Para resolver exercícios com números complexos, devemos começar analisando a operação a ser realizada. Se temos adição e subtração, simplesmente temos que adicionar ou subtrair as partes real e imaginária separadamente. Se tivermos multiplicação, usamos a propriedade distributiva para multiplicar cada parte de um número complexo por cada parte do outro número.
No caso de divisão, temos que multiplicar o numerador e o denominador pelo número complexo conjugado no denominador. A seguir, exploraremos essas operações com vários exercícios.
Como resolver operações com números complexos?
Para resolver operações com números complexos, devemos lembrar que as partes real e imaginária são consideradas separadamente e que, quando temos i², este é igual a -1. As operações básicas que podemos realizar com números complexos são adição, subtração, multiplicação e divisão.
Adição e subtração de números complexos
Para adicionar e subtrair números complexos, temos que adicionar ou subtrair as partes reais e imaginárias separadamente. Por exemplo, se tivermos os números $latex z_{1}=4+2i$ e $latex z_{2}=3+5i$, calculamos a soma desses números da seguinte maneira:
$latex z_{1}+z_{2}=(4+3)+(2+5)i$
$latex =7+7i$
Da mesma forma, se quisermos subtrair esses números, calculamos da seguinte forma:
$latex z_{1}-z_{2}=(4-3)+(2-5)i$
$latex =1-3i$
Multiplicação de números complexos
Para obter o produto de dois ou mais números complexos, temos que usar a propriedade distributiva e multiplicar cada uma das partes do primeiro número por cada uma das partes do segundo número. Além disso, devemos lembrar que quando temos i², isso é igual a -1. Por exemplo, multiplicamos os números $latex z_{1}=2+6i$ e $latex z_{2}=3+5i$ da seguinte maneira:
$latex z_{1}z_{2}=(2+6i)(3+5i)$
$$=(2)(3)+(2)(5i)+(6i)(3)+(6i)(5i)$$
$latex =6+10i+18i+30{{i}^2}$
$latex =6+28i+30(-1)$
$latex =6+28i-30$
$latex =-24+28i$
Divisão de números complexos
Para resolver uma divisão de números complexos, temos que multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Lembre-se de que o conjugado de um número complexo é obtido mudando para o sinal do meio do número complexo original. Podemos resolver a divisão $latex \frac{4+5i}{2-3i}$ da seguinte maneira:
$$\frac{4+5i}{2-3i}=\frac{4+5i}{2-3i}\times \frac{2+3i}{2+3i}$$
$$=\frac{8+12i+10i+15{{i}^2}}{4-6i+6i-9{{i}^2}}$$
$$=\frac{8+22i-15}{4+9}$$
$$=\frac{-7+22i}{13}$$
$$=-\frac{7}{13}+\frac{22}{13}i$$
Exercícios sobre números complexos resolvidos
Os exercícios a seguir contêm várias operações básicas com números complexos, como os mencionados acima. Cada exercício tem sua respectiva solução que pode ser usada para entender o raciocínio e o processo usado para encontrar a resposta
EXERCÍCIO 1
Adicione os números $latex z_{1}=5+8i$ e $latex z_{2}=2+9i$.
Solução
Para adicionar números complexos, adicionamos suas partes reais e imaginárias separadamente. O número complexo resultante tem a forma $latex z=a+bi$. Então, temos:
$latex a=5+2=7$
$latex b=8+9=17$
⇒ $latex z=7+17i$
EXERCÍCIO 2
Se tivermos os números $latex z_{1}=a+4i$, $latex z_{2}=7+bi$ e $latex z_{3}=5+7i$, qual é o valor de a e b se $latex z_{3}=z_{1}+z_{2}$
Solução
A parte real do número resultante é a soma das partes reais dos números $latex z_{1}$ e $latex z_{2}$ e a parte imaginária é a soma das partes imaginárias dos números $latex z_{1}$ e $latex z_{2}$. Então, temos:
$latex 5=a+7$
⇒ $latex a=-2$
$latex 7=4+b$
⇒ $latex b=3$
EXERCÍCIO 3
Resolva a subtração $latex z_{1}-z_{2}$ se tiver-mos $latex z_{1}=6-12i$ e $latex z_{2}=4+3i$.
