Um número complexo é definido como a combinação de um número real e um número imaginário. Os números reais são os números que usamos na vida cotidiana e com os quais realizamos cálculos matemáticos. Números imaginários são números que contêm a unidade imaginária, que é definida como a raiz quadrada de um negativo.
As operações básicas que podemos realizar com números complexos e que veremos aqui são:
- Adição de números complexos
- Subtração de números complexos
- Multiplicação de números complexos
- Divisão de número complexo
Adição de números complexos
Sabemos que um número complexo tem a forma $latex z=a+bi$, onde a e b são números reais.
Vamos considerar dois números complexos $latex z_{1}=a_{1}+b_{1}i$ e $latex z_{2}=a_{2}+b_{2} i$. Portanto, a soma desses números complexos é definida como:
$latex z_{1}+z_{2}=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i$
Portanto, a parte real do número complexo resultante é igual à soma das partes reais de cada número complexo e a parte imaginária do número complexo resultante é igual à soma das partes imaginárias de cada número complexo.
Se tivermos somas de mais de dois números complexos, a mesma ideia será aplicada. A parte real do resultado é igual à soma de todas as partes reais de cada número e a parte imaginária é igual à soma de todas as partes imaginárias de cada número.
EXEMPLOS
- Temos os números $latex z_{1}=16-28i$ e $latex z_{2}=9+12i$. Encontre a soma.
Sabemos que o número complexo resultante tem a forma $latex z=a+bi$, onde a é a soma das partes reais dos números e b é a soma das partes imaginárias dos números:
$latex a=16+9=25$
$latex b=-28+12=-16$
⇒ $latex z=25-16i$
- Temos os números $latex z_{1}=a+5i$, $latex z_{2}=5+bi$ e $latex z_{3}=10+8i$. Encontre o valor de a e b se tiver-mos $latex z_{3}=z_{1}+z_{2}$.
Sabemos que a parte real do número resultante é a soma das partes reais dos números $latex z_{1}$ e $latex z_{2}$ e a parte imaginária é a soma das partes imaginárias dos números $latex z_{1}$ e $latex z_{2}$. Então, temos:
$latex 10=a+5$
⇒ $latex a=5$
$latex 8=5+b$
⇒ $latex b=3$
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Subtração de números complexos
A subtração de números complexos é muito semelhante à adição de números complexos, pois subtraímos as partes reais dos números e as partes imaginárias separadamente. Considerando números complexos $latex z_{1}=a_{1}+b_{1}i$ e $latex z_{2}=a_{2}+b_{2}i$. Então, a diferença $latex z_{1}-z_{2}$ é definida como:
$latex z_{1}-z_{2}=(a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})i$
EXEMPLOS
- Se tiver-mos $latex z_{1}=12-7i$ e $latex z_{2}=7+5i$, resolva a subtração $latex z_{1}-z_{2}$.
Sabemos que temos que subtrair as partes reais e imaginárias separadamente e que o número resultante tem a forma $latex z=a+bi$. Então, temos:
$latex a=12-7=5$
$latex b=-7-5=-12$
⇒ $latex z=5-12i$
- Temos os números $latex z_{1}=a+7i$, $latex z_{2}=2+bi$ e $latex z_{3}=5+4i$. Encontre os valores de a e b se tiver-mos $latex z_{3}=z_{1}-z_{2}$.
Temos que subtrair as partes reais e imaginárias separadamente, então temos:
$latex 5=a-2$
⇒ $latex a=7$
$latex 4=7-b$
⇒ $latex b=3$
Experimente você mesmo – Resolva os exercício
Multiplicação de números complexos
Conhecemos a expansão $latex (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$. Da mesma forma, se tivermos os números complexos $latex z_{1}=a_{1}+b_{1}i$ e $latex z_{2}=a_{2}+b_{2}i$, seu produto é igual:
$latex z_{1}z_{2}=(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)$
$latex =a_{1}a_{2}+a_{1}b_{2}i+b_{1}a_{2}i+b_{1}b_{2}{{i}^2}$
Sabemos que $latex {{i}^2}=-1$, portanto, temos:
$latex z_{1}z_{2}=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})i$
EXEMPLOS
- Multiplique os números $latex z_{1}=3+5i$ e $latex z_{2}=2+4i$.
Usamos o processo mostrado:
$latex z_{1}z_{2}=(3+5i)(2+4i)$
$$=(3)(2)+(5i)(2)+(3)(4i)+(5i)(4i)$$
$latex =6+10i+12i+20{{i}^2}$
$latex =6+22i-20$
$latex =-14+22i$
- Multiplique os números $latex z_{1}=4-2i$ e $latex z_{2}=-3+3i$.
Usamos o processo mostrado:
$latex z_{1}z_{2}=(4-2i)(-3+3i)$
$$=(4)(-3)+(-2i)(-3)+(4)(3i)+(-2i)(3i)$$
$latex =-12+6i+12i-6{{i}^2}$
$latex =-12+18i+6$
$latex =-6+18i$
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Divisão de números complexos
Para dividir os números complexos, temos que multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do número complexo no denominador. Para encontrar o conjugado, simplesmente mudamos o sinal que está entre os dois termos do denominador.
Em seguida, distribuímos a multiplicação e simplificamos. Especificamente, temos que lembrar que $latex {{i}^2}=-1$. Finalmente, escrevemos a resposta na forma $latex a+bi$.
EXEMPLOS
- Resolva a divisão $latex \frac{4+5i}{2-3i}$.
Temos que multiplicar o denominador e o numerador pelo conjugado do denominador que é igual a $latex 2+3i$:
$$\frac{4+5i}{2-3i}=\frac{4+5i}{2-3i} \times \frac{2+3i}{2+3i}$$
$$=\frac{8+12i+10i+15{{i}^2}}{4-6i+6i-9{{i}^2}}$$
$$=\frac{8+22i-15}{4+9}$$
$$=\frac{-7+22i}{13}$$
Já temos a resposta, mas temos que escrever na forma $latex a+bi$:
$$=\frac{-7}{13}+\frac{22}{13}i$$
- Resolva a divisão $latex \frac{6-3i}{4+2i}$.
Multiplicamos o denominador e o numerador pelo conjugado do denominador que é igual a $latex 4-2i$:
$$\frac{6-3i}{4+2i}=\frac{6-3i}{4+2i} \times \frac{4-2i}{4-2i}$$
$$=\frac{24-12i-12i+6{{i}^2}}{16+8i-8i-4{{i}^2}}$$
$$=\frac{24-24i-6}{16+4}$$
$$=\frac{18-24i}{20}$$
Já temos a resposta, mas temos que escrever na forma $latex a+bi$:
$latex =\frac{18}{20}-\frac{24}{20}i$
$latex =\frac{9}{10}-\frac{6}{5}i$
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Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
