt{1}$

$latex x=\pm 1$

$latex x=1~~$ ou $latex ~~x=-1$

Passo 3: Com a segunda derivada, determinamos qual dos pontos é o mínimo:

$latex f^{\prime \prime}(x)=12x$

Quando $latex x=1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$ e quando $latex x=-1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x ) < 0$. Isso significa que $latex x=1$ é o ponto mínimo.

Passo 4: A coordenada y do ponto mínimo é:

$latex y=2x^3-6x$

$latex y=2(1)^3-6(1)$

$latex y=-4$

O ponto mínimo da função é (1, -4).

Passo 1: Segue a derivada da função:

$latex f(x)=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x$

$latex f'(x)=-x^2+2x+3$

Passo 2: Encontramos os valores x dos pontos estacionários usando a derivada:

$latex -x^2+2x+3=0$

$latex -(x-3)(x+1)=0$

$latex x=3~~$ ou $latex ~~x=-1$

Passo 3: Determinamos qual é o ponto mínimo usando a segunda derivada:

$latex f^{\prime \prime}(x)=-2x+2$

Quando $latex x=3$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$ e quando $latex x=-1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x )> 0$. Isso significa que $latex x=-1$ é o ponto mínimo.

Passo 4: A coordenada y do ponto mínimo é:

$latex y=-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x$

$latex y=-\frac{1}{3}(-1)^3+(-1)^2+3(-1)$

$latex y=-\frac{5}{3}$

O ponto mínimo da função é $latex (-1, ~-\frac{5}{3})$.

Neste exercício, temos que começar encontrando uma equação para a área do triângulo em termos de x. Então, usamos a fórmula para a área de um triângulo com os comprimentos dados:

$latex A=\frac{1}{2}\times BC \times AB$

$latex A=\frac{1}{2}(x+2)x$

$latex A=\frac{1}{2}x^2+x$

Agora que temos uma função, podemos usar os seguintes passos.

Passo 1: Encontramos a derivada da função:

$latex A(x)=\frac{1}{2}x^2+x$

$latex A'(x)=x+1$

Passo 2: Achamos o valor de x:

$latex x+1=0$

$latex x=-1$

Passo 3: Com a segunda derivada verificamos se o ponto é um mínimo:

$latex A^{\prime \prime}(x)=1$

Temos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$, então confirmamos que o ponto é mínimo. Ou seja, a área está em seu valor mínimo ali.

Passo 4: Usamos $latex x=-1$ para encontrar a área mínima:

$latex A=\frac{1}{2}x^2+x$

$latex A=\frac{1}{2}(-1)^2-1$

$latex A=-\frac{1}{2}=0,5$

A área mínima do triângulo é de 0,5 cm².