Ponto máximo de uma função – Fórmulas e Exercícios

Passo 1: Encontrando a derivada da função, temos:

$latex f(x)=-x^2+2x$

$latex f'(x)=-2x+2$

Passo 2: Formando uma equação com a derivada, podemos encontrar o valor de x:

$latex -2x+2=0$

$latex -2x=-2$

$latex x=1$

Passo 3: Nesse caso, temos apenas um valor de x, portanto, temos apenas um ponto estacionário. Verificamos se o ponto é um máximo usando a segunda derivada:

$latex f^{\prime \prime}(x)=-2$

Temos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$, então confirmamos que o ponto é um máximo

Passo 4: A coordenada y do ponto máximo é:

$latex y=-x^2+2x$

$latex y=-(1)^2+2(1)$

$latex y=1$

O ponto máximo tem as coordenadas (1, 1).

Passo 1: A derivada da função é:

$latex f(x)=-2x^2-8x$

$latex f'(x)=-4x-8$

Passo 2: Encontrando o valor de x, temos:

$latex -4x-8=0$

$latex -4x=8$

$latex x=-2$

Passo 3: Usamos a segunda derivada para verificar se o ponto encontrado é um ponto de máximo:

$latex f^{\prime \prime}(x)=-4$

Temos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$, então confirmamos que é um ponto de máximo.

Passo 4: Usamos a função com o valor $latex x=-2$ para encontrar a coordenada y:

$latex y=-2x^2-8x$

$latex y=-2(-2)^2-8(-2)$

$latex y=-8+16$

$latex y=8$

O ponto máximo tem as coordenadas (-2, 8).

Passo 1: A derivada da função é:

$latex f(x)=-x^3+3x$

$latex f'(x)=-3x^2+3$

Passo 2: Encontrando os valores de x, temos:

$latex -3x^2+3=0$

$latex -3x^2=-3$

$latex x=\sqrt{3}$

$latex x=1~~$ ou $latex ~~x=-1$

Passo 3: Nesse caso, temos dois valores de x, então usamos a segunda derivada para determinar qual é o ponto de máximo:

$latex f^{\prime \prime}(x)=-6x$

Quando $latex x=1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$, e quando $latex x=-1$, temos $latex f^{\prime \prime}( x) >0$. Então $latex x=1$ é o ponto máximo.

Passo 4: A coordenada y do ponto máximo é:

$latex y=-x^3+3x$

$latex y=-(1)^3+3(1)$

$latex y=2$

O ponto máximo tem as coordenadas (1, 2).

Passo 1: Derivando a função, temos:

$latex f(x)=2x^3-6x$

$latex f'(x)=6x^2-6$

Passo 2: Encontrando os valores de x, temos:

$latex 6x^2-6=0$

$latex 6x^2=6$

$latex x^2=\sqrt{1}$

$latex x=1~~$ ou $latex ~~x=-1$

Passo 3: Temos dois pontos estacionários, então usamos a segunda derivada para determinar qual é o ponto máximo:

$latex f^{\prime \prime}(x)=12x$

Para $latex x=1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)>0$ e para $latex x=-1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x )< 0$, então $latex x=-1$ é o ponto máximo.

Passo 4: A coordenada y do ponto máximo é:

$latex y=2x^3-6x$

$latex y=2(-1)^3-6(-1)$

$latex y=4$

O ponto máximo tem as coordenadas (-1, 4).

Passo 1: A derivada da função é:

$latex f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2-3x$

$latex f'(x)=x^2+2x-3$

Passo 2: Podemos formar uma equação com a derivada e resolver usando fatoração:

$latex x^2+2x-3=0$

$latex (x+3)(x-1)=0$

$latex x=-3~~$ ou $latex ~~x=1$

Passo 3: Usamos a segunda derivada para determinar o ponto de máximo:

$latex f^{\prime \prime}(x)=2x+2$

Quando $latex x=-3$, temos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$ e quando $latex x=1$, temos $latex f^{\prime \prime}(x )> 0$. Portanto, o ponto máximo está em $latex x=-3$.

Passo 4: A coordenada y do ponto máximo é:

$latex f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2-3x$

$latex f(x)=\frac{1}{3}(-3)^3+(-3)^2-3(-3)$

$latex y=9$

O ponto máximo tem as coordenadas (-3, 9).

Para resolver esse problema, precisamos começar encontrando uma equação para a área do triângulo em função do lado x.

Sabemos que

$latex AB+BC=6$

$latex x+BC=6$

$latex BC=6-x$

Agora a área do triângulo é:

$latex A=\frac{1}{2}\times BC \times AB$

$latex A=\frac{1}{2}(6-x)x$

$latex A=3x-\frac{x^2}{2}$

Agora, usamos as etapas para encontrar o ponto máximo da função encontrada.

Passo 1: A derivada é:

$latex A(x)=3x-\frac{x^2}{2}$

$latex A'(x)=3-x$

Passo 2: O valor de x é:

$latex 3-x=0$

$latex x=3$

Passo 3: Usamos a segunda derivada para verificar se o ponto é um máximo:

$latex A^{\prime \prime}(x)=-1$

Temos $latex f^{\prime \prime}(x)<0$, então confirmamos que o ponto é um máximo. Isso significa que a área é máxima com este valor de x.

Passo 4: Usamos $latex x=3$ para encontrar a área máxima:

$latex A=3x-\frac{x^2}{2}$

$latex A=3(3)-\frac{(3)^2}{2}$

$latex A=\frac{9}{2}=4,5$

A área máxima do triângulo é de 4,5 cm².