Solução
Para subtrair números complexos, subtraímos suas partes reais e imaginárias separadamente. O número complexo resultante tem a forma $latex z = a + bi$. Então, temos:
$latex a=6-4=2$
$latex b=-12-3=-15$
⇒ $latex z=2-15i$
EXERCÍCIO 4
Se tivermos os números $latex z_{1}=a+6i$, $latex z_{2}=-6+bi$ e $latex z_{3}=8-4i$, qual é o valor de a e b se $latex z_{3}=z_{1}-z_{2}$
Solução
Podemos subtrair as partes reais e imaginárias dos números $latex z_{1}$ e $latex z_{2}$ separadamente. Então, temos:
$latex 8=a-(-6)$
⇒ $latex a=2$
$latex -4=6-b$
⇒ $latex b=10$
EXERCÍCIO 5
Resolva a multiplicação de números complexos $latex (3+2i)(4+3i)$.
Solução
Para resolver essa multiplicação, temos que multiplicar cada um dos termos nos parênteses à esquerda por cada um dos termos nos parênteses à direita. Então, temos:
$latex (3+2i)(4+3i)$
$$=(3)(4)+(3)(3i)+(2i)(4)+(2i)(3i)$$
$latex =12+9i+8i+6{{i}^2}$
$latex =12+17i+6{{i}^2}$
Lembramos que $latex {{i}^2}=-1$, então temos:
$latex =12+17i+6(-1)$
$latex =12+17i-6$
$latex =6+17i$
EXERCÍCIO 6
Qual é o produto de $latex z_{1}=(5-3i)$ e $latex z_{2}=(-2+4i)$.
Solução
Formamos e expandimos a multiplicação de números complexos:
$latex z_{1}z_{2}=(5-3i)(-2+4i)$
$$=(5)(-2)+(5)(4i)+(-3i)(-2)+(-3i)(4i)$$
$latex =-10+20i+6i-12{{i}^2}$
$latex =-10+26i-12{{i}^2}$
Novamente, usamos o fato de que $latex {{i}^2}=-1$:
$latex =-10+26i+12$
EXERCÍCIO 7
Resolva a divisão $latex \frac{5+2i}{3-5i}$.
Solução
Para resolver uma divisão de números complexos, temos que multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Nesse caso, o conjugado do denominador é $latex 3+5i$. Então, temos:
$$\frac{5+2i}{3-5i}=\frac{5+2i}{3-5i}\times \frac{3+5i}{3+5i}$$
$$=\frac{15+25i+6i+10{{i}^2}}{9+15i-15i-25{{i}^2}}$$
$$=\frac{15+31i-10}{9+25}$$
$$=\frac{5+31i}{34}$$
Já temos a resposta, mas temos que escrever a parte real e imaginária separadamente:
$$=\frac{5}{34}+\frac{31}{34}i$$
EXERCÍCIO 8
Resolva a divisão $latex \frac{4+2i}{2+3i}$.
Solução
Nesse caso, o conjugado do denominador é $latex 2-3i$, então multiplicamos o numerador e o denominador por esse número:
$$\frac{4+2i}{2+3i}=\frac{4+2i}{2+3i}\times \frac{2-3i}{2-3i}$$
$$=\frac{8-12i+4i-6{{i}^2}}{4-6i+6i-9{{i}^2}}$$
$$ =\frac{8-8i+6}{4+9}$$
$$=\frac{14-8i}{13}$$
Já temos a resposta, mas temos que escrever para a parte real e imaginária separadamente:
$$=\frac{14}{13}-\frac{8}{13}i$$
Exercícios sobre números complexos para resolver
Pratique o que aprendeu sobre operações com números complexos resolvendo os exercícios a seguir. Se precisar de ajuda com esses exercícios, você pode consultar os exercícios resolvidos acima.
Veja também
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Jefferson Huera Guzman
Jefferson é o principal autor e administrador do Neurochispas.com. O conteúdo interativo de Matemática e Física que criei ajudou muitos alunos.
