Os números complexos são os números expressos na forma a+bi, onde a e b são números reais e “i” é a unidade imaginária. O valor da unidade imaginária é a raiz quadrada de um negativo, i=(√-1). Por exemplo, 5+3i é um número complexo, onde 5 é um número real (Re) e 3i é um número imaginário (Im).
Exemplos de números complexos
Os números complexos têm a forma geral $latex a+bi$, onde a é a parte real do número e bi é a parte imaginária:
EXEMPLOS
Números complexos são representados pela letra z:
- No número complexo $latex z=3+7i$, 3 é a parte real e7i é a parte imaginária.
- No número complexo $latex z=-6+\frac{1}{2}i$, -6 é a parte real e $latex \frac{1}{2}i$ é a parte imaginária.
- No número complexo $latex z=\frac{3}{4}-4i$, $latex \frac{3}{4}$ é a parte real e -4i é a parte imaginária.
- No número complexo $latex z=-\sqrt{3}+\sqrt{7}i$, $latex -\sqrt{3}$ é a parte real e $latex \sqrt{7}i$ é a parte imaginária.
Propriedades de números complexos
A seguir estão algumas das propriedades mais importantes dos números complexos:
- Os números complexos obedecem à propriedade comutativa de adição e multiplicação:
$latex z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}$
$latex z_{1}\times z_{2}=z_{2}\times z_{1}$
- Os números complexos obedecem à propriedade associativa de adição e multiplicação:
$latex (z_{1}+z_{2})+z_{3}=z_{1}+(z_{2}+z_{3})$
$latex (z_{1}\times z_{2}) \times z_{3}=z_{1}( z_{2} \times z_{3})$
- Os números complexos obedecem à propriedade distributiva:
$latex z_{1}(z_{2})+z_{3})=z_{1}\times z_{2}+z_{1}\times z_{3}$
- Adicionar dois números conjugados complexos resultará em um número real.
- Multiplicar dois números conjugados complexos também resultará em um número real.
- Se tiver-mos x e y são números reais e nós temos $latex x+yi=0$, então, $latex x=0$ e $latex y=0$.
Como representar graficamente números complexos?
Podemos representar graficamente os números complexos usando o plano complexo. Neste plano, o eixo x representa a parte real e o eixo y representa a parte imaginária:
Representar graficamente números complexos é muito fácil, basta localizar cada coordenada separadamente. Por exemplo, se tivermos que representar graficamente o número $latex z=3+2i$, movemos 3 unidades no eixo real (o eixo x) e 2 unidades no eixo imaginário (o eixo y):
Para que servem os números complexos?
Os números complexos têm muitas aplicações na vida real, especialmente nos campos da engenharia, como a eletricidade. Os números complexos também são usados para encontrar soluções para equações quadráticas. Quando as equações não tocam o eixo x, as soluções da equação são representadas por números complexos.
Os números complexos são particularmente úteis em eletricidade, especialmente em eletrônicos de corrente alternada (CA). A eletricidade de corrente alternada produz uma onda senoidal porque alterna entre positiva e negativa.
Calcular esse tipo de corrente pode ser muito complicado, pois as ondas não se encaixam corretamente. No entanto, o cálculo de correntes alternadas é muito simplificado com o uso de números complexos.
Outra aplicação de números complexos é no processamento de sinais, que é usado em tecnologia de telefone celular, tecnologias sem fio, radares e até neurologia de ondas cerebrais. Basicamente, números complexos são usados para facilitar o cálculo de processos ou aplicativos que usam ondas seno ou cosseno.
Qual é a origem dos números complexos?
É difícil encontrar a origem exata dos números complexos, uma vez que esses números estavam sendo usados por matemáticos muito antes de terem uma definição adequada.
Sabe-se que a primeira referência aos números complexos foi feita por Cardan em 1545 enquanto estudava as raízes dos polinômios. Durante este período, a notação numérica $latex \sqrt{-1}$ foi usada.
No entanto, essa notação foi usada apenas com o propósito de categorizar as propriedades de alguns polinômios. Naquela época, $latex \sqrt{-1}$ era considerado apenas uma notação útil para categorizar polinômios e não era visto como um objeto matemático real.
A notação i foi introduzida por Euler em 1777. Euler definiu i e –i como as duas raízes quadradas de -1. Foi com Euler que a notação “i” para números imaginários apareceu e se formalizou. No entanto, como a existência desses números não foi totalmente compreendida, os números i e –i foram chamados de “imaginários”.
Em 1797 e 1799, Wessel e Gauss, respectivamente, deram uma interpretação geométrica para números complexos, representando-os como pontos em um plano. Com isso, conseguiu-se que os números complexos fossem considerados algo mais concreto e menos misterioso.
Foi em 1833 que Hamilton finalmente definiu formalmente os números complexos, mostrando que esses números são compostos de pares de números reais e os números que Euler definiu como “i“. É aqui que a formulação moderna de números complexos começou.
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
