A derivada de cosseno quadrado é igual a menos o sen de 2x, -sin(2x). Podemos encontrar ou provar esta derivada usando a regra da cadeia e as derivadas das funções trigonométricas fundamentais.
Neste artigo, aprenderemos como calcular a derivada da função composta cosseno quadrado. Veremos uma prova, a comparação gráfica da função cosseno quadrado de x com a sua derivada, e alguns exemplos.
Prova da derivada do cosseno quadrado usando a regra da cadeia
Se precisar, recomendamos revisar a fórmula da regra da cadeia, como pré-requisito para este tópico, acessando este link: Regra da Cadeia. Além disso, você pode visitar este outro link para a demonstração da derivada do cosseno: Derivada do cosseno, cos(x).
Tem em conta que
$latex \cos^{2}{(x)} \neq \cos{(x^2)}$
Por ser uma função composta, a fórmula da regra da cadeia é usada para encontrar a derivada da função cosseno quadrado.
Então, começamos com a função:
$latex F(x) = \cos^{2}{(x)}$
Podemos identificar as duas funções que compõem F(x). Há uma função de potência e uma função trigonométrica neste cenário.
Para uma representação mais fácil, podemos reescrever como
$latex F(x) = \cos^{2}{(x)}$
$latex F(x) = (\cos{(x)})^2$
Agora é muito claro que a função de potência dada é a função externa, enquanto a função cosseno ao quadrado vezes a função de potência dada é a função interna. Podemos definir a função externa como
$latex f(u) = u^2$
onde
$latex u = \cos{(x)}$
Definindo a função cosseno trigonométrica como a função interna de f(u) denotando-a como g(x), temos
$latex f(u) = f(g(x))$
$latex u = g(x)$
$latex g(x) = \cos{(x)}$
Derivando a função externa f(u) usando a regra da potência em termos de u, temos
$latex f(u) = u^2$
$latex f'(u) = 2u$
Derivando a função interna g(x) usando a fórmula derivada da função trigonométrica cosseno em termos de x, temos
$latex g(x) = \cos{(x)}$
$latex g'(x) = -\sin{(x)}$
Multiplicando algebricamente a derivada da função externa $latex f'(u)$ pela derivada da função interna $latex g'(x)$, temos
$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$
$latex \frac{dy}{dx} = (2u) \cdot (-\sin{(x)})$
Substituindo u em f‘(u), temos
$latex \frac{dy}{dx} = (2(\cos{(x)})) \cdot (-\sin{(x)})$
$latex \frac{dy}{dx} = -2\cos{(x)}\sin{(x)}$
$latex \frac{dy}{dx} = -2\sin{(x)}\cos{(x)}$
Aplicando as identidades de ângulos duplos, temos
$latex \frac{dy}{dx} = -(2\sin{(x)}\cos{(x)})$
$latex \frac{dy}{dx} = -(\sin{(2x)})$
Isso nos leva à fórmula da derivada do cosseno ao quadrado x.
$latex \frac{d}{dx} \cos^{2}{(x)} = -\sin{(2x)}$
Gráfico de cosseno quadrado de x vs. a derivada do cosseno quadrado de x
O gráfico da função
$latex f(x) = \cos^{2}{(x)}$
é
Quando derivamos a função $latex f(x) = \cos^{2}{(x)}$, obtemos
$latex f'(x) = -\sin{(2x)}$
que tem o seguinte gráfico
Comparando seus gráficos, temos:
Usando esses gráficos, vemos que a função original $latex f(x) = \cos^{2}{(x)}$ tem um domínio de
$latex (-\infty,\infty)$ ou todos os números reais
e existe dentro da imagem de
$latex [0,1]$
enquanto a derivada $latex f'(x) = -\sin{(2x)}$ tem domínio de
$latex (-\infty,\infty)$ ou todos os números reais
e existe dentro da imagem de
$latex [-1,1]$
Exemplos
Nos exemplos seguintes, podemos aprender a derivar as funções compostas de cosseno quadrado.
EXEMPLO 1
Qual é a derivada da função $latex f(x) = \cos^2(9x)$?
Solução
Esta é uma função composta cosseno quadrado, onde 6x é a função interna. Assim, podemos utilizar a regra da cadeia para a derivar.
Escrevendo a função interna como $latex u=6x$, temos $latex f(u)=\cos^2(u)$. Assim, usamos a regra da cadeia da seguinte forma:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\sin(2u) \times 9$$
Substituindo $latex u=9x$ de volta à função, temos:
$$\frac{dy}{dx}=-9\sin(18x)$$
EXEMPLO 2
Encontre a derivada da função $latex F(x) = \cos^2(5x^3-6x)$.
Solução
Neste caso, a função interna é $latex u=5x^3-6x$. Assim, temos a função externa como $latex f (u) = \cos^2(u)$.
Começamos por encontrar a derivada da função externa
$$\frac{d}{du} ( \cos^2(u) ) = -\sin(2u)$$
Depois, encontramos a derivada da função interna $latex g(x)=u=5x^3-6x$:
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx}(5x^3-6x)$$
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = 15x^2-6$$
Aplicamos a regra da cadeia multiplicando a derivada da função externa $latex f(u)$ pela derivada da função interna $latex g(x)$:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$$
$$\frac{dy}{dx} = -\sin(2u) \cdot (15x^2-6)$$
Finalmente, substituímos $latex u=5x^3-6x$ e simplificamos:
$$\frac{dy}{dx} = -\sin(2(5x^3-6x)) \cdot (15x^2-6)$$
$$\frac{dy}{dx} = -(15x^2-6)\sin(10x^3-12x)$$
Prática de derivadas de funções cosseno quadrado
Veja também
Interessado em aprender mais sobre derivadas de funções trigonométricas ao quadrado? Veja estas páginas:
- Derivada de seno quadrado, seno^2(x) – Demonstração e gráficos
- Derivada de tangente quadrado, tan^2(x) – Demonstração e gráficos
- Derivada da secante quadrado, sec^2(x) – Demonstração e gráficos
- Derivada de cossecante quadrado, csc^2(x) – Demonstração e gráficos
- Derivada de cotangente quadrado, cot^2(x) – Demonstração e gráficos
Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
