O que são números complexos?

Exemplos de números complexos

Os números complexos têm a forma geral $latex a+bi$, onde a é a parte real do número e bi é a parte imaginária:

Propriedades de números complexos

A seguir estão algumas das propriedades mais importantes dos números complexos:

• Os números complexos obedecem à propriedade comutativa de adição e multiplicação:

$latex z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}$

$latex z_{1}\times z_{2}=z_{2}\times z_{1}$

• Os números complexos obedecem à propriedade associativa de adição e multiplicação:

$latex (z_{1}+z_{2})+z_{3}=z_{1}+(z_{2}+z_{3})$

$latex (z_{1}\times z_{2}) \times z_{3}=z_{1}( z_{2} \times z_{3})$

• Os números complexos obedecem à propriedade distributiva:

$latex z_{1}(z_{2})+z_{3})=z_{1}\times z_{2}+z_{1}\times z_{3}$

• Adicionar dois números conjugados complexos resultará em um número real.
• Multiplicar dois números conjugados complexos também resultará em um número real.
• Se tiver-mos x e y são números reais e nós temos $latex x+yi=0$, então, $latex x=0$ e $latex y=0$.

Como representar graficamente números complexos?

Podemos representar graficamente os números complexos usando o plano complexo. Neste plano, o eixo x representa a parte real e o eixo y representa a parte imaginária:

Representar graficamente números complexos é muito fácil, basta localizar cada coordenada separadamente. Por exemplo, se tivermos que representar graficamente o número $latex z=3+2i$, movemos 3 unidades no eixo real (o eixo x) e 2 unidades no eixo imaginário (o eixo y):

Para que servem os números complexos?

Os números complexos têm muitas aplicações na vida real, especialmente nos campos da engenharia, como a eletricidade. Os números complexos também são usados ​​para encontrar soluções para equações quadráticas. Quando as equações não tocam o eixo x, as soluções da equação são representadas por números complexos.

Os números complexos são particularmente úteis em eletricidade, especialmente em eletrônicos de corrente alternada (CA). A eletricidade de corrente alternada produz uma onda senoidal porque alterna entre positiva e negativa.

Calcular esse tipo de corrente pode ser muito complicado, pois as ondas não se encaixam corretamente. No entanto, o cálculo de correntes alternadas é muito simplificado com o uso de números complexos.

Outra aplicação de números complexos é no processamento de sinais, que é usado em tecnologia de telefone celular, tecnologias sem fio, radares e até neurologia de ondas cerebrais. Basicamente, números complexos são usados ​​para facilitar o cálculo de processos ou aplicativos que usam ondas seno ou cosseno.

Qual é a origem dos números complexos?

É difícil encontrar a origem exata dos números complexos, uma vez que esses números estavam sendo usados ​​por matemáticos muito antes de terem uma definição adequada.

Sabe-se que a primeira referência aos números complexos foi feita por Cardan em 1545 enquanto estudava as raízes dos polinômios. Durante este período, a notação numérica $latex \sqrt{-1}$ foi usada.

No entanto, essa notação foi usada apenas com o propósito de categorizar as propriedades de alguns polinômios. Naquela época, $latex \sqrt{-1}$ era considerado apenas uma notação útil para categorizar polinômios e não era visto como um objeto matemático real.

A notação i foi introduzida por Euler em 1777. Euler definiu i e –i como as duas raízes quadradas de -1. Foi com Euler que a notação “i” para números imaginários apareceu e se formalizou. No entanto, como a existência desses números não foi totalmente compreendida, os números i e –i foram chamados de “imaginários”.

Em 1797 e 1799, Wessel e Gauss, respectivamente, deram uma interpretação geométrica para números complexos, representando-os como pontos em um plano. Com isso, conseguiu-se que os números complexos fossem considerados algo mais concreto e menos misterioso.

Foi em 1833 que Hamilton finalmente definiu formalmente os números complexos, mostrando que esses números são compostos de pares de números reais e os números que Euler definiu como “i“. É aqui que a formulação moderna de números complexos começou.

Veja também

Você quer aprender mais sobre números complexos? Olha para estas páginas:

• O que são números imaginários?
• Operações com Números Complexos
• Exercícios Sobre Números Complexos
• Quando os números complexos apareceram?